非線(xiàn)性麥克斯韋方程最優(yōu)系統(tǒng)及精確解

郭增鑫,胡彥鑫,辛祥鵬

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

自然界很多現(xiàn)象如流體力學(xué),電磁學(xué),種群發(fā)展,量子力學(xué)等領(lǐng)域都可以用非線(xiàn)性偏微分方程表述。如今非線(xiàn)性偏微分方程已經(jīng)成為構(gòu)成當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理溝通的重要橋梁,近幾十年已經(jīng)有很多方法求解非線(xiàn)性偏微分方程,比如Lax方法[1,2],B?cklund 變換法[3,4],Riccati方程法[5],反演散射法[6],Darbox變換法[7,8],雙線(xiàn)性函數(shù)法[9,10],函數(shù)展開(kāi)法[11],CK直接約化法[12],Painlevé檢驗(yàn)方法[13,14],經(jīng)典李群方法[15-17]，并得到了大量的結(jié)果。其中李群方法是構(gòu)造精確解非常有效的方法,近年來(lái)很多優(yōu)秀的成果都與李群方法相關(guān)。如文獻(xiàn)[13]作者對(duì)Zakharov-Kuzentsov方程進(jìn)行對(duì)稱(chēng)約化并求出其精確解,文獻(xiàn)[15]作者求出2+1維廣義淺水波方程的類(lèi)孤子解與周期解,文獻(xiàn)[18]作者求出一類(lèi)Poisson方程的最優(yōu)系統(tǒng)和群不變解。

本文研究一類(lèi)二階非線(xiàn)性麥克斯韋方程

(1)

其中u(x,t)為x,t的函數(shù),c為由真空電介常量ε0和磁常數(shù)μ0所確定的正數(shù)。麥克斯韋方程作為電磁學(xué)理論的基礎(chǔ),其線(xiàn)性形式和非線(xiàn)性形式在物理及工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。線(xiàn)性的麥克斯韋理論已被大眾所熟知,對(duì)于非線(xiàn)性麥克斯韋理論,目前大部分學(xué)者對(duì)該方程的數(shù)值解和誤差分析做了一些研究,如文獻(xiàn)[19]中作者提出了非線(xiàn)性麥克斯韋方程在滿(mǎn)足齊次狄利克雷邊界條件和給定初始值情況下,采用后向歐拉方法進(jìn)行時(shí)域離散化的方法,對(duì)利普希茨連續(xù) 情形的誤差進(jìn)行了計(jì)算,并在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間得到了誤差估計(jì)。數(shù)值仿真表明,誤差估計(jì)結(jié)果依賴(lài)于非線(xiàn)性特性,而且能快速收斂。文獻(xiàn)[20]中作者用一種新的有限元法得到非線(xiàn)性麥克斯韋方程的數(shù)值解及誤差估計(jì),并提出了一個(gè)線(xiàn)性化的Crank-Nicolson全離散格式,并導(dǎo)出了在L2模意義下的誤差估計(jì),并建立了時(shí)間和空間離散系統(tǒng),在適當(dāng)?shù)臈l件下導(dǎo)出了相應(yīng)的誤差結(jié)果。文獻(xiàn)[21]中作者利用時(shí)間和空間上的有限差分對(duì)非線(xiàn)性麥克斯韋方程進(jìn)行離散化,并給出適當(dāng)?shù)母道锶~基來(lái)求出方程的數(shù)值解,文獻(xiàn)[22]中作者使用松弛近似的方法得到非線(xiàn)性麥克斯韋方程的初邊值問(wèn)題,并證明了Kerr-Debye模型的輸入波條件解的極限是Kerr模型的解。也有部分學(xué)者對(duì)該方程行波解進(jìn)行過(guò)討論研究,如文獻(xiàn)[23]中作者研究了柱面非線(xiàn)性麥克斯韋方程在具有任意非線(xiàn)性因子與冪律非均勻因子的非色散介質(zhì)中傳播的柱面電磁波的行波解,得到了電場(chǎng)分量正切函數(shù)形式的解,并討論其物理意義。

本文由以下四個(gè)部分組成:第一部分利用李群方法得到方程(1)的對(duì)稱(chēng)群,并得到方程(1)的群不變解;第二部分利用一維最優(yōu)化方法得到方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng);第三部分利用最優(yōu)系統(tǒng)將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程,并求得方程(1)的精確解;最后一部分利用方程(1)的對(duì)稱(chēng)群和精確解構(gòu)造出方程(1)的一組新解。

1 方程(1)的李對(duì)稱(chēng)

根據(jù)經(jīng)典Lie群方法，首先考慮方程(1)的單參數(shù)Lie變換群具有下面形式

(2)

其中(x*,t*,u*)為(x,t,u)經(jīng)過(guò)變換后的新變量，ε為變換下的參數(shù)。為了構(gòu)造Lie變換，要求方程(1)在變換(2)下是不變的，即滿(mǎn)足條件

(3)

把變換(2)在ε=0處展開(kāi)，可以得到如下形式的無(wú)窮小變換，

(4)

其中X,T,U稱(chēng)為無(wú)窮小變量。為了求得上述變換，設(shè)方程(1)的向量場(chǎng)表示為

其中U,X,T為x,t,u的未知函數(shù),即U=U(x,t,u),X=X(x,t,u),T=T(x,t,u)。 由于公式(4)僅是變量(x,t,u)的變換，方程(1)中還包含u的一階和二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，為了求得這些導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的變換，需要把向量場(chǎng)延拓到導(dǎo)數(shù)空間上，其二階延拓記作pr(2)V，即

(5)

其中Ux,Ut表示ux,ut在變換下的無(wú)窮小量，Uxt,Uxx,Utt表示uxt,uxx,utt變換下的無(wú)窮小量。 用(5)作用到方程(1)得到

(6)

其中延拓向量場(chǎng)的無(wú)窮小量由如下公式?jīng)Q定[15]

(7)

關(guān)于U,X,T的決定方程組,求解得到

(8)

其中c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7為任意常數(shù)。由(8)式我們可以得到方程(1)有7個(gè)基本的向量場(chǎng)

(9)

為了構(gòu)造變換群，對(duì)(9)中的7個(gè)向量分別求解下面初值問(wèn)題

得到它們對(duì)應(yīng)如下7個(gè)單參數(shù)變換群

即若u=f(x,t)為方程(1)的解,則

(10)

仍為方程(1)的解,這樣可以通過(guò)方程的解及(10)構(gòu)造方程(1)的無(wú)窮多精確解。

2 李代數(shù)及最優(yōu)系統(tǒng)

含有多個(gè)自變量的偏微分方程,對(duì)于其封閉李代數(shù)上的所有s(s

由第1部分可得方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(9),由李括號(hào)的運(yùn)算定義[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,得到李代數(shù)交換子表如表1所示。

表1 李代數(shù)交換子表

表2 李代數(shù)伴隨表

再依次用Adexp(ε2V3),Adexp(ε3V7),Adexp(ε4V5)作用,并取ε2,ε3,ε4為適當(dāng)?shù)闹?以此將V5,V7,V3消去,可得向量V等價(jià)于生成算子k1V1+k2V2+k4V4。

同理,可求出如下情形。

情形2a1≠0,a2≠0,a3≠0。此時(shí)用Adexp(ε5V4)作用到V上并取ε5為適當(dāng)?shù)闹悼梢詫6消去,再用Adexp(ε6V3),Adexp(ε7V6)依次作用并取適當(dāng)?shù)摩?,ε7可將V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k3V3+k7V7等價(jià)。

情形3a1≠0,a2=0,a3=0。此時(shí)用Adexp(ε8V4)作用到V上并取ε8為適當(dāng)?shù)闹悼梢詫9消去,再用Adexp(ε9V3),Adexp(ε10V6)依次作用并取適當(dāng)?shù)摩?,ε10可將V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k7V7等價(jià)。

情形4a1=0,a2≠0。此時(shí)用Adexp(ε11V4)作用到V上并取ε11為適當(dāng)?shù)闹迪4,再用Adexp(ε12V6),Adexp(ε13V1)依次作用,并取ε12,ε13為適當(dāng)?shù)闹?可依次消去V6,V3。于是得到向量V和生成算子k2V2+k5V5+k7V7等價(jià)。

情形5a1=a2=0,a3≠0。此時(shí)用Adexp(ε14V4)作用到V上并取ε14為適當(dāng)?shù)闹迪7,再用Adexp(ε15V7)依次作用并取適當(dāng)?shù)摩?6可將V4消去,于是可得向量V和生成算子k3V3+k5V5+k6V6等價(jià)。

情形6a1=a2=a3=0,a5≠0。此時(shí)用Adexp(ε17V7)作用到V上并取ε17為適當(dāng)?shù)闹迪6,再用Adexp(ε18V6)依次作用并取適當(dāng)?shù)摩?8可將V7消去,于是可得向量V和生成算子k4V4+k5V5等價(jià)。

情形7a1=a2=a3=a5=0,a6≠0。此時(shí)用Adexp(ε19V5)作用到V上并取ε19為適當(dāng)?shù)闹迪7,可得向量V和生成算子k4V4+k6V6等價(jià)。

情形8a1=a2=a3=a5=a6=0。此時(shí)向量V和生成算子k4V4+k7V7等價(jià)。

綜上所述,方程(1)的李代數(shù)的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)為

其中ki(i=1,...,7)均為任意常數(shù),根據(jù)上述最優(yōu)系統(tǒng),我們可以得到方程(1)的對(duì)稱(chēng)約化。

3 方程(1)的對(duì)稱(chēng)約化及精確解

根據(jù)方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),取情形1-4進(jìn)行對(duì)稱(chēng)約化,將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程,并求出其精確解。

3.1 對(duì)于情形1,k1V1+k2V2+k4V4

(11)

3.2 對(duì)于情形2,k1V1+k3V3+k7V7

此時(shí)方程對(duì)稱(chēng)為σ=k1ctux+(k1x+k3u)ut-k3ct-k7,求其特征方程

同樣為使計(jì)算簡(jiǎn)便,不妨取k1=0,可得方程(1)的群不變解為

(12)

3.3 對(duì)于情形3,k1V1+k7V7

(13)

2(f′)3θ-cf″θ-cf′=0,

(14)

求解得到方程(14)的解為

(15)

將得到的解(15)代入群不變解(13)可得方程(1)的精確解為

(16)

3.4 對(duì)于情形4,k2V2+k5V5+k7V7

此時(shí)方程對(duì)稱(chēng)為σ=(k2x+k5u)ux+k2tut-k2u+k5x-k7,求其特征方程

此時(shí)利用不變量約化的常微分方程相對(duì)比較復(fù)雜,為使計(jì)算簡(jiǎn)便,不妨取k2=0,可得方程(1)的群不變解為

(17)

(18)

其中μ=C5k5(C6+θ)。將該解代入群不變解(17)得到方程(1)的精確解為

其中μ1=C5k5(C6+t),C5,C6為任意常數(shù)。

特別的當(dāng)C5=2c時(shí),方程(1)有雙曲余弦解

綜上所述,由方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),可以得到以上四種類(lèi)型的不變量及對(duì)應(yīng)的精確解。

4 方程(1)新的精確解的構(gòu)造

由方程(1)的單參數(shù)變換群可得,若u=f(x,t)是方程(1)的解,那么

(19)

下面對(duì)3中的4個(gè)精確解進(jìn)行討論。

也為方程(1)的精確解。

也為方程(1)的精確解。

為便于計(jì)算,不妨取k5=k7=1時(shí)的特解

也為方程(1)的精確解。

綜上,根據(jù)方程(1)的李對(duì)稱(chēng)群及精確解可得到如下精確解

5 結(jié)論

本文運(yùn)用經(jīng)典李群方法研究了非線(xiàn)性麥克斯韋方程,得到了方程的Lie對(duì)稱(chēng)。由于對(duì)稱(chēng)中包含任意常數(shù)，因此包含了無(wú)窮多對(duì)稱(chēng)，但由于其中許多對(duì)稱(chēng)是等價(jià)的，因此找到一組不等價(jià)的對(duì)稱(chēng)就可以得到不同的約化方程。本文利用最優(yōu)化方法構(gòu)造了方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),即找到了一組不等價(jià)的對(duì)稱(chēng)，并利用最優(yōu)系統(tǒng)對(duì)該方程進(jìn)行約化，由于最優(yōu)系統(tǒng)中也包含任意常數(shù)，為了方便求出約化后常微分方程的解，我們適當(dāng)對(duì)參數(shù)做了一些約束條件，令其中的一些參數(shù)為特定常數(shù)，進(jìn)而得到的精確解是在一定的約束條件下的解析解。最后用該方程的群不變解及單參數(shù)變換群構(gòu)造出一些新的精確解。