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    定積分的概念及其應(yīng)用

    2021-03-28 02:28:24胡林
    關(guān)鍵詞:分割定積分數(shù)學(xué)

    胡林

    【摘要】隨著科學(xué)的進(jìn)步和文化的普及,學(xué)習(xí)方法成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要元素之一.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,學(xué)習(xí)方法尤為重要.而定積分是常用的一種解決問(wèn)題的方法,則探究定積分解決問(wèn)題的思路成為必須.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);分割;定積分

    定積分是微積分學(xué)里很重要的內(nèi)容,它不僅在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用,而且在物理學(xué)中也有很多應(yīng)用.那么,定積分的概念以及其應(yīng)用有怎樣的聯(lián)系呢?定積分的定義表達(dá)式怎樣向積分表達(dá)式進(jìn)行切換呢?

    一、定積分概念的產(chǎn)生

    由上可知,我們通過(guò)特殊的分割方法,運(yùn)用分割、求積、求和、求極限可以求出圖形的面積.很顯然,分割的方式以及取點(diǎn)的方式還有很多,計(jì)算還會(huì)更加復(fù)雜,那么,這樣的一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程可以有代替的方法嗎?

    我們通過(guò)驗(yàn)證,可以找到這樣的方法,就是牛頓-萊布尼茨公式.我們可以對(duì)前面的問(wèn)題的計(jì)算表達(dá)式設(shè)定新的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式∫10exdx,該表達(dá)式稱為定積分表達(dá)式,這樣就有了定積分的概念.

    那么,定積分概念中的元素怎么與定積分表達(dá)式中的元素建立聯(lián)系呢?用定積分思維解決的問(wèn)題怎樣用定積分表達(dá)式表示呢?

    我認(rèn)為可以有如下步驟:

    定積分表達(dá)式建立可以分為三個(gè)步驟:

    1.確定積分變量

    在定積分定義思維中,第一步是分割,那么,分割的對(duì)象就是積分變量.

    2.確定積分上、下限

    上、下限由積分變量所在的區(qū)間確定.

    3.確定被積函數(shù)

    在積分表達(dá)式中,被積表達(dá)式=被積函數(shù)×d積分變量.

    則前面的問(wèn)題可寫(xiě)成:平面圖形的面積=∫10exdx=ex10=e-1.

    二、定積分的應(yīng)用

    下面,我們通過(guò)案例來(lái)體會(huì)一下上面的建立定積分表達(dá)式的三個(gè)步驟:

    2.1 定積分在幾何上的應(yīng)用

    2.1.1 用定積分求平面圖形的面積

    綜上可知,利用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的過(guò)程是從分析到解決的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中,更多的是以模型的方式出現(xiàn),即數(shù)學(xué)思維模式化.因而,當(dāng)理解了解決某種類型問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)思想以后,我們?nèi)绻芤杂洃浀姆绞絹?lái)解決問(wèn)題,就可以提高解決問(wèn)題的效率.以上,就是通過(guò)案例以及思維步驟來(lái)體會(huì)定積分模式化思維的應(yīng)用.

    三、定積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的現(xiàn)狀及存在的問(wèn)題

    3.1 定積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的現(xiàn)狀

    定積分的微元思想在實(shí)際應(yīng)用中,可以求平面圖形的面積、求立體幾何的體積、求曲線的弧長(zhǎng).《高等數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)分析》教材中都有該部分內(nèi)容.

    3.2 定積分存在的問(wèn)題

    在很多教材中,對(duì)于定積分表達(dá)式的建立,給出的思維步驟過(guò)于抽象,學(xué)生不能在問(wèn)題解決的過(guò)程中寫(xiě)出正確的定積分表達(dá)式,這是很多數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)建方面存在的問(wèn)題.對(duì)于學(xué)生而言,數(shù)學(xué)思維已很復(fù)雜和抽象,再去理解數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的思維就更難了.

    四、定積分的發(fā)展趨勢(shì)

    4.1 教材內(nèi)容語(yǔ)言表達(dá)方式

    定積分的微元思想在具體問(wèn)題中呈現(xiàn)時(shí),應(yīng)在實(shí)例表達(dá)中明確以下幾點(diǎn):

    1.指出微元是誰(shuí).

    2.指出微元計(jì)算公式是什么.

    3.指出怎么求微元計(jì)算公式中的成員.

    4.2 教材內(nèi)容呈現(xiàn)的方式

    將實(shí)際問(wèn)題作為案例來(lái)呈現(xiàn),使內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),而不是空中樓閣.

    4.3 教師的教學(xué)語(yǔ)言改革

    數(shù)學(xué)教師都是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言訓(xùn)練中成長(zhǎng)的,在教學(xué)過(guò)程中,也常用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行教學(xué),而對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言,這種語(yǔ)言就像天書(shū),云里霧里,難以理解.故在教學(xué)中,教師應(yīng)將語(yǔ)言形象化、語(yǔ)言邏輯化,以貼近學(xué)生的語(yǔ)言進(jìn)行教學(xué),例如:微元是長(zhǎng)方形,微元計(jì)算是長(zhǎng)×寬,若分割x,則寬為dx,長(zhǎng)為上面曲線的縱坐標(biāo)-下面曲線的縱坐標(biāo),標(biāo)記為y上-y下.語(yǔ)言是人類交流的方式,教師與學(xué)生交流時(shí),理所當(dāng)然要以學(xué)生語(yǔ)言形式進(jìn)行教學(xué),并在此基礎(chǔ)上,再將語(yǔ)言數(shù)學(xué)化.

    【參考文獻(xiàn)】[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

    [2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

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