數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探討

馮敏

【摘要】在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.學(xué)生如果能夠巧妙論證并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，就可牢牢抓住解題關(guān)鍵，以此提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.基于此，針對數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用相關(guān)知識，本文進(jìn)行了簡單分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;初中數(shù)學(xué);函數(shù)教學(xué);應(yīng)用

引 言

隨著新課標(biāo)改革的深入，作為初中階段重要學(xué)習(xí)科目——數(shù)學(xué)科目也發(fā)生了一定的改變.在以往的課堂教學(xué)中，因為數(shù)學(xué)是高考必考科目，所以教師面臨很大的教學(xué)壓力.在實際教學(xué)中，很多教師一味追求學(xué)生成績，在課堂上為學(xué)生灌輸知識以此提高學(xué)生成績，但課堂教學(xué)效率難以提高.初中階段，函數(shù)教學(xué)具有重要的意義，其利于闡述地球運動變化規(guī)律，同時也是一種數(shù)學(xué)模型.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)問題，利于提升其數(shù)學(xué)思維水平.教師在函數(shù)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)思想，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有非常重要的意義.

1 初中階段數(shù)學(xué)思想內(nèi)容

1.1 函數(shù)數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)中，變量轉(zhuǎn)換問題比較常見，對于此類問題，教師往往通過函數(shù)數(shù)學(xué)思想解決.而函數(shù)思想是指具化抽象變量，并利用變量關(guān)系重新構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，再借助這一函數(shù)關(guān)系式解決實際學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)變量轉(zhuǎn)換問題.由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，建立函數(shù)關(guān)系式就是具化抽象問題的過程.教師可引導(dǎo)初中學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識蘊含的抽象關(guān)系，從而從根本上優(yōu)化和提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

1.2 數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)思想

眾所周知，初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常重要，利于提高教師數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量與學(xué)生學(xué)習(xí)效率.初中數(shù)學(xué)知識可簡單地劃分成幾何與函數(shù)兩部分，數(shù)形結(jié)合思想可在幾何與函數(shù)知識間構(gòu)建聯(lián)系，可有效融合抽象與具象化知識.學(xué)生掌握這一思想后可很容易地解決數(shù)學(xué)幾何與函數(shù)問題.

1.3 分類討論數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)中，很多問題有不確定的已知條件，因而其答案也是不確定的.在實際練習(xí)中，為了獲得準(zhǔn)確答案，學(xué)生要結(jié)合數(shù)學(xué)題目中的已知條件進(jìn)行分類討論，解出不同情況下所對應(yīng)的正確答案.分類思想與其他數(shù)學(xué)思想不同，其重視細(xì)節(jié)分析.

1.4 其他思想

當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中還有其他數(shù)學(xué)思想，比如統(tǒng)計、算法、整體及化歸等思想，每種思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都發(fā)揮著一定的作用.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師作為教學(xué)組織者與學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，要積極分析教材內(nèi)容，發(fā)掘教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想，并靈活應(yīng)用這些思想引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，加強學(xué)生數(shù)學(xué)思維與修養(yǎng)的培養(yǎng)，從而使學(xué)生更好地理解教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心.

2 初中函數(shù)教學(xué)中包含的數(shù)學(xué)思想

2.1 函數(shù)部分包含的數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)部分是整個教學(xué)的引入部分，旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象，結(jié)合圖像、表格填寫與問題分析等方式，導(dǎo)出函數(shù)中存在的兩個變量及對應(yīng)關(guān)系.此單元的學(xué)習(xí)利于學(xué)生對函數(shù)圖像與變量對應(yīng)關(guān)系形成初步了解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)思想，但其體現(xiàn)程度不高，只是簡單點綴了一下.比如，“自變量可取確定值α，函數(shù)對應(yīng)值是確定且唯一的，這一對應(yīng)值就是自變量是α的函數(shù)值”這句話中，簡單點綴了函數(shù)思想，以此增強學(xué)生動腦思考的能力.再比如，函數(shù)概念中，描述兩個變量間一一對應(yīng)的關(guān)系，這闡述了函數(shù)概念的同時也初步體現(xiàn)了函數(shù)思想.

2.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)中包含的數(shù)學(xué)思想

“一次函數(shù)與正比例函數(shù)”體現(xiàn)了函數(shù)、方程及一般數(shù)學(xué)思想，而函數(shù)思想是體現(xiàn)最多的，其在每章節(jié)都有體現(xiàn)，尤其是習(xí)題部分最為明顯.比如，一次函數(shù)概念中“如果兩個變量x與y的關(guān)系式為y=kx+b（其中k，b為常數(shù)且k≠0），那么就可將y看作x的一次函數(shù)（其中x是自變量，y是因變量）”.y=kx+b是一次函數(shù)的一般形式，而y=kx（b=0）是特殊形式，所以利用概念可直接體會一般與特殊的數(shù)學(xué)與函數(shù)思想.

2.3 一次函數(shù)圖像中包含的數(shù)學(xué)思想

“一次函數(shù)思想”章節(jié)體現(xiàn)了綜合性數(shù)學(xué)思想，包含函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合及分類討論等思想，其中函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)最多.比如，正比例函數(shù)y=kx中，當(dāng)k>0時，隨著x值的增大y值變大;當(dāng)k<0時，隨著x值的增大y值變小.此部分中，分類討論k值，以此獲得不同結(jié)果，這是以直觀文字展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的分類討論思想.

2.4 一次函數(shù)應(yīng)用中包含的數(shù)學(xué)思想

“一次函數(shù)應(yīng)用”中充分體現(xiàn)了函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合及化歸等各種思想，而函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想是體現(xiàn)最多的.比如，例題中求兩點連成直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成三角形的面積的問題就是應(yīng)用函數(shù)圖像來進(jìn)行解答的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.另外，題目中要求解答圍成圖形面積，要先求出三角形兩條直角邊邊長，此時要明確這條直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo).所以，整個解答過程中，將求圖形面積變?yōu)榍笾本€與坐標(biāo)軸交點問題，充分體現(xiàn)了化歸思想.

2.5 反比例函數(shù)中包含的數(shù)學(xué)思想

學(xué)習(xí)反比例函數(shù)是在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.初中數(shù)學(xué)中，反比例函數(shù)知識包含反比例函數(shù)的定義、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、反比例函數(shù)的應(yīng)用三部分知識.第一部分是導(dǎo)入，介紹反比例定義，盡管內(nèi)容比較簡單，但蘊含的數(shù)學(xué)思想是非常豐富的，因而對解決實際問題至關(guān)重要.第二部分圖像與性質(zhì)是利用圖像形式探究函數(shù)性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).第三部分是反比例函數(shù)的應(yīng)用，旨在考查學(xué)生對該函數(shù)知識及數(shù)學(xué)思想所掌握的情況與應(yīng)用意識.

2.6 二次函數(shù)中包含的數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識中，二次函數(shù)是最后一種函數(shù)類型，也是函數(shù)學(xué)習(xí)中最難的知識點.二次函數(shù)作為重難點知識，教師必須要重視此部分內(nèi)容的教學(xué).另外，二次函數(shù)知識與后期圓錐曲線與方程根、函數(shù)零點等知識密切相關(guān).初中數(shù)學(xué)課本中，二次函數(shù)部分?jǐn)?shù)學(xué)思想以數(shù)形結(jié)合、函數(shù)及方程等各類思想為主，以直觀圖像引導(dǎo)學(xué)生深入理解函數(shù)概念，從而使學(xué)生更好地掌握函數(shù)性質(zhì).二次函數(shù)中也體現(xiàn)了很多模型思想，以課后練習(xí)題最為集中，因而教師要深入發(fā)掘數(shù)學(xué)思想并將其與課堂教學(xué)融合起來，以此幫助學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識，并熟練應(yīng)用其蘊含的數(shù)學(xué)思想解決實際問題.

3 初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想應(yīng)用建議

3.1 有效樹立數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是函數(shù)概念深化的重要形式.初中數(shù)學(xué)教師要深入了解函數(shù)概念.在日常教學(xué)中，初中數(shù)學(xué)教師要為學(xué)生有效滲透函數(shù)概念.一次函數(shù)圖像表現(xiàn)為一條直線，而二次函數(shù)圖像則表現(xiàn)為一條拋物線，不同函數(shù)其變化趨勢是升降結(jié)合的.反比例函數(shù)圖像為雙曲線，其可向x軸無限延伸.數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過應(yīng)用函數(shù)思想，可為學(xué)生帶來直接感官體驗，同時還能引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成直觀的理性思維習(xí)慣，這是非常重要的.數(shù)學(xué)解析法呈現(xiàn)了自變量與函數(shù)的所有相依關(guān)系，因而在理論分析與推導(dǎo)計算中有很強的適用性.與此相比，圖像法能夠直觀地展現(xiàn)函數(shù)變化情況，為研究與記憶創(chuàng)造條件.數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師結(jié)合應(yīng)用這兩種數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生樹立正確的數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮著重要的作用.

3.2 應(yīng)用函數(shù)模型思想解決函數(shù)問題

函數(shù)模型思想是指利用運動變化觀點對實際問題中兩個變量間的關(guān)系進(jìn)行研究和分析，構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決實際問題的方法.

比如，某報亭從報社買進(jìn)某種日報的價格為每份0.30元，而以每份0.50元的價格賣出，如果報紙賣不出去可以每份0.10元退給報社.實際上，一個月（30天）中，有20天每天報紙只能賣出150份，剩余10天每天則能夠賣出200份.假設(shè)每天從報社買進(jìn)的報紙份數(shù)必須相同，那么該報亭每天要買進(jìn)多少份報紙方可確保本月獲得最大利潤？最大利潤為多少？

分析：本題目包含很多數(shù)據(jù)信息，閱讀理解題意搞清楚各變量間的關(guān)系，同時明確自變量取值范圍是解決本題的重點.

解答：假設(shè)報亭從報社每日買進(jìn)報紙x份，其每月賣出獲得的利潤是y元，根據(jù)題意可以得到y(tǒng)=（0.50-0.30）x·10+（0.50-0.30）·150·20-（0.30-0.10）（x-150）·20（150≤x≤200），經(jīng)過簡化可以得到y(tǒng)=-2x+1200（150≤x≤200）.

因該函數(shù)在150≤x≤200時，隨著x值變大y值逐漸減小，因而當(dāng)x=150時，利潤y取最大值，其最大值是-2×150+1200=900（元）.根據(jù)這一結(jié)果就可得出報亭每日從報社買進(jìn)150份報紙，當(dāng)月所獲利潤最大且最大值為900元.

3.3 應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解答函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化思想是基于某種轉(zhuǎn)化過程，把要解決的問題歸納為容易解決或已經(jīng)解決兩種類型，以此解決原有問題.比如復(fù)雜問題的簡化、陌生問題熟悉化以及數(shù)學(xué)化問題等，都可應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決.

例如：在A，B，C三棟樓間設(shè)取奶站，A，B，C三棟樓在同一直線上順次為A樓、B樓、C樓.其中A，B兩棟樓間相距40 m，而B，C兩棟樓間相距60 m.已知A，B，C三棟樓每天取奶人數(shù)分別是20人，70人與60人.問取奶站設(shè)在哪個位置可使每天所有取奶的人數(shù)到取奶站的距離總和最小？

解析：假設(shè)取奶站設(shè)在距A樓x m處，所有取奶的人到取奶站距離總和是y m.如果取奶站在A，B兩樓之間，即0≤x≤40時，那么y=20x+70（40-x）+60（100-x），化簡可得y=8800-110x.因隨著x值變大y值不斷變小，所以當(dāng)x為40時，y取最小值，是4400;如果取奶站設(shè)在B，C兩樓之間，即404400.因此在B樓設(shè)立取奶站，每天所有取奶的人到取奶站距離總和是最小的.

3.4 通過探究問題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用旨在引導(dǎo)學(xué)生有效解決遇到的數(shù)學(xué)問題.實際教學(xué)中，營造氣氛良好的探究教學(xué)氛圍，是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)問題的重要契機.比如，在二次函數(shù)表達(dá)式的教學(xué)中，教師可提出以下問題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0），該函數(shù)圖像經(jīng)過（2，6）與（-1，3）兩點，求二次函數(shù)表達(dá)式.將（2，6）與（-1，3）兩點坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)表達(dá)式，解方程組，進(jìn)而可得函數(shù)表達(dá)式.因此對于上面這種形式的二次函數(shù)，我們只要知道兩個點的坐標(biāo)就可將其表達(dá)式求出來.

結(jié)束語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，作為一名數(shù)學(xué)教師要深入了解數(shù)學(xué)思想對課堂教學(xué)的意義以及發(fā)揮的作用.教師講解函數(shù)問題時，應(yīng)該應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，這樣不僅有利于全面提升教學(xué)質(zhì)量，還可以強化學(xué)生知識汲取能力.教師在課堂教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，可有效啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生創(chuàng)新水平.因此，優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要有效引入數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化以及分類探討等方法，引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實際中遇到的數(shù)學(xué)問題，以此全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

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