11階幻方與等冪和

張?jiān)诿?/p>

(玉溪師范學(xué)院，云南 玉溪 653100)

本文介紹兩個(gè)漂亮的11階完美對(duì)稱幻方(圖1、圖2)以及依托這兩個(gè)幻方而得到的等冪和數(shù)組和代數(shù)恒等式.

圖1 11階完美·對(duì)稱 幻方(1) 圖2 11階完美·對(duì)稱 幻方(2)

首先說明圖中的幻方都是完美幻方.顯然可以直接計(jì)算出其行、列、左、右泛角線的數(shù)字和均為671.不過下面再介紹一種通用的方法，即自然數(shù)陣的數(shù)字結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以此建立自然數(shù)陣與幻方的內(nèi)在聯(lián)系，為節(jié)省篇幅而又不失一般性，不妨以7階為例.

先看7階自然數(shù)陣(圖3)，其中心位置的數(shù)字為25，左對(duì)角線上的數(shù)字依序?yàn)椋?、9、17、25、33、41、49，組成公差為8的等差數(shù)列，中項(xiàng)為25，左、右數(shù)字以25為對(duì)稱中心，其和為175.

現(xiàn)在列表討論左泛角線數(shù)字特點(diǎn)(圖4)，第2行前6個(gè)數(shù)字比第1行增1，共增加6，最后數(shù)43恰比49減少6，第2行的數(shù)字和仍為175.右泛角線7組數(shù)字也是如此，加上第4行、第4列(對(duì)稱1)，于是便首先湊夠7階幻方中7行7列，二主對(duì)角線的全部16組數(shù).接下來的任務(wù)便是把自然數(shù)陣的此16組數(shù)字構(gòu)造為7階幻方，7階對(duì)稱幻方乃至7階完美對(duì)稱幻方，這些就是文獻(xiàn)[1]所討論的問題.

圖3 7階自然數(shù)陣 圖4 左泛角線數(shù)字特點(diǎn)

以下演示通過7階自然數(shù)陣，用鋪地錦加斜排(一定要跳空一格！)構(gòu)造兩個(gè)7階完美對(duì)稱幻方(圖5)：

圖5 用鋪地錦加斜排構(gòu)造7階完美對(duì)稱幻方

圖6 7階完美對(duì)稱幻方(1) 圖7 7階完美對(duì)稱幻方(2)

簡要過程：①填寫自然數(shù)陣(至少一個(gè))；②以其左對(duì)角線數(shù)組為準(zhǔn)，成為7階完美對(duì)稱幻方的第4行；③以1為起點(diǎn)，跳一格斜排向上向下取點(diǎn)列20、32、44以及38、26、14，共7個(gè)數(shù)字組成7階完美對(duì)稱幻方的第1列；④如圖5所示，相繼完成幻方的其他6行的數(shù)組.⑤見圖6，完成第1個(gè)7階完美對(duì)稱幻方的構(gòu)造過程；⑥驗(yàn)證圖6中的7階數(shù)陣，確是幻方，對(duì)稱幻方，完美幻方(從略);⑦仿此，以自然數(shù)陣右對(duì)角線為依據(jù)，構(gòu)造另一個(gè)7階完美對(duì)稱幻方)(過程從略，結(jié)果由圖7顯示).

把7階自然數(shù)陣換成11階，用鋪地錦加斜排(跳空一格)，如法類推便得到圖1、圖2中的兩個(gè)11階完美對(duì)稱幻方.

由于10進(jìn)位制的關(guān)系，此二幻方數(shù)字安排特別漂亮，尤其是圖1，故筆者將它命名為“Forget me not！”(毋忘我)，它有下面幾個(gè)特點(diǎn)：

①第6行從左到右，組成以10為公差的等差數(shù)列，末位數(shù)字均為1，簡明，標(biāo)準(zhǔn)，第5行乃由11階自然數(shù)陣中的右對(duì)角線演變而來.

②第3行也很有意味，中間數(shù)字121為最大數(shù)，猶如中流砥柱，巍然屹立.左右10個(gè)數(shù)，從10、20到90、100,這正是10進(jìn)位數(shù)獨(dú)有的魅力，為別的幻方所缺失.

③第1、2、4、5行都是兩組公差也是10的等差數(shù)列組成，條理分明，都是由自然數(shù)陣中的右泛對(duì)角線數(shù)組構(gòu)成.

④與之相對(duì)稱的是第6行到第11行，交相輝映，如121與1，一高一低，一大一小，遙相呼應(yīng).

⑤幻方中的數(shù)字還具有奇偶分開的特點(diǎn).

⑥對(duì)泛對(duì)角線數(shù)字和的驗(yàn)證，同樣可用以左右對(duì)角線數(shù)字相對(duì)比進(jìn)行，比如左對(duì)角線與相鄰一組右泛對(duì)線，由下可見增減一樣，其和不變：

2、16、30、44、47、61、75、78、92、106、120

9、12、26、40、54、57、71、85、99、102、116

(7、-4、-4、-4、7、-4、-4、7、7、-4、-4)

至于圖2中的11階完美對(duì)稱幻方，可視為圖1中的幻方的伴隨幻方，異中有同，同中有異.

以下，討論依托這兩個(gè)幻方而構(gòu)建的等冪和恒等式，有別于一般資料的方法，本文將采用一般化的表現(xiàn)形式.為此，必須對(duì)幻方作“對(duì)稱化”的技術(shù)處理(將各數(shù)字減去61，再一一加上未知元y，如圖8所示.)

圖8 對(duì)幻方作“對(duì)稱化”技術(shù)處理

先討論第1行，其數(shù)字的2次等冪和，有

(y-49)2+(y-28)2+(y-18)2+(y-8)2+(y+2)2+(y+12)2+(y+22)2+(y+32)2+

(y+42)2+(y+52)2+(y-59)2=

11y2+2(-49-28-18-8+2+12+22+32+42+52-59)y+492+282+182+82+22+

122+222+322+422+522+592=11y2+0y+13 178=11(y2+1 198)

由于對(duì)稱性，不難發(fā)現(xiàn)，第11行諸數(shù)字的2次等冪和也等于11(y2+1 198).

同樣的討論適合第1列與第11列，有

(y-49)2+(y-25)2+(y-1)2+(y+23)2+(y+47)2+(y-50)2+(y-37)2+(y-13)2+

(y+11)2+(y+35)2+(y+59)2=

11y2+492+252+12+232+472+502+372+132+112+352+592=11(y2+1 330)

(y-25)2+(y+9)2+(y+43)2+(y-44)2+(y-10)2+(y+24)2+(y+58)2+(y-29)2+

(y+5)2+(y+28)2+(y-59)2=11y2+13 662=11(y2+1 242)

經(jīng)過一番計(jì)算，關(guān)系到圖8中11階完美對(duì)稱幻方一般式的行、列、左(右)泛對(duì)角線的2次等冪和代數(shù)恒等式，用簡單符號(hào)表示共得

否則，只得另辟蹊徑！

再說圖2中幻方所涉及的2次等冪和問題.不難斷定，其行(列)相關(guān)的等式與圖1中的毫無二致，僅數(shù)字排序不同，至于左(右)泛對(duì)角線方面的，則有所不同，舉二例于下：

還有3次等冪和式必須列出：

在上面的2次、3次等冪和等式中，取y=61，便得到文章開頭部分，即圖1、圖2，兩個(gè)11階完美對(duì)稱幻方所依托的等冪和等式，舉4例于下：

602+702+802+902+1002+1212+102+202+302+402+502=

722+822+922+1022+1122+12+222+322+422+522+622=

11(3 721+1 110)=53 141

332+462+702+942+1182+212+342+582+822+1062+92=

1132+162+402+642+882+1012+42+282+522+762+892=

11(3 721+1 176)=53 867

123+463+803+1143+273+613+953+83+423+763+1103=

23+163+303+443+473+613+753+783+923+1063+1203=

11×61(3 721+6×632)=5 041 223

223+543+863+1183+293+613+933+43+363+683+1003=

1113+1043+963+883+693+613+533+343+263+183+103=

11×61(3 721+6×588)=4 864 079