合同變換及其應(yīng)用

李玲丹，白麗艷

(玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，云南 玉溪 653100)

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因的論文《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》根據(jù)變換群理論的觀點(diǎn)，給出了清晰的幾何新定義，幾何被定義為研究圖形在某個(gè)變換群下的不變性質(zhì)的學(xué)科[1]．中學(xué)涉及的幾何課程中，無論是課程內(nèi)容還是教師教學(xué)，都引入了幾何變換的思想，在這樣的形勢(shì)下，如何有效且高效地運(yùn)用幾何變換的觀點(diǎn)和思想方法來解決中學(xué)學(xué)習(xí)中涉及到的相關(guān)問題，已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革中的一種新思維方式．

在初等幾何相關(guān)的解題過程中，作輔助線往往是解決初等幾何問題的要點(diǎn)所在．而由于幾何問題的多變，不同題型所作輔助線的方法也是不同的．在這種情況下，就可利用初等幾何變換來進(jìn)行有效分析，運(yùn)用多種變換對(duì)題中給出的各個(gè)條件進(jìn)行集中處理，通過觀察變換后的各個(gè)條件之間的關(guān)系，即可得到較為清晰的證題思路．而合同變換作為初等幾何變換中的一大類，對(duì)于解決初等幾何問題意義重大．基于此，本文探索研究了在初等幾何問題中正確應(yīng)用合同變換的方法．

定義[2]一個(gè)平面到其自身的變換W，如果對(duì)于該平面上的任意兩點(diǎn)A、B和它們的像點(diǎn)A′、B′之間，恒有距離A′B′=AB，那么這個(gè)變換W就叫做平面上的合同變換．

合同變換的基本形式有平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射變換3種．下面，將對(duì)合同變換所包括的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸反射變換在各類型初等幾何問題中的應(yīng)用進(jìn)行論述.

1 平移變換

1.1 平行四邊形與平移變換

若平面幾何的題設(shè)條件中含有平行四邊形，則可想到用平移變換來對(duì)問題進(jìn)行處理，對(duì)于平移向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的選擇，可根據(jù)所要解決的問題來選擇平行四邊形的某兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)．

例1[3]設(shè)Q是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)．

求證：∠BAQ=∠QCB當(dāng)且僅當(dāng)∠QBA=∠ADQ．

設(shè)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，則∠BCQ′=∠ADQ，且四邊形ABQ′Q是一個(gè)平行四邊形．

∴∠BAQ=∠QQ′B，∠QBA=∠BQQ′，

圖1

則∠BAQ=∠QCB，

?∠QQ′B=∠QCB，

?B、Q′、C、Q四點(diǎn)共圓，

?∠BQQ′=∠BCQ′，

?∠QBA=∠BCQ′，

?∠QBA=∠ADQ，

1.2 共線相等線段與平移變換

在平面幾何問題中，若該問題的條件中給出兩條相等的線段，并且這兩條線段在同一條直線上，那么我們就可以考慮利用平移變換來對(duì)問題具體分析．一般來說，所選的平移向量需使其中一條線段通過平移變換與另一條線段重合．

例2 設(shè)點(diǎn)M、N是△ABC邊BC上兩個(gè)點(diǎn)，BM=NC．∠BAM=∠NAC

求證：△ABC為等腰三角形.

則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,設(shè)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，則AA′∥BC，

∴四邊形ANCA′是一個(gè)梯形，

圖2

又A′N=AB，A′C=AM

已知BM=NC，

∴△A′NC≌△ABM，

∴∠NA′C=∠BAM=∠NAC，

∴四邊形ANCA′是一個(gè)圓內(nèi)接梯形，

由此四邊形ANCA′為等腰梯形，

∴AC=A′N=AB，

故△ABC是等腰三角形．

1.3 一般相等線段與平移變換

如果給出的兩條長(zhǎng)度相等的線段沒有特殊關(guān)系，那么對(duì)于這兩條線段，可以利用平移變換來處理:對(duì)其中的一條線段進(jìn)行平行移動(dòng)，使得這兩條線段的某個(gè)端點(diǎn)經(jīng)過平移變換后重合，由于兩線段的長(zhǎng)度相等，則變換后的圖形可與等腰三角形相關(guān)，那么就可利用等腰三角形有關(guān)性質(zhì)來對(duì)問題進(jìn)一步分析．

例3[3]設(shè)E、F分別是ABC的邊BC、AC上的點(diǎn)，且BE=AF，AE與BF交于點(diǎn)G，∠ABC的角平分線CD與AE、BF、AB分別交于點(diǎn)H、I、D．

圖3

則BFEE′，BEFE′，

∵AF=BE，

∴AF=FE′，∠CAE′=∠AE′F，

又FE′BC，

∴∠E′FC=∠FCB，

∴∠E′AG=∠ACD，則AE′∥DC，

∴∠GHI=∠EAE′，

又∵BF∥EE′，∴∠HGI=∠AEE′，

1.4 平行與平移變換

在同一平面內(nèi)，通過平移得到的兩條直線是互相平行的．因此，若是已知條件中含有與平行相關(guān)的平面幾何問題，同樣可以用平移變換來進(jìn)行探究，平移方向及距離根據(jù)問題確定．

例4[3]設(shè)AM是△ABC的角平分線，任做一條直線l分別與BC、CA、AB交于點(diǎn)P、Q、R．

圖4

∴B′Q=BR，∠BAC=∠B′QC，

設(shè)B′C與l交于點(diǎn)N，則NP∥B′B，

又AM平分∠BAC，于是由三角形的角平分線定理與判定定理,得

2 旋轉(zhuǎn)變換

設(shè)O是平面π上一個(gè)定點(diǎn)，θ是一個(gè)定角(有向角)，如果平面π的一個(gè)變換，使得對(duì)于平面π上任意一點(diǎn)A與其像點(diǎn)A′之間，恒有：

(1)OA′=OA；

(2)有向角∠AOA=θ．

則這個(gè)變換稱為平面π的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，記作R(0,θ)，其中定點(diǎn)O稱為旋轉(zhuǎn)中心，定角θ稱為旋轉(zhuǎn)角或轉(zhuǎn)幅[3]．當(dāng)θ=180°時(shí)的旋轉(zhuǎn)稱為半周旋轉(zhuǎn)，又叫作中心反射或中心對(duì)稱變換，記作C(O)[3].

2.1 中點(diǎn)與中心反射變換

已知線段的中點(diǎn)即為這條線段的反射中心，由此，若題干給出某線段中點(diǎn)，則可用中心反射變換處理，反射中心即為此線段中點(diǎn).

例5 過直角△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)P與直角頂點(diǎn)A作一個(gè)圓分別與兩直角邊AB、AC交于點(diǎn)M、N．

求證：BM2+CN2=MN2.

證明：如圖5所示，做中心反射變換C(P)，則C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B．設(shè)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′，則P為NN′的中點(diǎn)，NB′CN．

∵BA⊥CA，

圖5

∴BM⊥CN，

∴BM⊥BN′.

∵∠BAC為直角，

∴MN為圓的直徑，

∴MP⊥PN，

則MP⊥NN′.

又P為NN′的中點(diǎn)，

∴MN′=MN.

由△MBN′是直角三角形，BM2+CN2=BM2+BN′2=MN′2=MN2.

2.2 平行四邊形與中心反射變換

平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．所以，若一個(gè)平面幾何問題中含有與平行四邊形相關(guān)的條件，可以根據(jù)題設(shè)條件選擇利用中心反射變換進(jìn)行處理，此時(shí)，該變換的反射中心就是平行四邊形的中心．

例6[3]設(shè)Q為平行四邊形ABCD的AD邊中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)P．

求證：∠PDQ=3∠QPA的充分必要條件是BC=2AB．

圖6

證明：如圖6所示，以平行四邊形ABCD的中心O點(diǎn)為反射中心作中心反射變換C(O)，則A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B．設(shè)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，則P′在直線CD上，Q′為BC的中點(diǎn),且AP′⊥CD，QQ′ABCD，∠Q′P′C=∠QPA=∠PQQ′,∠QQ′D=∠P′CQ′．

又Q為Rt△AP′D的斜邊AD的中點(diǎn)，

∴QP′=QD=Q′C，

∴四邊形P′QQ′C是以QQ′、P′C為兩底的等腰梯形，

∴∠Q′QD=∠P′CQ′=∠QP′C，

則∠PQD=3∠QPA?∠PQQ′+∠Q′QD=3∠QPA?∠QPA+∠Q′QD=3∠QPA

?∠Q′QD=2∠QPA?∠QP′C=2∠Q′P′C?∠QP′Q′=∠Q′P′C

?AB=AQ?AD=2AB?BC=2AB.

2.3 正三角形與旋轉(zhuǎn)變換

正三角的三邊相等且三個(gè)角均為60°，若一個(gè)平面幾何問題給出的條件中有與正三角形相關(guān)的內(nèi)容，可根據(jù)已知條件進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，該變換的旋轉(zhuǎn)角即為60°，旋轉(zhuǎn)中心則根據(jù)所需解決的問題來選擇正三角形的頂點(diǎn)．

例7[4]設(shè)M為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且MA=a，MB=b，MC=c，求△ABC的面積．

解：如圖7所示，將△MAB、△MBC、△MCA分別繞著點(diǎn)A、B、C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，使AB、BC、CA分別與AC、BA、CB重合，這時(shí)△MAB、△MBC、△MCA分別旋轉(zhuǎn)到△PAC、△QBA、△RCB所在的位置．

圖7

由△MAB≌△PAC，△MBC≌△QBA，△MCA≌△RCB，

得MA=PA=RB=a，MB=QB=PC=b．MC=RC=QA=c

∠BAC=∠NAP=60°，∠ABC=∠MBQ=60°，∠BAC=∠MCR=60°，

由MA=PA=a，∠MAP=60°，得△MAP為正三角形．

同理，△MBQ和△MCR為正三角形，

∴MP=a，MQ=b，MR=c，即△MAQ≌△MBR≌△MCP，則

2.4 正方形與旋轉(zhuǎn)變換

由于正方形的特殊性質(zhì)，在一個(gè)平面幾何問題中，如果題設(shè)給出的條件中含有與正方形相關(guān)的內(nèi)容，那么就可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換來處理，旋轉(zhuǎn)角為90°．旋轉(zhuǎn)中心選為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)．

例8[3]設(shè)M、N分別為正方形ABCD的邊DC、AD上的點(diǎn).

求證：BM=CM+AN的充分必要條件是BN平分∠ABM．

證明：如圖8所示，作旋轉(zhuǎn)變換R(B,90°)，則C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.設(shè)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，則BM′=BM，AM′=CM，且∠ABM′=∠CBM，M′在DA的延長(zhǎng)線上，

∴NM′=AM′+AN=CM+AN，

又∠M′NB=∠CBN，

∴BM=CM+AN，

圖8

?BM=NM′，

?BM′=NM′，

?∠BNM′=∠NBM′，

?∠CBN=∠NBM′，

?BN平分∠CBM′，

?BN平分∠MBA.

3 軸反射變換

設(shè)l是平面π上的一條定直線，若通過平面π上的一個(gè)變換，可以使平面上不在直線l上的任意一點(diǎn)A與其經(jīng)過變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′之間的連線AA′恒被直線l垂直且平分，而直線l上的點(diǎn)是保持不動(dòng)的，那么，這個(gè)變換就稱為平面π的軸反射變換，其中，定直線l就是這個(gè)軸反射變換的反射軸[3]．

3.1 等腰三角形與軸反射變換

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，因此，當(dāng)題設(shè)條件中有涉及等腰三角形相關(guān)的條件時(shí)，可以考慮利用軸反射變換來對(duì)問題進(jìn)行處理，此時(shí)，該變換的反射軸就是等腰三角形的對(duì)稱軸所在的直線．

例9 在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC的內(nèi)一點(diǎn)．

求證：∠ADB>∠CDA的充分必要條件是DC>DB．

圖9

證明：如圖9所示，對(duì)等腰△ABC作軸反射變換，反射軸為等腰△ABC的對(duì)稱軸．則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,設(shè)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，則D′依然位于△ABC的內(nèi)部.且DD′∥BC，△AD′B=△ADC，△DCB=△D′BC，則

△ADB>△CDA

?△ADB>△AD′B

?點(diǎn)D在△ABD′內(nèi)部

?△DBC>△D′BC

?△DBC>△DCB

?DC>DB．

3.2 角平分線與軸反射變換

角是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)一個(gè)平面幾何問題中給出了某個(gè)角及其角平分線時(shí)，可以考慮利用這個(gè)角及其角平分線來作軸反射變換，反射軸即角平分線所在直線.

例10[2]已知DH為直角△ABC斜邊上的高，AF平分∠BAC交BH于點(diǎn)E，

EP∥AC，交CB于點(diǎn)P.

求證：BE=CP.

證明：如圖10所示，以∠BAC的角平分線為對(duì)稱軸作軸反射變換,則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，B′必在AC邊上,且AB=AB′，EB=EB′，∠ABE=∠AB′E.

圖10

∵△ABC是直角三角形，且BH⊥AC，

∴∠ABH=90°-∠HBC=∠C，

∵∠ABH=∠AB′E，

∴∠AB′E=∠C，故EB′∥PC，

又已知EP∥AC，

∴四邊形EPCB′是平行四邊形，

∴B′E=CP，

又∵BE=B′E，

∴BE=CP．

3.3 垂直與軸反射變換

以直角的其中一邊為反射軸來作軸反射變換，則變換前后的圖形剛好為一個(gè)平角，因而，若平面幾何問題中給出有關(guān)垂直條件，那么此時(shí)就可以利用軸反射變換來解決問題．

例11[3]設(shè)AD是△ABC的一條高，H是直線AD上的一點(diǎn).

求證：點(diǎn)H是△ABC的垂心．

證明：如圖11所示，以BC邊為對(duì)稱軸作軸反射變換，設(shè)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H′，則H′在直線AD上，且∠CH′B=∠BHC=180°-∠BAC，即∠CH′B+∠BAC=180°，則A、B、H′、C四點(diǎn)共圓，

∴∠H′AC=∠H′BC，

圖11

∴∠H′AC=∠CBH，

即∠DAC=∠CBH，

設(shè)直線BH與AC交于點(diǎn)M，

則∠DAM=∠DBM，

∴M、A、B、D四點(diǎn)共圓，

∴∠AMB=∠ADB=90°，

∴BH⊥CA，

故點(diǎn)H是△ABC的垂心．

3.4 30°的角與軸反射變換

以30°角的其中一邊為對(duì)稱軸作軸反射變換，則變換前后的圖形可構(gòu)成一個(gè)60°的角，故在一個(gè)平面幾何問題中，若題設(shè)給出的條件中含有30°角，則可對(duì)其做軸反射變換，反射軸為角的其中一邊.

例12[3]在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=50°，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAG=20°，∠ACG=40°．求∠GBA．

解：如圖12所示，以AC邊為對(duì)稱軸作軸反射變換，設(shè)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，則∠BAB′=60°，AB′=AB，即△ABB′為等邊三角形，

∠AB′C=∠CBA=50°，∠CAB′=∠CAB=30°，又∠BAG=20°，

圖12

∴∠GAC=∠BAC-∠BAG=10°，

∴∠CGA=180°-∠GAC-∠ACG=130°，

∴∠AB′C+∠CGA=180°

則A、G、C、B′四點(diǎn)共圓，

∴∠AB′G=∠ACG=40°，

又∠GAB′=∠GAC-∠CAB′=40°，

∴∠AB′G=∠GAB′，

∴GB′=GA，

又BB′=BA，

∴△ABG≌△B′BG(sss)，

4 總 結(jié)

合同變換對(duì)于解決初等幾何問題是有重要作用的，本文通過討論合同變換所包含的三類變換在不同題型中的使用方法，對(duì)合同變換在具體問題中的具體應(yīng)用給出了一定參考，但初等幾何問題是無規(guī)律可循的，面對(duì)這類問題，可以利用合同變換來進(jìn)行探索研究，但合同變換只是為解決問題提供一個(gè)新的思路，具體問題還應(yīng)具體分析．