基于共形映射的裂縫井流動問題研究

康 浩，宋新民，戴 鹍，雷征東，高 建，孫永彪，聶婷婷

(1.河北師范大學中燃工學院，河北 石家莊 050024；2.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；3.中國石油大學(北京)，北京 102249)

直井壓裂可以將油氣的平面徑向流變?yōu)槠矫婢€性流，從而大大提高產(chǎn)量。截至目前，已經(jīng)有大量學者針對壓裂直井的產(chǎn)能問題進行深入細致的研究，得出大量理論和模型：陳曉明等[1]運用點源函數(shù)和格林函數(shù)的方法，引入雙區(qū)復合模式對滲流規(guī)律進行刻畫；熊也等[2]同時考慮應力敏感性、水力垂直裂縫和雙重介質(zhì)三個方面，建立不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型；李準等[3]利用攝動變換和拉普拉斯變換法，獲得了壓裂直井的6個典型的流動階段；朱維耀等[4]綜合考慮了頁巖氣滲流、擴散和解吸的流動機理，進行了產(chǎn)能預測和影響因素的分析；王永輝等[5]研究了高溫深層碳酸鹽巖壓裂改造，建立了相應的8種滲流模型；張烈輝等[6]利用邊界元方法提高計算精度，精確地描述了煤層氣藏壓裂直井的生產(chǎn)動態(tài)。這些研究豐富了壓裂直井產(chǎn)能計算理論，也有效地指導了現(xiàn)場生產(chǎn)。但是，從流線和等勢線分布特征角度開展分析的研究還比較少，推導過程復雜且計算不便。

共形映射是一種數(shù)學變換方法，它能夠?qū)碗s區(qū)域(坐標平面)上的工程問題轉(zhuǎn)換到簡單區(qū)域(坐標平面)上去討論，從而大大降低了問題的難度，對于油氣井產(chǎn)能的計算大有幫助。

通過兩種共性映射的應用，從流場分布的角度對比了映射前后流線與等勢線的對應關系，證實了不同的具體滲流問題，往往還具有一定的本質(zhì)相同的流動特性，可以為水平井多級壓裂、體積壓裂等復雜條件下的產(chǎn)能計算提供借鑒。

1 理論基礎

首先，根據(jù)復變函數(shù)理論，如果在復平面上的復數(shù)z=x+iy在一定范圍內(nèi)變化時，復平面上的復數(shù)W隨z值的變化而變化，則W稱之為z的復變函數(shù)。設復變函數(shù)W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件[7]，則W(z)在定義域D內(nèi)的z=x+iy點可導。進一步地，若W(z)在定義域D內(nèi)的每一點可導，則復變函數(shù)可在定義域內(nèi)解析。事實上，若以復變函數(shù)W(z)的實部ξ(x,y)作為滲流場的勢函數(shù)，見式(1)。

(1)

則流體的滲流速度見式(2)。

(2)

考慮到復變函數(shù)W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件，則復變函數(shù)W(z)的虛部η(x,y)可以作為滲流場的流函數(shù)[8]。進而解析函數(shù)和滲流場之間就建立了一一對應關系，可以用復勢理論來研究滲流問題。

其次，若W(z)在定義域D內(nèi)解析，z0為定義域內(nèi)一點，只要W′(z0)≠0，則W(z)在z0具有兩個性質(zhì)：一是保角性，即通過z0的任意兩條曲線間的夾角與經(jīng)過映射后所得對應兩曲線間的夾角一致；二是伸縮率的不變性，即通過z0的所有曲線的伸縮率均為|W′(z0)|，且與該曲線的形狀和方向無關。此時，稱映射W(z)在z0是共形的，如果解析函數(shù)W(z)在定義域D內(nèi)處處有W′(z)≠0,那么映射W(z)是定義域D內(nèi)的共形映射[9]。

2 共形映射前后井產(chǎn)量的關系

假設L為z平面上圍繞井的封閉曲線，dn、dL為z平面曲線L的法向及切向單元，λ為作共形映射后W平面上對應的封閉曲線，dv、dλ為W平面上曲線λ的法向單元及切向單元。 則在z平面上的井的絕對產(chǎn)量可以用圍道積分來表示[10]，見式(3)。

(3)

實際上，在進行變換時，相應等勢線上所給定勢的值是相同的，即等勢線上的勢的值保持相同，所改變的只是等勢線和流線的幾何形狀。又由于在對應平面上各點周圍無限小單元內(nèi)的幾何線段處處相似，因此有式(4)。

(4)

由此可見，映射前后井的絕對產(chǎn)量保持不變。

3 模型建立與求解

實際問題如下所述：在半徑為re、厚度為h和滲透率為K的圓形等厚、水平、均質(zhì)地層中心有一長度為2L的裂縫井，邊部供給充足，儲層的原油黏度為μ，裂縫井井底壓力為pw,供給半徑為re,供給邊界處的壓力為pe,求裂縫井的產(chǎn)量。

3.1 求解一

為了應用共性映射方法求解以上問題，可以先參考如下滲流的產(chǎn)量計算問題[11-12]：在平面W上，有一寬度為π的無限大地層，原油分別從右側(cè)無限遠處和左側(cè)無限遠處流入生產(chǎn)坑道，生產(chǎn)坑道的產(chǎn)量為Q，儲層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產(chǎn)坑道壓力為pw,供給邊界處的壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢線是平行于η軸的一系列直線，流線是平行于ξ軸的一系列直線。

取變換函數(shù)z=LcoshW,其中，z=x+iy，W=ξ+iη,則經(jīng)過整理化簡，得到式(5)。

x=Lcoshξcosη,y=Lsinhξsinη

(5)

可以根據(jù)式(5)確定該映射下，兩個平面上特殊點之間的對應關系：平面W上的原點(ξ=0,η=0)對應于平面z上的(x=L,y=0)；平面W上的點(ξ=0,η=π)對應于平面z上的(x=-L,y=0)；平面W上的點(ξ=0,η=π/2)對應于平面z上的(x=0,y=0)，即z坐標的原點。平面W上的點(ξ=ξ0,η=π/2)對應于平面z上的(x=0,y=Lsinhξ0)，其中，當ξ0=+∞時，對應的是y軸的正無窮大，當ξ0=-∞時，對應的是y軸的負無窮大；平面W上的點(ξ=ξ0,η=π)對應于平面z上的(x=-Lcoshξ0,y=0)，當ξ0=±∞時，對應的是x軸的負無窮大；平面W上的點(ξ=ξ0,η=0)對應于平面z上的(x=Lcoshξ0,y=0)，當ξ0=±∞時，對應的是x軸的正無窮大。

圖1 共性映射前后流動示意圖

從流線和等勢線的方面分析：針對某條等勢線，即對應于相應的常量ξ值，見式(6)。

(6)

很明顯，通過映射以后，在平面z上，形成長軸為Lcoshξ，短軸為Lsinhξ，焦距為L的橢圓。

同理，對應于平面W上不同的常量η值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見式(7)。

(7)

很顯然，形成實半軸為Lcosη，虛半軸為Lsinη，焦距為L的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上的條帶型線性流變?yōu)槠矫鎧上長度為2L的裂縫井的橢圓流，正是本文中需要求解的問題。其中，平面W上第一象限的流動，對應平面z上第一象限、第二象限的流動；平面W上第二象限的流動，對應平面z上第三象限、第四象限的流動。

根據(jù)共形映射前后井產(chǎn)量不變的原則，該裂縫井的產(chǎn)量可以通過平面W上的線性流產(chǎn)量公式得到，考慮到是兩個區(qū)域向中間生產(chǎn)坑道的滲流，則產(chǎn)量計算見式(8)。

(8)

(9)

式中，ξ0計算見式(10)。

(10)

對應的裂縫井的產(chǎn)量Q計算見式(11)。

(11)

3.2 求解二

為了尋求另一種利用共性映射求解該滲流問題的方法，也可首先參考如下滲流問題：在平面W上直徑為l的圓周處有一生產(chǎn)坑道，原油分別從內(nèi)側(cè)和外側(cè)沿徑向流入生產(chǎn)坑道，生產(chǎn)坑道的產(chǎn)量為Q，儲層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產(chǎn)坑道壓力為pw，地層供給半徑為ρ，供給壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢線是以原點為圓心不同直徑的一系列圓周線，流線是沿徑向指向圓周生產(chǎn)坑道的一系列直線，具體如圖2所示。

圖2 共性映射前后流動示意圖

(12)

顯然，在平面W上，針對某條等勢線，即對應于相應的常量ρ≠0,有如下情況。

若ρ=1,即平面W上的單位圓在該變換下變?yōu)槠矫鎧上的x軸上的區(qū)間[-L，L]。

若ρ≠1,則有式(13)。

(13)

同理，對應于平面W上不同的常量θ值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見式(14)。

(14)

很顯然，形成實半軸為Lcosθ，虛半軸為Lsinθ，焦距為L的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上生產(chǎn)坑道位于直徑為單位l處的徑向流，變?yōu)槠矫鎧上長度為2L的裂縫井的橢圓流。

根據(jù)共形映射前后井產(chǎn)量不變的原則，該裂縫井的產(chǎn)量可以通過平面W上的徑向流產(chǎn)量公式得到，忽略掉由生產(chǎn)坑道內(nèi)部向外滲流所形成的產(chǎn)量[15-17]，則W平面上徑向流的產(chǎn)量Q計算見式(15)。

(15)

(16)

式中，ρ計算見式(17)。

(17)

對應的裂縫井產(chǎn)量公式見式(18)。

(18)

通過比較式(18)與式(11)可知，兩種求解方法得到的結(jié)果相同，驗證了求解的正確性。

4 實例計算

以某低滲透油藏區(qū)塊L1井為例，其相關基礎參數(shù)為：根據(jù)該油田的單井控制面積并結(jié)合井網(wǎng)布置情況，供給外邊界半徑取400 m，另有裂縫半長為110 m，儲層滲透率為3.2×10-3μm2，儲層有效厚度為3 m，地層原油黏度為1.2 mPa·s，供給邊界壓力 14 MPa，井底流動壓力為8 MPa。若采用礦場實用單位，基于無限導流能力裂縫井滲流理論，則裂縫井產(chǎn)量Q計算公式見式(19)。

(19)

將基本參數(shù)代入式(19)，求得：Q=13.14 m3/d。

5 結(jié) 論

1) 通過兩種不同映射方式的比較可知，某些直觀上各不相同的具體的滲流問題，可能在共性映射下能夠轉(zhuǎn)換成同一問題，這反映了滲流現(xiàn)象在某種程度上也包含一定的統(tǒng)一性。

2) 針對裂縫井流動問題，運用共形映射的相關理論，研究了映射前后流線和等勢線的對應情況，并且用兩種變換方法求解得出了裂縫井的產(chǎn)量公式，模型簡單，便于推廣應用。兩種不同的映射方法所得到的無限導流裂縫井的產(chǎn)量計算結(jié)果一致，并且結(jié)合實例進行了求解計算，充分顯示了映射方法求解的正確性。

3) 共形映射能夠?qū)碗s區(qū)域(坐標平面)上的工程問題轉(zhuǎn)換到簡單區(qū)域(坐標平面)上去討論，有關裂縫井流動問題的研究必將對水平井多級壓裂，體積壓裂等復雜流場流動問題的研究產(chǎn)生積極的借鑒意義。