如何正確運(yùn)用χ2檢驗(yàn)——橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的χ2檢驗(yàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在生物醫(yī)藥學(xué)和流行病學(xué)研究中，基于橫斷面設(shè)計(jì)收集的四格表資料是常見的［1-2］。根據(jù)資料所滿足的前提條件不同，處理四格表資料的統(tǒng)計(jì)分析方法有多種，即“Pearson'sχ2檢驗(yàn)及其精確檢驗(yàn)”“校正的 Pearson'sχ2檢驗(yàn)”“似然比χ2檢驗(yàn)及其精確檢驗(yàn)”和“Fisher's精確檢驗(yàn)”［3］，因篇幅所限，本文介紹“Pearson'sχ2檢驗(yàn)”“校正的 Pearson'sχ2檢驗(yàn)”“似然比χ2檢驗(yàn)”3種統(tǒng)計(jì)分析方法。

1 橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的實(shí)例與模式

1.1 實(shí)例

【例1】在文獻(xiàn)［1］中，根據(jù)MINI 5.0中文版自殺模塊判斷未治療抑郁障礙患者有無自殺風(fēng)險(xiǎn)，共6個(gè)條目，評(píng)分范圍0～33分。評(píng)分＜6分為無自殺風(fēng)險(xiǎn)，評(píng)分≥6分為有自殺風(fēng)險(xiǎn)。再將兩組受試者分別按“性別”“婚姻狀況”“有無精神障礙家族史”和“是否伴有精神病性癥狀”進(jìn)行劃分，可得4個(gè)“橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料”，現(xiàn)將其中一個(gè)列在表1中。問：未治療抑郁障礙患者“有無自殺風(fēng)險(xiǎn)”與“婚姻狀況”之間是否存在關(guān)聯(lián)性？

表1 未治療抑郁障礙患者“有無自殺風(fēng)險(xiǎn)”與“婚姻狀況”之間關(guān)系的調(diào)查結(jié)果

【統(tǒng)計(jì)分析方法的選擇】?jī)蓚€(gè)屬性變量（本例為“有無自殺風(fēng)險(xiǎn)”與“婚姻狀況”）之間是否存在關(guān)聯(lián)性，可選用 Pearson'sχ2檢驗(yàn)、似然比χ2檢驗(yàn)等方法。由于統(tǒng)計(jì)學(xué)家依據(jù)不同的原理和條件推導(dǎo)出了不同的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但它們通常都有一個(gè)共同的“檢驗(yàn)假設(shè)”，即“兩變量之間互相獨(dú)立或無關(guān)聯(lián)性”；而且，所有的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都必須服從χ2分布。

【例2】在文獻(xiàn)［2］中，為了研究“中山市流動(dòng)人口與戶籍人口自殺率和自殺方式特征”，研究考察了“戶籍狀況（分為‘戶籍組’與‘流動(dòng)組’）”與“性別”“民族”“受教育程序”“婚姻狀況”和“職業(yè)”5 個(gè)屬性變量之間的關(guān)系，可得5個(gè)列聯(lián)表。現(xiàn)將其中一個(gè)列在表2中。問：中山市2015年-2017年戶籍組和流動(dòng)組自殺案例“戶籍狀況”與“民族”之間是否存在關(guān)聯(lián)性？

表2 中山市2015年-2017年戶籍組和流動(dòng)組自殺案例“戶籍狀況”與“民族”之間關(guān)系的調(diào)查結(jié)果

【統(tǒng)計(jì)分析方法的選擇】回答兩個(gè)屬性變量（本例為“戶籍狀況”與“民族”）之間是否存在關(guān)聯(lián)性，可選用Pearson'sχ2檢驗(yàn)、似然比χ2檢驗(yàn)等方法。理由前面已述及，此處從略。

1.2 模式

為了便于采用簡(jiǎn)單且易于理解的形式呈現(xiàn)橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的計(jì)算公式，特將表達(dá)橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的列聯(lián)表抽象成下面的兩種模式，分別見表3和表4。

表3 同時(shí)按屬性變量A與B對(duì)受試對(duì)象進(jìn)行分組計(jì)數(shù)的模式一

表4 同時(shí)按屬性變量A與B對(duì)受試對(duì)象進(jìn)行分組計(jì)數(shù)的模式二

2 橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料獨(dú)立性或關(guān)聯(lián)性分析的原理與計(jì)算公式

2.1 獨(dú)立性與關(guān)聯(lián)性

對(duì)于橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料而言，通常假定兩個(gè)屬性變量之間的地位是平等的且并存的。也就是說，不認(rèn)為其中一個(gè)是原因變量、另一個(gè)是結(jié)果變量；也不認(rèn)為其中一個(gè)先出現(xiàn)、另一個(gè)后出現(xiàn)。研究者關(guān)心的是兩個(gè)屬性變量之間是否存在“關(guān)聯(lián)性”，而與其對(duì)立的是“獨(dú)立性”。在“兩屬性變量之間具有獨(dú)立性”的假設(shè)成立的條件下，當(dāng)基于實(shí)際數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)學(xué)原理計(jì)算的結(jié)果認(rèn)為應(yīng)拒絕此假設(shè)，則認(rèn)為“兩屬性變量之間具有關(guān)聯(lián)性”。于是，其檢驗(yàn)假設(shè)可表述如下：

H0：兩屬性變量之間相互獨(dú)立；H1：兩屬性變量之間不獨(dú)立或有關(guān)聯(lián)性。

2.2 基于獨(dú)立性假設(shè)推導(dǎo)出計(jì)算理論頻數(shù)的公式

基于表3中設(shè)定的符號(hào)，假定“屬性變量A”與“屬性變量B”之間互相獨(dú)立，則依據(jù)概率論中計(jì)算條件概率的公式可推算出與4個(gè)觀察頻數(shù)“ɑ、b、c、d”對(duì) 應(yīng) 的 理 論 頻 數(shù)如下［4-5］：

2.3 基于獨(dú)立性假設(shè)的Pearson's χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

K.Pearson于十九世紀(jì)末提出用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來測(cè)量二維列聯(lián)表的各網(wǎng)格中觀測(cè)頻數(shù)（O）與理論頻數(shù)（T）之間的“差異程度”或“吻合度”［6］。如下式：

在式（5）中，Oij、Tij分別為第(i，j)網(wǎng)格中的“觀測(cè)頻數(shù)”與“理論頻數(shù)”，R、C分別代表二維列聯(lián)表的“行數(shù)”與“列數(shù)”，K.Pearson證明了式（5）定義的近似地服從自由度為df=(R-1)(C-1)的χ2分布。

將表3中設(shè)定的符號(hào)和式（1）～式（4）代入式（5），可得到分析橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的專用公式，見式（6）。

由式（6）定義的漸近地服從自由度為1的χ2分布。

【前提條件】當(dāng)四格表資料中n＞40且沒有T（理論頻數(shù)）＜5時(shí)，可以選用“Pearson'sχ2檢驗(yàn)”。

2.4 基于獨(dú)立性假設(shè)的校正Pearson's χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

在四格表資料中，只要有一個(gè)網(wǎng)格上的理論頻數(shù)＜5，若直接采用式（6）進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果都會(huì)明顯偏離χ2分布，故需要采用下式進(jìn)行校正。

由式（7）定義的漸近地服從自由度為1的χ2分布。

【前提條件】當(dāng)四格表資料中n＞40，但有1＜T（理論頻數(shù)）＜5時(shí)，可以選用“校正Pearson'sχ2檢驗(yàn)”。

2.5 基于獨(dú)立性假設(shè)的對(duì)數(shù)似然比χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.5.1 似然比統(tǒng)計(jì)量

情形1：依據(jù)觀測(cè)的結(jié)果，得似然函數(shù)近似表達(dá)式：

情形2：依據(jù)假設(shè)的結(jié)果，得似然函數(shù)近似表達(dá)式：

上面兩式中的“∝”符號(hào)代表“呈正比”（例如，A與B呈正比，可表示為A∝B）。

用式（8）除以式（9），得到似然比統(tǒng)計(jì)量如下：

2.5.2 對(duì)數(shù)似然比χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

在文獻(xiàn)［3，7］中，介紹了另一種檢驗(yàn)兩屬性變量關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性的方法，叫做“似然比χ2檢驗(yàn)”。但實(shí)際上，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是對(duì)所構(gòu)造的“似然比統(tǒng)計(jì)量［見式（10）］”取對(duì)數(shù)后乘以2的結(jié)果。因此，其真實(shí)的名稱應(yīng)該叫做“對(duì)數(shù)似然比χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”。于是，對(duì)式（10）取自然對(duì)數(shù)后乘以2，可得下式：

在式（11）中，由所定義的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量漸近地服從自由度為1的χ2分布。其中，nij、Tij分別代表四格表中第(i，j)網(wǎng)格上的觀察頻數(shù)與理論頻數(shù)，i，j=1，2。

【前提條件】當(dāng)四格表資料中，無論是觀察頻數(shù)還是理論頻數(shù)中都沒有出現(xiàn)“零”時(shí)，可以選用“對(duì)數(shù)似然比χ2檢驗(yàn)”。

3 橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性分析的軟件實(shí)現(xiàn)

3.1 基于SAS實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性分析

沿用例1中的“問題與數(shù)據(jù)”，試進(jìn)行關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性分析。設(shè)所需要的SAS程序如下［3］：

第1行與第3行分別為“Pearson'sχ2檢驗(yàn)”與“校正 Pearson'sχ2檢驗(yàn)”的結(jié)果，第 2行為“似然比χ2檢驗(yàn)（嚴(yán)格地說，為對(duì)數(shù)似然比χ2檢驗(yàn)）”的結(jié)果。3種檢驗(yàn)方法所得的P值都小于0.01，都拒絕“H0：有無自殺風(fēng)險(xiǎn)與婚姻狀況之間互相獨(dú)立”，接受“H1：有無自殺風(fēng)險(xiǎn)與婚姻狀況之間存在關(guān)聯(lián)性”。

【結(jié)論】因?yàn)椤坝凶詺L(fēng)險(xiǎn)”的“已婚比例為（13/52）×100%=25.00%”，而“無自殺風(fēng)險(xiǎn)”的“已婚比例為（33/65）×100%=50.77%”，這提示“有自殺風(fēng)險(xiǎn)”的未治療抑郁障礙患者的結(jié)婚比例明顯低于“無自殺風(fēng)險(xiǎn)”的未治療抑郁障礙患者的結(jié)婚比例。

3.2 基于R實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性分析

設(shè)所需要的R程序如下［8-9］：

【程序說明】“＞”代表R軟件運(yùn)行環(huán)境中的“提示符”，上文的R程序中共有4個(gè)提示符，說明共有4個(gè)R語句；第一句組織第一個(gè)“行向量”，代表四格表資料的第1行數(shù)據(jù)；第二句組織第二個(gè)“行向量”，代表四格表資料的第2行數(shù)據(jù)；第三句和第四句都是調(diào)用函數(shù)“chisq.test（）”進(jìn)行χ2檢驗(yàn)，其區(qū)別在于：選項(xiàng)“correct=FALSE”代表不進(jìn)行“校正”，而該選項(xiàng)的默認(rèn)值為“校正”，等價(jià)于寫“correct=TRUE”；而選項(xiàng)“rbind（）”是將兩個(gè)行向量合并在一起，即構(gòu)成兩行兩列的四格表數(shù)據(jù)。

【R主要輸出結(jié)果及解釋】

以上為進(jìn)行了連續(xù)性校正的χ2檢驗(yàn)結(jié)果。

以上R輸出結(jié)果與SAS輸出的結(jié)果是相同的（見上文SAS輸出結(jié)果中的第1行與第3行）。

【結(jié)論】參見前文SAS輸出結(jié)果及結(jié)論，此處從略。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

4.1.1 橫斷面設(shè)計(jì)的概念

所謂橫斷面設(shè)計(jì)，就是依據(jù)研究目的確定了一個(gè)研究的總體，在一個(gè)時(shí)點(diǎn)或時(shí)段上，研究者對(duì)該總體中的全部個(gè)體（屬于全面調(diào)查或普查）或按某種規(guī)則隨機(jī)抽取的部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查或測(cè)量。這種做法就被稱為“橫斷面研究設(shè)計(jì)”，簡(jiǎn)稱為“橫斷面設(shè)計(jì)”。

4.1.2 橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的特點(diǎn)

在表1和表2資料中，都有兩個(gè)“屬性變量”，通常，研究者同時(shí)按兩個(gè)屬性變量的水平對(duì)受試對(duì)象進(jìn)行分組計(jì)數(shù)，而且，兩個(gè)屬性變量都是從受試對(duì)象身上“提取”出來的，換句話說，屬性變量是受試對(duì)象“自帶的”屬性（例如性別、民族）；在多數(shù)場(chǎng)合下，兩個(gè)屬性變量之間不存在明顯的“原因變量”與“結(jié)果變量”之分，也就是說，它們之間更常見的是“相互關(guān)系”，而不是“因果關(guān)系”。

若一個(gè)變量為“藥物種類（藥物A與藥物B）（研究者施加給受試對(duì)象的因素）”，另一個(gè)變量為“治療效果（‘有效’與‘無效’）”，此時(shí)，前者可視為“原因變量”，后者可視為“結(jié)果變量”。一般來說，從患者“服藥”到出現(xiàn)“療效”的時(shí)間間隔不長(zhǎng)時(shí)，可視為一個(gè)“時(shí)點(diǎn)或時(shí)段”，這樣的四格表資料仍可被稱為“橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料”。然而，當(dāng)前述所指的“時(shí)間間隔”很長(zhǎng)時(shí)，就不適合叫做“橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料”了。

值得注意的是，基于“藥物種類”與“治療效果”而形成的四格表資料與流行病學(xué)上常見的“隊(duì)列設(shè)計(jì)四格表資料（例如調(diào)查‘是否吸煙’與‘是否患肺癌’之間關(guān)系所得的資料）”是十分相似的。二者的區(qū)別在于以下兩點(diǎn)：其一，原因變量的來源不同。“藥物種類”是研究者施加給受試對(duì)象的影響因素，而“吸煙與否”是受試對(duì)象自身的行為習(xí)慣；其二，獲得結(jié)果變量取值的時(shí)間長(zhǎng)度不同，通常，“服藥”與“療效”之間時(shí)間間隔不會(huì)很長(zhǎng)；而“吸煙與否”與“患肺癌與否”之間時(shí)間間隔通常會(huì)比較長(zhǎng)。

4.1.3 橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料統(tǒng)計(jì)分析方法的合理選擇

在檢驗(yàn)橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料兩屬性變量之間“獨(dú)立性假設(shè)”的方法中，除了本文介紹的3種方法（運(yùn)用時(shí)，請(qǐng)檢查前提條件是否滿足）之外，還有Fisher's精確檢驗(yàn)、Pearson'sχ2檢驗(yàn)的精確算法、似然比χ2檢驗(yàn)的精確算法［3］，因篇幅所限，此處從略。

在運(yùn)用SAS/STAT的FREQ過程時(shí)，若使用“exact chisq/mc；”語句，輸出結(jié)果中會(huì)呈現(xiàn)4種精確檢驗(yàn)的結(jié)果［3］，其中，除了前面提及的3種精確檢驗(yàn)結(jié)果之外，還給出了“Mantel-Haenszel'sχ2檢驗(yàn)及其精確檢驗(yàn)結(jié)果”。然而，這種檢驗(yàn)方法適用于“隊(duì)列設(shè)計(jì)”或“病例對(duì)照設(shè)計(jì)”四格表資料，其對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)假設(shè)為：“H0：RR=1，H1：RR≠ 1”（RR為相對(duì)危險(xiǎn)度）或“H0：OR=1，H1：OR≠ 1”（OR為優(yōu)勢(shì)比）［10］，因這些內(nèi)容與本文的目的不吻合，故未做介紹。

4.2 小結(jié)

本文呈現(xiàn)了橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的實(shí)例和模式，詳細(xì)給出了3種檢驗(yàn)橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料“關(guān)聯(lián)性或獨(dú)立性”假設(shè)的檢驗(yàn)方法的原理和計(jì)算公式；基于SAS和R軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)橫斷面設(shè)計(jì)四格表資料的3種假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)軟件輸出的結(jié)果做出了解釋，并給出了統(tǒng)計(jì)和專業(yè)結(jié)論。