基于特征向量空間重構(gòu)的方向圖保形算法

陳子昂， 楊嘉偉， 魏曉磊， 陶琛琛

(1.北京遙感設(shè)備研究所，北京 100854； 2.中國(guó)航天科工防御技術(shù)研究院，北京 100854；3.火箭軍裝備部，北京 100085)

0 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)在陣列雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束算法能夠有效地抑制旁瓣干擾[1]，然而實(shí)際的電磁環(huán)境中，干擾還有可能從波束主瓣進(jìn)入，此時(shí)，自適應(yīng)波束形成算法會(huì)導(dǎo)致主瓣波束形狀發(fā)生畸變、旁瓣電平升高以及輸出信干噪比(SINR)降低等問題，嚴(yán)重影響了雷達(dá)測(cè)角精度[2]，因此如何更好地抑制主瓣干擾的問題備受學(xué)者們的關(guān)注。為此，文獻(xiàn)[3]中提出了一種基于阻塞矩陣預(yù)處理方法，通過對(duì)主瓣干擾信號(hào)進(jìn)行阻塞，然后進(jìn)行自適應(yīng)處理，從而實(shí)現(xiàn)抑制干擾同時(shí)主瓣方向圖保形，但這種算法會(huì)降低陣列自由度，而且不能解決旁瓣升高的問題；文獻(xiàn)[4]提出了特征投影矩陣預(yù)處理(Eigen-projection Matrix Processing,EMP)的方法，實(shí)現(xiàn)了不降低自由度的主瓣保形，但EMP算法會(huì)存在主波束偏移的問題；文獻(xiàn)[5]中利用特征投影矩陣預(yù)處理和協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法(Eigen-projection Matrix Processing and Covariance Matrix Reconstruction,EMP-CMR)，降低了算法復(fù)雜度，通過削弱噪聲隨機(jī)性的影響，改善了EMP算法帶來的主波束偏移的問題，提高算法穩(wěn)健性，但其只適用于單主瓣干擾的情況；文獻(xiàn)[6]提出了一種基于子空間濾波和協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法(Subspace Matrix Filtering and Covariance Matrix Reconstruction，SMF-CMR)，有效抑制了多個(gè)主瓣干擾。

雖然EMP算法和之后的改進(jìn)算法能有效地抑制干擾并實(shí)現(xiàn)主瓣保形，但EMP算法中對(duì)主瓣干擾的屏蔽是建立在干擾特征向量與導(dǎo)向向量近似相等的條件下[7]，當(dāng)主瓣干擾信號(hào)強(qiáng)度并非遠(yuǎn)小于旁瓣干擾時(shí)，其特征向量對(duì)應(yīng)的投影矩陣可能包含旁瓣干擾導(dǎo)向向量的分量，采用該投影矩陣做處理的自適應(yīng)算法會(huì)降低對(duì)旁瓣干擾的抑制效果，使得輸出信干噪比顯著下降。為了解決這一問題，一種基于空間譜分解與協(xié)方差矩陣重構(gòu)的新方法在文獻(xiàn)[8]中被提出，但其被指出存在干擾方向能量譜泄露的問題[9]，對(duì)此文獻(xiàn)[9]提出了一種基于MUSIC算法的高精度波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)的方式重構(gòu)干擾子空間，而文獻(xiàn)[10]提出了一種迭代自適應(yīng)(Iterative Adaptive Approach,IAA)的方式重構(gòu)干擾子空間，這兩種算法擁有更高精度DOA和能量譜估計(jì)，但存在復(fù)雜度較高、DOA估計(jì)誤差對(duì)結(jié)果影響較大的問題，特別是當(dāng)干噪比較低時(shí)其估計(jì)誤差不可避免，并且在多主瓣干擾的情況下干擾抑制效果降低。

為了解決同時(shí)存在一個(gè)強(qiáng)主瓣干擾和一個(gè)弱主瓣干擾的情況下干擾抑制和方向圖保形的問題，本文提出了一種新的主瓣干擾特征向量空間重構(gòu)的方法，通過特征向量與主瓣子空間的正交性分析以及主瓣干擾與旁瓣干擾的相對(duì)強(qiáng)度做比較，確認(rèn)主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量，由此來構(gòu)建主瓣干擾特征向量空間，從而實(shí)現(xiàn)主瓣方向圖保形與對(duì)干擾的抑制。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。

1 信號(hào)模型與EMP算法

1.1 陣列信號(hào)模型

考慮由N個(gè)陣元組成的陣列，陣元間距為半波長(zhǎng)，遠(yuǎn)場(chǎng)存在P個(gè)窄帶干擾信號(hào)，其中有M個(gè)位于波束主瓣，且P

(1)

(2)

(3)

式中：L代表采樣快拍個(gè)數(shù)，對(duì)采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解得到

(4)

式中：λi和ui分別為特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，并且將特征值按從大到小排序，即滿足λ1≥λ2≥…≥λN；Λs=diag(λ1，λ2，…，λP)為P個(gè)大特征值組成的對(duì)角陣，對(duì)應(yīng)P個(gè)干擾信號(hào)的特征值；Us=(u1u2…uP)為其特征向量共同構(gòu)建的矩陣，張成干擾對(duì)應(yīng)的子空間;Λn=diag(λP+1，λP+2，…，λN)為N-P個(gè)小特征值組成的對(duì)角陣，對(duì)應(yīng)噪聲信號(hào)的特征值；Un=(uP+1uP+2…uN)為其特征向量組成的矩陣，構(gòu)成噪聲子空間。

1.2 EMP算法

EMP算法從干擾子空間中判斷主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量并構(gòu)成主瓣干擾子空間，并認(rèn)為干擾的特征向量與干擾方向的導(dǎo)向向量一一對(duì)應(yīng)且互相正交，假設(shè)Um為主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的子空間，則

Um=(u1u2…uM)

(5)

確定主瓣干擾特征向量的方法為

(6)

式中:ρ為常系數(shù)因子；aq為靜態(tài)導(dǎo)向向量。則主瓣干擾子空間的投影矩陣為

(7)

回波信號(hào)X通過正交投影矩陣B進(jìn)行預(yù)處理，得到了去除主瓣干擾成分的采樣數(shù)據(jù)

Y=BX

(8)

再經(jīng)過噪聲白化處理后，得到的旁瓣干擾加噪聲協(xié)方差矩陣為

(9)

最后根據(jù)最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)準(zhǔn)則，得到自適應(yīng)處理后的最優(yōu)權(quán)值

(10)

此時(shí)陣列輸出的信號(hào)可以表示為

(11)

2 主瓣干擾特征向量空間重構(gòu)

2.1 主瓣干擾特征向量判定

采用子空間投影的方法實(shí)現(xiàn)干擾抑制，首先需要確定干擾子空間[11]。而EMP算法是依據(jù)式(6)中ρ的值來判斷主瓣干擾，在實(shí)際中ρ值的選取并沒有確定方式[12]。因此,文獻(xiàn)[13]中采用干擾特征向量與期望信號(hào)導(dǎo)向向量的相關(guān)系數(shù)來判斷，即

(12)

然而當(dāng)主瓣干擾信號(hào)強(qiáng)度與旁瓣干擾相當(dāng)時(shí)，根據(jù)信號(hào)子空間理論，此時(shí),旁瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量中包含主瓣方向的導(dǎo)向向量成分，表明旁瓣干擾也與期望信號(hào)存在很強(qiáng)的相關(guān)性，針對(duì)多主瓣干擾，采用選取相關(guān)系數(shù)的最大值也很容易使得選取的主瓣干擾子空間包含旁瓣干擾。

本文利用文獻(xiàn)[14]的思想，將文獻(xiàn)[15]方法用于確定主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)于確定的陣列與期望來波方向，其主瓣寬度可以確定，如對(duì)于均勻線陣，主瓣寬度為[13]

(13)

式中：N為陣元數(shù)目；λ和d分別為波長(zhǎng)與陣元間距；θs是期望信號(hào)方向。將主瓣范圍內(nèi)所有方向信號(hào)積分構(gòu)成主瓣空間協(xié)方差矩陣

(14)

式中：φ表示主瓣的范圍，再將其進(jìn)行特征分解

(15)

其大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量Ums可以近似地表示主瓣子空間[15]。利用特征向量與主瓣子空間的正交性來判斷主瓣干擾，即

(16)

當(dāng)ui為主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量時(shí)，k接近于1，由此可以區(qū)分主瓣和旁瓣干擾。

2.2 EMP算法的局限性

確認(rèn)主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量后，可以依據(jù)式(7)確定投影矩陣，然而EMP算法只適合各個(gè)信號(hào)之間差異較大的情形，文獻(xiàn)[7]指出，對(duì)于強(qiáng)弱非均勻的信號(hào)，其導(dǎo)向矢量可以近似認(rèn)為與特征向量一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)主瓣與旁瓣信號(hào)或目標(biāo)信號(hào)強(qiáng)度相當(dāng)時(shí)，各個(gè)特征向量對(duì)其余方向的導(dǎo)向矢量的貢獻(xiàn)則無法忽略，即不滿足

(17)

式中，i,j為不同方向的信號(hào)。此時(shí)，利用經(jīng)過特征投影預(yù)處理后的協(xié)方差矩陣求自適應(yīng)權(quán)矢量會(huì)導(dǎo)致在旁瓣干擾處無法產(chǎn)生零陷[16]，輸出SINR急劇下降。

2.3 干擾特征向量空間構(gòu)建

為解決同時(shí)存在強(qiáng)弱主瓣干擾下特征投影法出現(xiàn)的問題，針對(duì)不同強(qiáng)度的主瓣干擾采用不同的方式求取干擾對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)于信號(hào)強(qiáng)度遠(yuǎn)小于旁瓣干擾的主瓣干擾，經(jīng)過采樣協(xié)方差矩陣特征分解后對(duì)應(yīng)的特征向量可以直接作為主瓣干擾特征空間向量中的向量，對(duì)于信號(hào)強(qiáng)度與旁瓣相當(dāng)?shù)闹靼旮蓴_的特征向量，首先采用空間譜估計(jì)的方式對(duì)其干擾方向進(jìn)行估計(jì)，即

(18)

式(18)采用MUSIC算法對(duì)主瓣干擾進(jìn)行估計(jì)，其搜索范圍可以限制在主瓣內(nèi)。在實(shí)際環(huán)境中，一般認(rèn)為旁瓣干擾的干噪比較大，因此與旁瓣干擾強(qiáng)度相當(dāng)?shù)闹靼旮蓴_可以認(rèn)為是強(qiáng)干擾，其角度估計(jì)誤差較小。再構(gòu)建強(qiáng)主瓣干擾特征向量空間為

(19)

式中:I1為強(qiáng)主瓣干擾個(gè)數(shù)。其特征分解后對(duì)應(yīng)的I1個(gè)大特征向量構(gòu)成的子空間Um i=(um1um2…umI1)作為新的特征向量。綜上所述，主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量的選取規(guī)則為

(20)

式(20)表明，當(dāng)主瓣干擾遠(yuǎn)小于旁瓣干擾強(qiáng)度時(shí)，特征向量與EMP算法一致，當(dāng)主瓣干擾與旁瓣干擾相當(dāng)時(shí)，特征向量與空間譜協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方式得到的一致。主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量的集合為

(21)

即為主瓣干擾的特征向量空間。最后利用式(7)得到投影矩陣，利用式(10)得到自適應(yīng)權(quán)值。

3 仿真

采用半波長(zhǎng)間隔、陣元數(shù)為17的均勻線陣作為仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)象。圖1是固定旁瓣干噪比為40 dB、方向?yàn)?25°、主瓣干擾為-4°、干噪比為10～70 dB且由小變大時(shí)，經(jīng)過200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)計(jì)算的主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量與主瓣子空間的相關(guān)性的結(jié)果。

圖1 主瓣干擾與主瓣子空間相關(guān)性

由圖1分析可以得到當(dāng)主瓣干擾與旁瓣干擾強(qiáng)度相當(dāng)時(shí)，主瓣干擾對(duì)應(yīng)的特征向量不僅受到主瓣方向的影響，還包含旁瓣干擾方向上的作用，當(dāng)對(duì)主瓣對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行投影處理時(shí)，其對(duì)旁瓣干擾方向的導(dǎo)向向量也會(huì)進(jìn)行投影，從而自適應(yīng)波束形成后對(duì)旁瓣干擾方向的抑制也會(huì)削弱。

再假設(shè)空間內(nèi)存在3個(gè)干擾，其中2個(gè)在主瓣內(nèi)，1個(gè)在旁瓣，且主瓣干擾中一個(gè)為弱干擾，一個(gè)與旁瓣干擾強(qiáng)度相當(dāng)，快拍數(shù)取100，信噪比(SNR)取0 dB時(shí)干擾與主瓣子空間相關(guān)性如表1所示。

表1 干擾參數(shù)

圖2是不同算法自適應(yīng)后的方向圖，其中，QUI，SMI，EMP，SC，PRO分別表示靜態(tài)方向圖、采樣協(xié)方差矩陣求逆算法、特征投影算法、子空間濾波和協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法與本文提出的算法運(yùn)算后的方向圖。為了增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，所有算法采用了相同的對(duì)角加載量。其中，SMI算法在主瓣內(nèi)形成了兩處零陷，破環(huán)了主瓣形狀，且旁瓣增益變高，與靜態(tài)方向圖差異較大，其他方法均能實(shí)現(xiàn)主瓣保形；但EMP算法在強(qiáng)主瓣干擾條件下，在旁瓣處并未形成零陷；SC算法在多主瓣干擾下雖然在旁瓣形成零陷，但其性能明顯下降；而本文提出的算法則在同時(shí)存在強(qiáng)弱主瓣干擾的條件下表現(xiàn)出很好的性能。

圖2 自適應(yīng)方向圖

由于采用的是采樣協(xié)方差矩陣來代替協(xié)方差矩陣，因此快拍數(shù)對(duì)結(jié)果有一定的影響。圖3是采用表1所示干擾條件下，經(jīng)過200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)得到的快拍數(shù)、信號(hào)與旁瓣干擾的輸出SINR的結(jié)果。從圖3中可以看出：EMP算法在存在強(qiáng)主瓣干擾時(shí)性能較差；SC算法性能穩(wěn)定，但對(duì)多主瓣干擾下的結(jié)果性能甚至不如SMI算法；SMI算法則由于主瓣變形，使得對(duì)信號(hào)的增益減弱；本文算法(PRO)則利用了SC算法的優(yōu)勢(shì)，解決了在強(qiáng)干擾條件下EMP算法性能下降的問題，并且在多主瓣干擾的條件下表現(xiàn)出比SC算法更好的性能。

圖3 快拍數(shù)對(duì)輸出SINR的影響

圖4則是比較了在不同輸入SNR的情況下輸出SINR的結(jié)果。不同算法的趨勢(shì)與理想的曲線近似，在同時(shí)存在強(qiáng)弱主瓣干擾條件下，本文算法顯然擁有更好的表現(xiàn)。

圖4 輸入SNR對(duì)輸出SINR的影響

4 結(jié)束語

本文提出了一種根據(jù)干擾特征向量與主瓣子空間的正交性分析以及主瓣干擾的相對(duì)強(qiáng)度判斷來確定主瓣特征對(duì)應(yīng)的特征向量的方法，并由此重構(gòu)主瓣干擾特征向量空間，再通過特征投影與自適應(yīng)波束形成算法，抑制了旁瓣干擾并實(shí)現(xiàn)主瓣方向圖保形。該方法解決了在強(qiáng)主瓣干擾下EMP算法性能明顯下降的問題，并且在同時(shí)存在一個(gè)強(qiáng)主瓣干擾和一個(gè)弱主瓣干擾的條件下，相比利用空間譜重構(gòu)協(xié)方差矩陣的方法對(duì)旁瓣干擾的抑制效果更優(yōu)。