基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的森林空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究

李 銳，達娃扎西，魏 甫

(1.國家林業(yè)和草原局中南調(diào)查規(guī)劃設(shè)計院，長沙 410014;2.西藏自治區(qū)林業(yè)調(diào)查規(guī)劃研究院，拉薩 850000)

現(xiàn)有的森林穩(wěn)定性研究中往往是從局部森林考慮，以單木作為研究對象，通過林分空間結(jié)構(gòu)指數(shù)角尺度、混交度和大小比數(shù)等對林分空間結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，采用間伐和合理補植補造的方式降低林木競爭，使林分趨向平均化，來提高林分結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性[1-2]。對于達到成熟齡的人工林，一般情況下的處理方式就是對其進行皆伐，對于中齡林，進行間伐時也是憑實際的經(jīng)驗來操作，幾乎不可能做到在人工林中對林木的屬性因子和空間位置關(guān)系進行全部調(diào)查，然后對其進行計算優(yōu)化調(diào)控，因而林分的空間結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整大多數(shù)還是停留在局部小范圍，在林業(yè)管護站或工區(qū)這一大面積的范圍內(nèi)很難系統(tǒng)的實施。

本文在研究森林結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性時采用小班水平上的劃分方法，將小班看做是林分中的“單木”，其相鄰小班之間的邊緣效應(yīng)[3-5]近似模擬林分中“單木”與“單木”之間的空間位置關(guān)系，進而實現(xiàn)小班的“混交”模式。利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[6-8]將之抽象化為森林耦合網(wǎng)絡(luò)[9-10]，網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點代表現(xiàn)實林分中相對應(yīng)的小班。對選取網(wǎng)絡(luò)的進行隨機攻擊，分析節(jié)點介數(shù)分布對網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響，構(gòu)建森林耦合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性模型，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定反映了整個森林系統(tǒng)的穩(wěn)定，進而從系統(tǒng)工程學(xué)的角度上來闡述森林系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 構(gòu)建森林景觀斑塊耦合網(wǎng)絡(luò)

耦合體是由斑塊組成，內(nèi)部具有連續(xù)性同時外部具有阻隔性的較為封閉的系統(tǒng)。構(gòu)建的條件一是內(nèi)部的斑塊具有連續(xù)性，每個斑塊至少有一個斑塊與之相連；二是耦合體的外部具有阻隔性，即耦合體與耦合體之間必定沒有斑塊相連；三是在耦合體內(nèi)部允許“空洞”的出現(xiàn)，即耦合體內(nèi)部可以出現(xiàn)斑塊的缺失[11]。

以湖南省桃源縣森林資源二類調(diào)查數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，基于鄰接關(guān)系構(gòu)建斑塊耦合網(wǎng)絡(luò)。首先，將小班重新劃分，樹種劃分為為松木、杉木、闊葉、竹林、灌木林和經(jīng)濟林，齡組劃分為幼齡林、中齡林、成熟林；其次對相同的小班進行合并，得到新的斑塊。這些由新斑塊構(gòu)成，并相互連續(xù)形成閉合區(qū)域的斑塊集合即為森林景觀斑塊耦合體。如圖1所示，小班①、小班②、小班③和小班⑥(圖中粗黑線所示區(qū)域)均代表闊葉中齡林，小班④和小班⑤(圖中黑色虛線所示區(qū)域)則代表杉木幼齡林。小班合并之后，分別得到圖2中的新斑塊和，而這些由新斑塊構(gòu)成并相互連續(xù)的，且形成閉合區(qū)域的斑塊集合即為森林景觀斑塊耦合體。

圖1 小班融合前

圖2 小班融合后

從構(gòu)建的耦合體中選取斑塊數(shù)為150左右，且外形不同的耦合體10個。將之抽象化為森林景觀斑塊耦合網(wǎng)絡(luò)。在耦合網(wǎng)絡(luò)中，每一個節(jié)點都對應(yīng)斑塊的幾何中心，每一條邊表示斑塊之間相互連接，斑塊之間的邊緣效應(yīng)都極顯著，默認(rèn)為節(jié)點之間的邊權(quán)都為1[12]。

2 相關(guān)指標(biāo)選取

2.1 節(jié)點數(shù)——網(wǎng)絡(luò)規(guī)模指標(biāo)

針對森林耦合網(wǎng)絡(luò)，對其攻擊主要是考慮節(jié)點的移除，從此方面考慮網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，即節(jié)點數(shù)，可作為評判網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一方面標(biāo)準(zhǔn)。

2.2 介數(shù)——節(jié)點重要程度指標(biāo)

森林系統(tǒng)的能量物質(zhì)循環(huán)往往是在局部范圍內(nèi)傳輸?shù)?，而非單一小班對之間，因此在研究某一節(jié)點時重要程度時，還需要考慮多個節(jié)點對該節(jié)點的影響，這里就引入介數(shù)來對網(wǎng)絡(luò)中單個節(jié)點的重要程度進行分析。介數(shù)指標(biāo)主要是描述節(jié)點對于信息流動的影響力，描述了能量和物質(zhì)流經(jīng)該點的可能性，若該點的能量流和物質(zhì)流相應(yīng)的增大，反映為網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)上即為介數(shù)的增大，利用介數(shù)即可確定節(jié)點的能量、物質(zhì)負(fù)載程度，一定程度上表征節(jié)點的重要程度。

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有n個節(jié)點，則節(jié)點x的介數(shù)指標(biāo)定義為：

(1)

式中：gjk為節(jié)點j和節(jié)點k之間的最短路徑數(shù)，gjk(x)為節(jié)點j與節(jié)點k之間經(jīng)過節(jié)點x的條數(shù)，(n-1)(n-2)/2為任意兩節(jié)點的連線經(jīng)過節(jié)點x最大可能節(jié)點的介數(shù)。

2.3 最大子網(wǎng)

在對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點攻擊后，會產(chǎn)生很多孤立的節(jié)點和凝聚子群，在每次攻擊后剩下包含最多節(jié)點數(shù)的凝聚子群稱為最大子網(wǎng)，其最大子網(wǎng)節(jié)點數(shù)公式為：

(2)

Nn為第n次移除節(jié)點后最大子網(wǎng)剩下的節(jié)點數(shù)，m為n+1次移除節(jié)點后剩下凝聚子群的個數(shù)，Li為凝聚子群中節(jié)點的個數(shù)，G為n+1次移除節(jié)點后剩下的孤立節(jié)點數(shù)。

2.4 網(wǎng)絡(luò)崩潰閾值

在一個網(wǎng)絡(luò)G中，隨機的移除f比例的點，即Nf個點，當(dāng)移除的比例達到f=fn時，網(wǎng)絡(luò)臨界崩潰值，稱f為網(wǎng)絡(luò)崩潰閾值。在攻擊過程中，所有的攻擊都指將點完全的移除，其相對應(yīng)的邊也移除，且不考慮對邊的攻擊，這樣網(wǎng)絡(luò)中所有邊的權(quán)值始終為1，當(dāng)最大子網(wǎng)的節(jié)點數(shù)小于或等于原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)的一半時認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)崩潰。

3 介數(shù)分布對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響

實驗對10個網(wǎng)絡(luò)每次按原有網(wǎng)絡(luò)3%的節(jié)點數(shù)進行循環(huán)移除，每個網(wǎng)絡(luò)做3次實驗，每次10次攻擊，每個網(wǎng)絡(luò)取平均崩潰閾值，得到表1。

表1 網(wǎng)絡(luò)的崩潰閾值表網(wǎng)絡(luò)編號原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)每次移除節(jié)點數(shù)崩潰節(jié)點數(shù)崩潰閾值123平均崩潰閾值11474740.210.150.240.2021515760.120.090.090.1031495750.090.120.150.1241535770.180.150.120.1551464730.150.120.180.1561515760.210.180.180.1971474740.150.150.120.1481515760.180.120.120.1491555780.030.120.060.07101525760.240.210.210.22

通過比較在不同介數(shù)范圍內(nèi)的節(jié)點數(shù)差異值可以判斷其網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，但不夠直觀，因此對不同介數(shù)范圍內(nèi)的累計節(jié)點數(shù)與介數(shù)中值做多種回歸分析，通過對R2的分析，發(fā)現(xiàn)對數(shù)回歸的效果最好，其R2的均值為0.957 5，構(gòu)建回歸模型方程(3)，利用Matlab作方程曲線圖3。

(3)

式中:fn(x)為累計節(jié)點數(shù)，n為不同的網(wǎng)絡(luò)，x為介數(shù)中值，方程中a=b=1。

由圖3可知，網(wǎng)絡(luò)中累計節(jié)點數(shù)是隨著介數(shù)范圍的增加而增加的，但在介數(shù)范圍為小于0.1時，累計節(jié)點數(shù)增加的很快，超過此范圍隨后增加速率逐漸變緩，說明大部分的節(jié)點介數(shù)都在0～0.1之間，而介數(shù)大于0.1的節(jié)點較少。結(jié)合表2，網(wǎng)絡(luò)10的平均崩潰閾值為0.22，其方程曲線f10(x)的起始點接近于原點；網(wǎng)絡(luò)9的平均崩潰閾值為0.07，其方程曲線f9(x)的起始點遠(yuǎn)離原點，說明網(wǎng)絡(luò)的平均崩潰閾值與曲線方程的起始點位置有關(guān)，且起始點越接近原點，網(wǎng)絡(luò)越穩(wěn)定，越遠(yuǎn)離原點，網(wǎng)絡(luò)則越脆弱。產(chǎn)生這種原因主要是跟網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，網(wǎng)絡(luò)10節(jié)點數(shù)在介數(shù)范圍內(nèi)的差異值分布較網(wǎng)絡(luò)9要小，也就是說網(wǎng)絡(luò)10中介數(shù)值小的節(jié)點數(shù)較少，介數(shù)值大的節(jié)點數(shù)也較少，節(jié)點的介數(shù)分布更為均勻，每個節(jié)點的重要程度更為均衡，在對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點等概率攻擊時，對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響較小，因而網(wǎng)絡(luò)也會更為穩(wěn)定。體現(xiàn)在森林耦合體中，這類耦合體大多數(shù)呈團狀或趨向于團狀分布，小班連接更為緊密，更利于小班中物種的遷徙與能量物質(zhì)的交換，而類似于網(wǎng)絡(luò)9的耦合體，其小班分布較為分散、破碎，大多數(shù)呈帶狀或是星型分布，大多數(shù)小班的重要程度都不高，只有少數(shù)小班為極為重要的小班，受到等概率隨機攻擊時，若攻擊到這些小班，耦合體可能就會瞬間崩潰。

圖3 累計節(jié)點數(shù)與介數(shù)中值回歸方程曲線圖

4 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)理想穩(wěn)定性模型構(gòu)建

由于網(wǎng)絡(luò)累計節(jié)點數(shù)與介數(shù)的回歸方程組(3)中的方程均為單調(diào)遞增函數(shù)，若fn(x)>0，則此時曲線的起始點會無限接近于0，此方程即為累計節(jié)點數(shù)在介數(shù)范圍內(nèi)分布的理想方程，構(gòu)建方程(4)。

(4)

(5)

通過g(x)=f2n(x+1)-f2n(x)得到不同介數(shù)范圍內(nèi)節(jié)點數(shù)分布的理想方程(6)為：

(6)

當(dāng)k=1×10-5時，a=13.66

g1(x)=13.66 ln[(x+1)/x]

(7)

當(dāng)k=1×10-10時，a=6.83

g2(x)=6.83 ln[(x+1)/x]

(8)

當(dāng)k=1×10-15時，a=4.55

g3(x)=4.55 ln[(x+1)/x]

(9)

當(dāng)k=1×10-20時，a=3.42

g4(x)=3.42 ln[(x+1)/x]

(10)

當(dāng)k=1×10-25時，a=2.73

g5(x)=2.73 ln[(x+1)/x]

(11)

結(jié)合方程(7—11)和圖4可知，當(dāng)k=1×10-5時，g(x)的系數(shù)為13.66，曲線弧度較大；當(dāng)k=1×10-25時，g(x)的系數(shù)為2.73，曲線弧度很小，趨于直線。說明隨著k的取值越來越小，曲線g(x)無限趨向于一條直線，當(dāng)k取到無窮小的正值時，g(x)即為節(jié)點數(shù)在介數(shù)上分布的理想曲線，森林耦合網(wǎng)絡(luò)最為穩(wěn)定。此時網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點介數(shù)分布趨于完全平衡狀態(tài)，網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的連線方式高度相似，耦合體內(nèi)的小班形狀、大小幾乎一致，移除任意一小班，對整個森林的能量、物質(zhì)流產(chǎn)生的影響很小，森林為理想穩(wěn)定狀態(tài)。

對任意一條理想曲線g(x)來說，其“直線”的前端始終“高于”末端，說明介數(shù)小的節(jié)點始終要多于介數(shù)大的節(jié)點，在通過模型近似推演理想森林耦合網(wǎng)絡(luò)中(圖5)，最外層的節(jié)點(藍色)的介數(shù)一般在0～0.01之間，而第二層節(jié)點(綠色)的介數(shù)要大于最外層的節(jié)點介數(shù)，節(jié)點介數(shù)是由外向內(nèi)依次遞增的，在最中心的節(jié)點(黃色)介數(shù)最大，達到0.935 6，而節(jié)點數(shù)則是由外向內(nèi)逐步遞減。反映到現(xiàn)實森林中(圖6)，每個小班代表不同的森林，且面積大小一致。在整個森林耦合體中，能量、信息流經(jīng)邊緣小班的概率最小，同時此類小班的重要程度也最低，而核心小班的則處于耦合體的能量、信息交匯中心，負(fù)載程度最高，對整個景觀內(nèi)動植物的繁殖、生長、遷徙等起著至關(guān)重要的作用，這與Estrada E提出用介數(shù)來衡量可以節(jié)點的重要度，且經(jīng)過該節(jié)點的最短路徑越多則該節(jié)點的重要程度越高一觀點也是相契合的[13]。

圖5 理想狀態(tài)下森林耦合網(wǎng)絡(luò)

圖6 理想狀態(tài)下森林耦合體

5 結(jié)論與討論

5.1 結(jié)論

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的崩潰閾值表可發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)的平均崩潰閾值與曲線方程的起始點位置有關(guān)，且起始點越接近原點，網(wǎng)絡(luò)越穩(wěn)定，越遠(yuǎn)離原點，網(wǎng)絡(luò)則越脆弱。累計節(jié)點數(shù)在介數(shù)范圍內(nèi)分布的理想方程進而遞推出不同介數(shù)范圍內(nèi)節(jié)點數(shù)分布的理想方程，當(dāng)理想方程(6)中的k取到無窮小的正值時，方程g(x)曲線無限趨向于一條直線，即對于一個耦合網(wǎng)絡(luò)來說，當(dāng)不同介數(shù)范圍內(nèi)節(jié)點數(shù)分布曲線越趨向于一條直線，森林耦合網(wǎng)絡(luò)越穩(wěn)定。利用該理想方程近似推理出理想狀態(tài)下森林耦合網(wǎng)絡(luò)和耦合體，發(fā)現(xiàn)在整個森林耦合體中，核心小班的則處于耦合體的能量、信息交匯中心，負(fù)載程度最高，對整個景觀內(nèi)動植物的繁殖、生長、遷徙等起著至關(guān)重要的作用。在森林經(jīng)營過程中需要盡量避免采伐核心小班，且采伐后需要盡快補植，維持整個森林系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5.2 討論

通過網(wǎng)絡(luò)累計節(jié)點數(shù)與介數(shù)中值的回歸方程組進行推導(dǎo)得到不同介數(shù)范圍內(nèi)節(jié)點數(shù)分布的理想方程，此方程主要針對節(jié)點數(shù)為150左右的網(wǎng)絡(luò)，不同節(jié)點數(shù)網(wǎng)絡(luò)b的取值是不一樣。理想方程g(x)為不定方程，k始終取極小值，且極小程度與曲線的弧度有關(guān)，越小，越趨向直線。當(dāng)節(jié)點數(shù)在介數(shù)上的分布滿足這樣的曲線時，森林景觀斑塊耦合網(wǎng)絡(luò)即為理想穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在研究節(jié)點介數(shù)分布與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性之間的關(guān)系時，所選用的網(wǎng)絡(luò)都均為節(jié)點數(shù)為150左右的網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建累計節(jié)點數(shù)在介數(shù)范圍內(nèi)分布的理想方程(4)中的b為方程組(3)中b的均值，而方程組(3)僅能代表的是所選10個網(wǎng)絡(luò)樣本累計節(jié)點數(shù)在介數(shù)范圍內(nèi)的分布情況，并不適用于節(jié)點數(shù)不同的網(wǎng)絡(luò)，因此理想方程實際上僅僅針對于節(jié)點數(shù)為150個左右的網(wǎng)絡(luò)而言有效，如何確定b的取值范圍，將理想方程擴展到不同節(jié)點數(shù)的網(wǎng)絡(luò)是下一步研究的重點。