Boussinesq 方程行波解的存在性

徐園芬，章麗娜

（1.浙江萬(wàn)里學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)院，浙江寧波 315100；2.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

0 引 言

用于描述重力下淺水長(zhǎng)波的傳播、一維非線性晶格中長(zhǎng)波的傳播以及非線性弦中長(zhǎng)波傳播的不適定Boussinesq 方程[1]

文獻(xiàn)［2］應(yīng)用濾波和正規(guī)化技巧，得到了式（1）的六階Boussinesq 方程[1]

其中，ε為小參數(shù)；文獻(xiàn)［3］獲得了六階Boussinesq 方程弱的非局部孤立波解；文獻(xiàn)［4］對(duì)式（2）進(jìn)行了分析和數(shù)值研究。目前尚未見(jiàn)與式（2）的行波系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為研究相關(guān)的報(bào)道。本文將利用平面動(dòng)力系統(tǒng)方法的分支理論［5-13］，研究式（2）在不同參數(shù)下的精確行波解，旨在獲得與Boussinesq 方程相對(duì)應(yīng)的行波系統(tǒng)的相圖分支，證實(shí)Boussinesq 方程存在孤立波解和周期波解。

1 與Boussinesq 方程相對(duì)應(yīng)的行波方程

為研究式（2）的行波解，做以下變換：

其中，c為波速。將式（3）代入式（2），并關(guān)于ξ積分4次，取積分常數(shù)為零，化簡(jiǎn)后得

式（4）等價(jià)于以下行波系統(tǒng)：

式（5）的首次積分為

下面將通過(guò)定性分析，得到式（5）的相圖分支。

2 行波系統(tǒng)的相圖分支

為分析行波系統(tǒng)式（5）的平衡點(diǎn)類(lèi)型，令

易得函數(shù)f(φ)的圖像，見(jiàn)圖1。

圖1 f (φ)的圖像Fig.1 The graphs of the function f (φ)

由圖1 可知，當(dāng)|c|＞c*時(shí)，式（5）有4 個(gè)平衡點(diǎn)，分 別 為(φ1，0)，(φ2，0)，(φ3，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2＜φ3；當(dāng)|c|=c*時(shí)，式（5）有3 個(gè)平衡點(diǎn)，分別 為(φ1，0)，(φ2，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2；當(dāng)|c| ＜c*時(shí)，式（5）有2 個(gè)平衡 點(diǎn)，分別為(φ1，0)和(0，0)，其中φ1＜0。令λ(φ*，y)為式（5）的線性系統(tǒng)特征值，則

由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論及式（7）可知，f′(φ*)的符號(hào)和平衡點(diǎn)(φ*，0)的位置共同決定平衡點(diǎn)(φ*，0)的類(lèi)型（如鞍點(diǎn)、中心及退化奇點(diǎn)等）。進(jìn)一步，可得式（5）的相圖分支，如圖2 所示。

3 行波解的精確參數(shù)表達(dá)式

圖2 式（5）的相圖分支Fig.2 The bifurcation of phase portraits of formula（5）

由式（5）及其首次積分式（6），可得式（2）的某些行波解的精確參數(shù)表達(dá)式。在求解過(guò)程中將用到sn(ω，k)，cn(ω，k)，sd(ω，k)等橢圓函數(shù)以及勒讓德橢圓積分

為敘述方便，將式（6）H(φ，y)=h記為

由式（6）可得

由式（5）的第1 個(gè)方程，可得

顯然，對(duì)一般的h，無(wú)法用式（9）求得行波解的精確參數(shù)表達(dá)式，因?yàn)镚(φ)為五次多項(xiàng)式且式（9）右端為超橢圓積分。取c=2（如圖2（c）所示），有h3＜0 ＜h1＜h2，當(dāng)h=0 時(shí)，式（5）為由H(φ，y)=h定義的一條周期軌道。式（8）可寫(xiě)為

其中，r3＜r2＜φ＜r1。由式（5）的第1 個(gè)方程得

于是式（5）的周期波解為

其中，ω為參數(shù)，

在 圖2（a）和（b）中，當(dāng)h=0 時(shí)，式（5）為 由H(φ，y)=h定義的一條開(kāi)軌道，式（8）變?yōu)?/p>

由式（5）的第1 個(gè)方程，得到式（2）的行波解參數(shù)：

其中，ω為參數(shù)，A2=(b1?r)2+a21，

4 孤立波解和周期波解的存在性

有以下結(jié)論：

定 理1當(dāng)|c| ≤c*時(shí)（如 圖2（a）和（b）所示），有

（?。┊?dāng)h=h1時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為一條同宿軌道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

在歷史教師看來(lái)，他所講述的歷史—故事既無(wú)用，又有用。無(wú)用之處在于，歷史似乎總是在原地打轉(zhuǎn)，歷史的經(jīng)驗(yàn)并不能為后人提供避免犯錯(cuò)的借鑒。有用之處在于，對(duì)歷史的探究、編造和解釋本身就是人之所以為人的組成部分；對(duì)歷史的好奇心，就是對(duì)自我的好奇心；對(duì)歷史的探究就是對(duì)自我的探究。所以人類(lèi)要一次又一次地講述故事，講述自我?！吧邪颂嗟目瞻住Ｎ覀兩眢w里十分之一是有機(jī)的生理組織，十分之九是水；生活是十分之一的‘此時(shí)此地’，十分之九的歷史課?！盵2]54

（ⅱ）當(dāng)0 ＜h＜h1時(shí)，水 平 曲 線H(φ，y)=h有一族周期軌道，式（2）存在一族光滑周期波解。

定理2當(dāng)c*＜|c| ≤c**時(shí)（如圖2（c）所示），有0 ＜h1≤h3＜h2，則

（?。┊?dāng)h=h1和h=h2時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h均為一條同宿軌道，式（2）均存在峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）當(dāng)0 ＜h＜h1和h3＜h＜h2時(shí)，水 平 曲 線H(φ，y)=h均有一族周期軌道，式（2）均存在一族光滑周期波解。

定理3當(dāng)c**＜|c| ＜c***時(shí)（如圖2（c）所示），有0 ＜h3＜h1＜h2，則

（?。┊?dāng)h=h1時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為周期軌道和同宿軌道，式（2）存在光滑周期波解和峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）當(dāng)h=h2時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為一條同宿軌道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

（ⅲ）當(dāng)h=h3時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為周期軌道，式（2）存在光滑周期波解；

（ⅳ）當(dāng)0 ＜h＜h3和h1＜h＜h2時(shí)，水 平 曲 線H(φ，y)=h均有一族周期軌道，式（2）均存在一族光滑周期波解；

（ⅴ）當(dāng)h3＜h＜h1時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h有2 族周期軌道，式（2）存在2 族光滑周期波解。

定理4當(dāng)|c|＞c***時(shí)（如圖2（c）所示），有h3＜0 ＜h1＜h2，則

（ⅰ）當(dāng)h=h1時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為周期軌道和同宿軌道，式（2）存在光滑周期波解和峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）當(dāng)h=h2時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h為同宿軌道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

（ⅲ）當(dāng)h3＜h＜0 和h1＜h＜h2時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h均有一族周期軌道，式（2）均存在一族光滑周期波解；

（ⅳ）當(dāng)0 ＜h＜h1時(shí)，水平曲線H(φ，y)=h有2 族周期軌道，式（2）存在2 族光滑周期波解。

5 結(jié) 論

應(yīng)用平面動(dòng)力系統(tǒng)方法，得到式（5）隨波速c改變的相圖分支，當(dāng)h=0 時(shí)，獲得了六階Boussinesq方程的光滑周期波解的精確參數(shù)表達(dá)式，當(dāng)h≠0時(shí)，在不同波速下，證實(shí)了式（2）存在孤立波解和周期波解，且小參數(shù)ε的變化，不會(huì)改變孤立波解和周期波解的存在。獲得了光滑周期波解的精確參數(shù)表達(dá)式，證實(shí)了Boussinesq 方程存在孤立波解和周期波解。

以上結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)觀察該模型的波動(dòng)現(xiàn)象具有較好的指導(dǎo)作用。