小球為什么不能到達最高點

高干

摘 要：豎直平面內(nèi)圓周運動是高中物理教學(xué)中的一個重點問題，也是一個涉及多種物理現(xiàn)象的問題，而其中涉及的臨界問題，如臨界速度、臨界點問題，尤其是豎直平面內(nèi)圓周運動中的臨界點問題，需要與能量知識點結(jié)合教學(xué)更是成為其中的教學(xué)難點。對于小球（或質(zhì)點）所能達到的最高點（或為什么不能到達最高點）問題，需要在教學(xué)中注意各種物理知識之間的銜接，對這個典型教學(xué)問題進行深入剖析，才有利于學(xué)生加深理解，更能利于相關(guān)知識點的掌握。

關(guān)鍵詞：豎直平面; 圓周運動; 臨界速度

中圖分類號：G633.7? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-3315（2021）3-022-002

小球的豎直平面圓周運動是一個較為復(fù)雜的過程，其中可涉及到很多物理量，如角速度、線速度、向心加速度等，也會涉及到臨界問題，如臨界速度、臨界點問題，如此復(fù)雜教學(xué)問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中極易因為定義、物理量之間的關(guān)系等的理解出現(xiàn)誤解，從而影響豎直平面圓周運動的學(xué)習(xí)質(zhì)量。尤其是臨界問題中的臨界點問題，如小球（或質(zhì)點）所能達到的最高點（或為什么不能到達最高點）問題，由于需要與能量問題結(jié)合，學(xué)生在處理這個問題時易顧此失彼。如何解決豎直平面圓周運動中“小球為什么不能到達最高點”這個學(xué)習(xí)難題，本文以教學(xué)中的一個實例進行探討。

1.現(xiàn)象：問題的提出

在一次日常高中物理測評中，有遇到這樣一個問題。如右圖所示：ABCDE為一個位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，其中AD段為豎直軌道，DB段為曲面軌道，BEC段為半徑R的半圓軌道，曲面軌道與半圓軌道在B處相切，軌道D處與C處等高，B處為是軌道的最低點，B處、C處位于同一豎直線。若在軌道內(nèi)側(cè)AD段某處釋放大小不計的質(zhì)量為m的光滑小球，請問在離B處多高是釋放，小球才能達到BEC段半圓軌道的最高點C處？

其實，對于這個小球豎直平面圓周運動的試題，學(xué)生們并不難得出正確的解題思路。從解題思路來看，由于本題中光滑軌道只能給光滑小球施加指向圓心的約束力，若小球運動到C處作圓周運動，那么其所需要向心力即為小球重力，也就是說C處為圓周運動的臨界最小速度Vc=[gR]，可由動能定理（或機械能守恒定律）很容易就可解答出本題目的正確答案，即當(dāng)釋放小球時離B處的高度為2.5R（或離C處高為0.5R）高時，能達到BEC段半圓軌道的最高點C處。

但是仍然有部分學(xué)生在解答這個題目時認為，根據(jù)能量守恒，在D處釋放光滑小球，小球也應(yīng)該可以與D處相同高度的C處。這類學(xué)生們的理由很簡單，即根據(jù)初中物理牛頓第一定律，這部分學(xué)生認為，當(dāng)從一個光滑斜面下滑的小球時，由于小球在運動過程中并未產(chǎn)生摩擦力，故可以滑到BEC段半圓軌道上同樣的高度C處。但是面對最后正確答案“當(dāng)釋放小球時離B處的高度為2.5R（或離C處高為0.5R）高時，小球才能達到BEC段半圓軌道的最高點C處”時，學(xué)生們始終不解，他們疑問的是為什么在D處釋放光滑小球，小球不能達到BEC段半圓軌道的最高點C處。其實對應(yīng)學(xué)生們的疑問，大多數(shù)教師在幫助學(xué)生們處理這一疑惑時，他們都很少正面說明，而是順著學(xué)生的思路指出：如果小球達到BEC段半圓軌道的最高點C處，在C處小球的速度為0，那么在重力作用下將自由下落，若將軌道的圓周部分延伸，那么小球?qū)⒉辉傺剀壍览^續(xù)做圓周運動，因此根據(jù)對稱性，逆向思考，在D處釋放光滑小球，小球是不可能沖E處運動到C處的。

其實對于教師的這個簡單的問題解釋，看似學(xué)生們理解了習(xí)題的正確答案，其實學(xué)生們大多數(shù)仍存在較多疑惑，主要與學(xué)生對豎直平面圓周運動問題理解不夠深刻有關(guān)。

2.剖析：知識點回顧

對于小球（或質(zhì)點）在豎直平面內(nèi)的圓周運動問題，學(xué)生們有可能受知識和能力限制，在解答問題中往往只分析通過最高點、最低點的情況，這可能導(dǎo)致其不能真正理解這類題型。在物理學(xué)的問題研究中，可從特殊到一般這樣的規(guī)律進行，故對于豎直平面圓周運動的知識考查，在教學(xué)中也需要考慮各種臨界狀態(tài)這個特殊情況的切入點。豎直平面內(nèi)的小球圓周運動，可因作用物（如繩、輕桿、軌道、管道等）的不同分為兩類臨界問題，即輕繩類圓周運動和輕桿類圓周運動，輕繩類圓周運動包括繩或軌道這類的圓周運動問題，而輕桿類圓周運動包括桿或管道這類的圓周運動問題。

2.1輕繩類圓周運動

對于輕繩類圓周運動問題而言，由于繩是柔軟的，故對小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力，同時軌道也只能產(chǎn)生與軌道垂直方向的作用力，即輕繩類圓周運動中，繩或軌道只能沿徑向給物體作用力。如右圖所示，小球作輕繩類圓周運動時，由于小球沒有物體支撐，故在豎直平面做圓周運動過最高點的情況可分為3種：其一，臨界點：此時小球運動到最高點，繩子（或軌道）對小球無沒有力的作用，此時小球速度為V=[gR];其二，小球可通過圓周運動的最高點，其條件為V[>][gR]，當(dāng)V[>][gR]時，繩或軌道可對小球產(chǎn)生徑向作用力，即繩對小球產(chǎn)生徑向拉力，軌道對球產(chǎn)生徑向壓力;其三，小球不可通過圓周運動最高點，其條件為V[<][gR]，實際上這種情況，球還未達到圓周最高點就脫離了軌道，而做斜拋運動，此時繩或軌道對小球已經(jīng)無徑向作用力。

2.2輕桿類圓周運動

這類輕桿類圓周運動其實就是有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動的問題，此類問題更為復(fù)雜。如右圖所示，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況可分為2種：其一，臨界點，由于小球有硬桿、管壁的支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度，這個小球只要放在與圓周最高點相同高點位置就能達到最高點。其二，小球可通過圓周運動的最高點，此時，硬桿、管壁對小球作用力情況較為復(fù)雜一點：①當(dāng)此時小球速度V=0時，輕桿管壁對小球有豎直作用力N，其大小等于小球的重力，即N=mg;②當(dāng)此時小球速度0[N>0];③當(dāng)此時小球速度V[>][gR]時，輕桿、管壁對小球的作用力N=0，即輕桿、管壁對小球無作用力，此時mg+N=m[v2R]，故N=m[v2R-mg]，桿對小球有指向圓心的拉力，其作用力大小隨速度增加而增大。

3.釋疑：問題的解決

從上述小球（或質(zhì)點）在豎直平面內(nèi)的圓周運動問題的回顧分析來看，對于輕桿類圓周運動和輕繩類圓周運動這兩個問題，學(xué)生們可能在初次學(xué)習(xí)圓周運動就有所涉及，其實輕桿類圓周運動和輕繩類圓周運動是有所不同的，即在臨界最高點時，硬桿對小球既能產(chǎn)生拉力，也能對小球產(chǎn)生支持力，還可對小球產(chǎn)生零作用力，而輕繩不同，只能產(chǎn)生徑向作用力。但是自從接觸到了能量相關(guān)知識后，他們反而越學(xué)越糊涂，為什么有學(xué)生認為“在D處釋放光滑小球，小球也應(yīng)該可以與D處相同高度的C處”是正確答案呢，仍然需要教學(xué)中集中進行答疑，具體教學(xué)解答如下：

如右圖所示：令光滑小球在與C處等高的D處釋放，其能達到圓周運動最高點為F處，那么其速度為V，此時小球?qū)壍缐毫t為0，此時小球圓周運動的向心力為重力的分力F1=mgcos[θ]，然后由動能定理（或機械能守恒定律）可得出，mgR（1-cos[θ]）=[12mv2]，然而由向心力公式可知mgcos[θ=mv2R]，則有cos[θ=23]，v=[23gR]。在圖位置小球能繼續(xù)能上升的高度為h=[（vsinθ）22g=5R27]（此時小球的水平位移為x=[45R27]，圖示位置到BC的水平距離為d=Rsin[θ=5R3]， 可知小球還未到C點正下方），而圖示位置與C點的高度差為h1=R（1-cos[θ]）=[R3]，可見h[<]h1，那么小球是不能到達圓周最高C處的。進一步分析可知，小球斜拋到達最高點時，水平速度不為0，此時仍然有動能存在。

4.反思：教學(xué)的建議

以上解析，從教學(xué)理論上可解決學(xué)生對小球圓周運動的理解疑惑。但是本文教學(xué)案例對學(xué)生今后教學(xué)有什么啟示呢？我們應(yīng)該在教學(xué)中怎么辦呢？這需要反思總結(jié)經(jīng)驗：

首先，教學(xué)中需要利用好物理器材，做好演示實驗，才能體現(xiàn)物理學(xué)科的特點。當(dāng)然若教學(xué)中有實踐，可以設(shè)計一個模型將本課題演示出來。在演示時，可以將小球從不同高度釋放，讓學(xué)生觀察，最終讓學(xué)生們“眼見為實”，這可以幫助學(xué)生們從感性上認識這一問題。

其次，教學(xué)中的典型問題，需要讓學(xué)生充分思考、討論、質(zhì)疑，然后自我發(fā)現(xiàn)問題，并想辦法解決問題，只有通過教師的引導(dǎo)、釋疑，才能讓學(xué)生提升認識理解能力。

最后，應(yīng)做好知識銜接問題。物理學(xué)科的學(xué)習(xí)，從初中到高中，從高中到大學(xué)，是一個螺旋上升的過程。前一階段的學(xué)習(xí)，對后一階段相關(guān)知識的學(xué)習(xí)有時是促進作用，有時是干擾作用，其實本課例就是因為學(xué)生學(xué)習(xí)了能量守恒定律后的一種特殊干擾作用。故在教師釋疑過程中，應(yīng)分析學(xué)生情況，既要預(yù)設(shè)，又要注意課堂中的生成，不放過學(xué)生每一個有價值的疑問。