生活中的圓周運動問題歸類解析

劉錦洋

摘要：圓周運動知識是高中物理學(xué)習(xí)的重點，也是高考命題的熱點。生活中的圓周運動問題是其中的難點，且常和其他知識點相結(jié)合進行考查，從而形成綜合性較強的問題。這類問題來源于實際，解決問題的關(guān)鍵要重在理解其運動規(guī)律。本文就幾類生活中的圓周運動模型作了較為詳盡的歸納和解析，對這些問題進行歸類研究能更容易理解其運動規(guī)律，找到解決問題的基本方法。

關(guān)鍵詞：圓周運動；問題歸類；學(xué)生

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0074

圓周運動知識是高中物理學(xué)習(xí)的重點，也是高考命題的熱點。生活中的圓周運動問題是其中的難點，且常和其他知識點相結(jié)合進行考查，從而形成綜合性較強的問題。這類問題來源于實際，解決問題的關(guān)鍵要重在理解其運動規(guī)律。本文就幾類生活中的圓周運動模型作了較為詳盡的歸納和解析，對這些問題進行歸類研究能更容易理解其運動規(guī)律，找到解決問題的基本方法。

一、火車轉(zhuǎn)彎問題

解決此類問題，首先應(yīng)分析向心力的來源?；疖囋谄街避壍郎限D(zhuǎn)彎時擠壓外軌，僅由外軌對火車的彈力提供轉(zhuǎn)彎所需向心力。實際中轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi)軌，火車駛過轉(zhuǎn)彎處時鐵軌對火車的支持力不再沿豎直方向，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力提供火車轉(zhuǎn)彎所需向心力。其次要明確圓周平面，雖然外軌高于內(nèi)軌，但整個外軌和整個內(nèi)軌分別是等高的，因而火車行駛過程中重心的高度不變，火車重心的軌跡在同一水平面內(nèi)，火車的圓周平面是水平面，而不是斜面。

例1. 鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。若一段鐵路轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌高度差為h=75mm，彎道半徑r=440m，內(nèi)外軌的間距L=1.435m。

①求這段彎道的設(shè)計速度v0是多大？

②討論當(dāng)火車（質(zhì)量為m）的速度大于或小于v0時內(nèi)外軌對火車的側(cè)壓力。

解答：

①轉(zhuǎn)彎過程中，當(dāng)內(nèi)外軌對車輪均沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖1所示。其中G與FN合力F=mgtanα提供火車轉(zhuǎn)彎的向心力，故由牛頓定律得：mgtanα=

因為α很小，故：tanα≈sinα=

由（1）、（2）可得： v0=

代入數(shù)據(jù)解得： v0=15m/s

②討論：當(dāng)v>v0時，外軌對外輪邊緣產(chǎn)生沿路面向內(nèi)的彈力，此時火車受力如圖2所示，則根據(jù)牛頓第二定律：

FN·sinα+F外·cosα=

FN·cosα=F外·sinα+mg

聯(lián)立兩式解得：F外=m cosα-mgsinα

速度v越大，F(xiàn)外越大。

同理，當(dāng)v

F內(nèi)=mgsinα -m cosα

速度v越小，F(xiàn)內(nèi)越大。

[拓展]鐵路彎道的曲率半徑r是根據(jù)地形條件決定的，彎道處內(nèi)外軌道的高度h選取不僅與r有關(guān)，還與火車在彎道上的行駛速率有關(guān)，利用數(shù)學(xué)近似處理得出上述三個量的關(guān)系為h=L·

二、汽車過拱橋問題

分析此類問題，要會確定汽車在何位置時對橋面的壓力最大。汽車經(jīng)過凹形橋面時，有向上的加速度或分量，汽車處于超重狀態(tài)，經(jīng)過凸形橋面時，有向下的加速度或分量，汽車處于失重狀態(tài)，當(dāng)汽車經(jīng)過凹形橋面的最低點時，汽車對橋面的壓力最大。

例2. 一質(zhì)量m=2.0t的小車，駛過半徑R=90m的一段圓弧形橋面，重力加速度g=10m/s2。求：

①若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過橋面最低點時，對橋面壓力是多大？

②若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過橋面最高點時，對橋面壓力是多大？

③汽車以多大速度通過凸形橋面頂點時，對橋面剛好沒有壓力？

解答：

①汽車通過凹形橋面最低點時，受力情況如圖3所示。水平方向受牽引力F和阻力f，豎直方向受橋面向上的支持力N1和向下重力G=mg，支持力與重力的合力為N1-mg，這個合力就是汽車通過橋面最低點時的向心力。

由向心力公式有：N1-mg=m

則支持力N1=mg+m （1）

將已知條件代入，并根據(jù)牛頓第三定律，得F壓=N1=2.88×104N，即汽車對橋面最低點的壓力大小是2.88×104N。

②汽車通過凸形橋面最高點時，受力情況如圖3所示。水平方向受牽引力F和阻力f，豎直方向受重力G=和橋面向上的支持力N2，重力與支持力的合力為mg-N2，這個合力就是汽車通過橋面頂點時的向心力，由向心力公式有

mg-N2=m

則支持力F壓=N2=mg-m =1.78×104N （2）

根據(jù)牛頓第三定律，汽車在橋的頂點時對橋面壓力的大小為1.78×104N。

③設(shè)汽車速度為vm時，通過凸形橋面頂點時對橋面壓力為零。根據(jù)牛頓第三定律，這時橋面對汽車的支持力也為零，汽車在豎直方向只受到重力G作用，重力就是汽車駛過橋頂點時的向心力。

由向心力公式有：mg=m

解得：vm=30m/s即汽車以30m/s的速度通過橋面頂點時，對橋面剛好沒有壓力。

[拓展]由（1）式可知，v增大，F(xiàn)1減?。划?dāng)v增大到 時，F(xiàn)1=0。由（2）式可知，v增大，F(xiàn)1增大。公式是牛頓第二定律在圓周運動中的應(yīng)用，向心力就是做圓周運動的物體所受的指向圓心方向的合外力。因此，牛頓定律及由牛頓定律導(dǎo)出的一些規(guī)律（如超重、失重等）在該問題中仍適用。

三、翻轉(zhuǎn)過山車問題

此類問題側(cè)重考查圓周運動中臨界條件的應(yīng)用，分析時應(yīng)先考慮達(dá)到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，再分析該狀態(tài)下物體受力的特點，結(jié)合圓周運動知識解決問題。

例3. 如圖5所示，游樂場翻轉(zhuǎn)過山車上的乘客常常會在高速旋轉(zhuǎn)或高空倒懸時感到驚險刺激。這種車的設(shè)計有足夠的安全系數(shù)，過山車在做圓周運動時，可以使乘客穩(wěn)定在座椅上，還有安全棒緊緊壓在乘客胸前，在過山車未到達(dá)終點以前，不能將其打開。若一過山車的圓環(huán)直徑是15m，試?yán)门ｎD第二定律和圓周運動的知識，探究過山車通過圓軌道最高點的速度至少為多少時才能夠保證乘客的安全？過山車在圓軌道最低點和最高點時分別處于什么狀態(tài)？（g取10m/s2）

解答：

過山車運動到環(huán)底和環(huán)頂時，車中人受力情況是：重力mg、過山車在底部對人的支持力FN下（方向向上）和過山車在頂部對人的支持力FN上（方向向下）。過山車沿圓環(huán)滑動，人也做圓周運動，人所需的向心力由mg和FN提供。用v下表示人在圓環(huán)底部的速度，v上表示人在圓環(huán)頂部的速度，R表示圓環(huán)的半徑，則：

在底部：FN下-mg=m ，此時，F(xiàn)N下=mg+m

可見在底部時，過山車對人的支持力比人的體重大了m ，由牛頓第三定律可知，這時人對滑車座位的壓力也比其體重大m 。過山車經(jīng)過底部時速度會相對較大，所以人的體重增加好多倍，使人緊壓在座位上。

在頂部：FN上+mg=m

在最高點時不掉下來且能安全通過的條件是只有重力提供向心力，故有mg=m

得v上= =8.7mv2上

通過上述分析知，過山車在圓軌道最低點和最高點時分別處于超重和失重狀態(tài)。

[拓展]過山車經(jīng)過圓軌道最高點的速度與整個軌道最高處A離地面的高度H有關(guān)，為了保證游客安全，速度必須達(dá)到8.7m/s，那么H必須大于某一個定值。

由機械能守恒定律有：mgH=mgZR+ mv2上

解得，H=18.75m.。即整個軌道的最高處必須大于18.75m才能保證安全。

四、離心運動問題

物體做離心運動（圖6）的條件：合外力突然消失或不足以提供物體做圓周運動所需的向心力。處理此類問題之前，我們要注意分析理解下面幾點：

1. 離心運動的運動學(xué)特征是逐漸遠(yuǎn)離圓心運動，動力學(xué)特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。

2. 做離心運動的質(zhì)點是做半徑越來越大的運動或沿切線方向的運動，不是沿半徑方向運動；當(dāng)合外力突然消失時，物體就以此時的線速度沿切線方向運動，軌跡為一條直線。

3. 做離心運動的質(zhì)點不存在所謂的“離心力”作用，因為沒有任何物體提供這種力。

例4. 如圖7所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，靜止于水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg的物體，M的中點與圓孔距離為0.2m，M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度ω在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g取10m/s2）

解答：

要使m靜止，M應(yīng)與平面相對靜止，考慮M能與水平面相對靜止的兩個極端狀態(tài)：當(dāng)ω為所求范圍內(nèi)的最小值時，M有向圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力方向背離圓心；當(dāng)ω為所求范圍的最大值時，M有遠(yuǎn)離圓心運動的趨勢，水平面對M的摩擦力方向指向圓心。

①當(dāng)ω為所求范圍的最小值時，水平面對M的靜摩擦力大小等于最大靜摩擦力2N，方向背離圓心，此時對M有：

T-fm=Mrω21且T=mg

解得： ω1=2.9rad/s

②當(dāng)ω為所求范圍的最大值時，水平面對M的摩擦力大小也為2N，方向指向圓心，此時：T+fm=Mrω22且T=mg

解得：ω2=6.5rad/s

故所求ω的范圍為2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

[拓展]分析兩個極端（臨界）狀態(tài)來確定變化范圍，是求解“范圍類”問題的一種常用方法。

跟蹤訓(xùn)練

1. 繩系著裝有水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量m=0.5kg，繩長l=60cm。求：

（1）最高點水不流出的最小速率

（2）水在最高點速率v=3m/s時，水對桶底的壓力

2. 如圖8所示，一質(zhì)量為m的小球p與穿過光滑水平板中央小孔O的輕繩相連，用手拉著繩子的另一端使小球在水平板上繞O作半徑為a，角速度為ω1的勻速圓周運動。

（1）若將繩子從這個狀態(tài)迅速放松，后又拉緊，使小球繞O作半徑為b的勻速圓周運動，則從繩子被放松到拉緊經(jīng)過多少時間？

（2）當(dāng)小球沿半徑為b的圓周勻速運動時角速度ω2多大？

參考答案：1. 2.42 m/s 2.6N 2. ω1