淺議微積分在高中物理教學中的應用

趙士魁+任娟+林建良

摘要：高中數(shù)學選修部分的微積分知識是幫助學生解決高中物理問題、理解物理概念的重要工具，筆者把微積分的知識應用到課堂物理知識點的講解和物理問題的解決中去，聯(lián)系高考和全國物理競賽，為高中生今后學習大學物理知識做出了很好的鋪墊。

關鍵詞：微積分；物理教學；圓周運動；高考

一、引入微積分讓學生深入理解物理公式

1. 圓周運動

圓周運動中的線速度：為了描述物體經(jīng)過某位置附近運動的快慢，可以取一段很短的時間 ，物體在這段時間內(nèi)通過的弧長為 。比值 反應了物體運動的快慢，叫做線速度，用 表示，即 ，線速度也有平均值和瞬時值之分。如果所取的時間間隔很小，這樣得到的就是瞬時速度，按照微分的形式為： ，角速度可以表示為： ，而 ，所以 從而得到 就是線速度和角速度的關系。

2. 勻速圓周運動向心加速度的證明

人教版必修二中指出：勻速圓周運動向心加速度表達式 可以從加速度公式 導出 ，但是并沒有進行詳細證明，粵教版必修二也沒有嚴格的證明，下面筆者將利用微積分來證明勻速圓周運動向心加速度表達式。因為是勻速圓周運動，所以

，時間極短易知：

再根據(jù)牛頓第二定律就可以得出向心力的表達式： 的結(jié)果 。

3.交流電有效值

大家比較熟悉是正弦交流電，電流峰值和有效值關系是： ，其實余弦交流電也是一樣的，下面進行證明。

交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應來定義的，假設流過定值電阻的電流函數(shù)為余弦函數(shù)， ， 時刻的瞬時功率為

而

代入得

在一個周期內(nèi)電阻 上產(chǎn)生的熱量為

所以

假設有一個恒定電流 與其等效，在一個周期內(nèi)的熱量 為，且 ，所以 。

通過微積分計算，學生對這些基本公式有了深層次的理解，有助于他們的記憶和運用。

二、微積分為高中物理題目帶來新的解法

由數(shù)學知識可知，求某函數(shù)的極值時，可先令此函數(shù)的一階導數(shù)為零，找到自變量的取值，再求此值下的函數(shù)值即為最值。利用微分解釋有關函數(shù)極值問題，可以加深學生對物理意義的理解，避免繁雜的計算，提高解題效率。

例1：一小汽車從靜止開始以 的加速度啟動，恰有一自行車以 的速度從車邊勻速駛過，汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？

分析與解 t時刻兩者的距離為：

對 求導得：

令：

=0，

可得： ，把 帶入原式得：

例2：一小物塊以速度 沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上并由高臺上飛出，如圖所示.問高臺的高度 多大時，小物塊飛行的水平距離 最大？這個距離是多少？（ 取 ）

分析與解 設小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 ，根據(jù)機械能守恒定律得：

○1

小物塊做平拋運動的水平距離 和高度 分別為：

， ○2

。 ○3

以上三式聯(lián)立解得：

令 ，對 求導得：

當導數(shù)等于零，即 時飛行距離最大，代入計算：

三、微積分在高考和全國物理競賽試題中的應用

近年來，全國物理高考和全國物理競賽都出現(xiàn)了考察微積分的題目，而且分值較重，筆者認為：微積分在物理題目中的應用將是未來高考和競賽考察的重點，值得大家思考。

例1：（2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試）某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g.求

（i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（ii）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

分析與解：（i）在時間間隔 時間內(nèi)，可以為噴泉噴出的水柱保持速度 不變。

該時間內(nèi)，噴出水柱高度： ①

噴出水柱質(zhì)量： ②

其中 為水柱體積，滿足： ③

由①②③可得：噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為

（ii）設玩具底面相對于噴口的高度為

由玩具受力平衡得： ④

其中， 為水體對玩具底部的作用力。

由牛頓第三定律： ⑤

其中， 為玩具底部對水體的作用力。

為水體到達玩具底部時的速度

由運動學公式： ⑥

在很短 時間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為

⑦

由題意可知，在豎直方向上，對該部分水柱有動量定理

⑧

由于 很小， 也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)?⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

例2：（第32屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題）如圖， 單原子理想氣體構成的系統(tǒng)分別經(jīng)歷循環(huán)過程 和 。已知理想氣體在任一緩慢變化過程中，壓強 和體積 滿足函數(shù)關系 。

（1）試證明：理想氣體在任一緩慢變化過程的摩爾熱容可表示為

式中， 和 分別為定容摩爾熱容和理想氣體常數(shù)； （2）計算系統(tǒng)經(jīng) 直線變化過程中的摩爾熱容；

分析與解：（1）根據(jù)熱力學第一定律，有

實踐證明：把數(shù)學微積分知識滲透到高中日常物理教學中來，可以幫助學生簡便地解決高中物理問題、深層次理解物理概念，對學生的高考和物理競賽有很大幫助，對高中物理與大學物理的銜接也有積極作用。

參考文獻

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[3] 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第5版.北京：高等教育出版社， 2001：186.

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