數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維的法寶

陸莉婷

[摘 ?要] 直覺(jué)思維對(duì)創(chuàng)造力的形成與發(fā)展具有舉足輕重的作用. 文章從數(shù)學(xué)美與直覺(jué)思維的關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)為直覺(jué)思維具備簡(jiǎn)單性、直接性，跳躍性、整體性，或然性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)，并提出利用數(shù)學(xué)美培養(yǎng)直覺(jué)思維的方法：以整體之美激發(fā)直覺(jué)思維，以模型之美誘導(dǎo)直覺(jué)思維，以解題之美拓展直覺(jué)思維.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)美;直覺(jué)思維;模型;解題

眾所周知，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展離不開(kāi)直覺(jué)思維與邏輯思維的培養(yǎng). 縱觀當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)課堂，教師對(duì)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)意識(shí)較強(qiáng)，但對(duì)直覺(jué)思維的培養(yǎng)意識(shí)比較淡薄，甚至有部分教師認(rèn)為直覺(jué)思維的培養(yǎng)是小學(xué)教師的任務(wù)，而高中教師主要是幫助學(xué)生獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.

其實(shí)，這種認(rèn)識(shí)過(guò)于片面. 對(duì)于學(xué)生而言，任何階段的直覺(jué)思維與邏輯思維一樣重要. 實(shí)踐證明，直覺(jué)思維是很多新發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，而數(shù)學(xué)美對(duì)直覺(jué)思維的形成與發(fā)展具有直接的影響. 因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變陳舊的觀念，以數(shù)學(xué)美為著手點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的直觀感覺(jué)，以形成良好的解題思維與創(chuàng)新意識(shí).

數(shù)學(xué)美與直覺(jué)思維的關(guān)系

法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊提出：“數(shù)學(xué)證明的工具是邏輯思維，而數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與發(fā)明往往源自美的直覺(jué).”由此可見(jiàn)，作為學(xué)生不僅要有良好的數(shù)學(xué)美的鑒賞力，還要能利用這種鑒賞力啟迪直覺(jué)思維，發(fā)現(xiàn)新的方法與領(lǐng)域，為創(chuàng)新意識(shí)的形成奠定基礎(chǔ). 因此，數(shù)學(xué)美對(duì)直覺(jué)思維的形成具有顯著的促進(jìn)作用，而直覺(jué)思維對(duì)解題能力的發(fā)展又具有導(dǎo)向作用.

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，首先對(duì)數(shù)與形產(chǎn)生直觀的認(rèn)識(shí)，在此認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上結(jié)合原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)喚起思維對(duì)美的品鑒，從而形成直覺(jué)思維. 因此，直覺(jué)思維的核心就是在產(chǎn)生美感的基礎(chǔ)上形成的一種感知. 學(xué)習(xí)中，學(xué)生時(shí)常會(huì)產(chǎn)生一些美感或數(shù)學(xué)直覺(jué)的靈感，這些美感或靈感對(duì)于學(xué)生解題與形成數(shù)學(xué)觀具有重要作用.

直覺(jué)思維的特點(diǎn)

1. 簡(jiǎn)單性、直接性

簡(jiǎn)單性、直接性是直覺(jué)思維的核心特征. 遇到問(wèn)題時(shí)，直覺(jué)思維與邏輯思維的表現(xiàn)完全不同. 在直覺(jué)思維的引導(dǎo)下，學(xué)生無(wú)須琢磨、推理或思考，可直接、迅速越級(jí)獲得明確的結(jié)論或判斷;而在邏輯推理的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維會(huì)經(jīng)歷由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，在思維拾級(jí)而上中，需經(jīng)過(guò)分析與研究才能獲得問(wèn)題的結(jié)論或判斷. 當(dāng)然，這種簡(jiǎn)單性、直接性的特征源自學(xué)生大腦中原有的信息，是經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn).

2. 跳躍性、整體性

直覺(jué)思維的跳躍性主要表現(xiàn)在學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)，直覺(jué)思維會(huì)將學(xué)生的思路直接導(dǎo)向結(jié)論，省略了中間的思維途徑;而整體性主要體現(xiàn)在將客體看成一個(gè)整體進(jìn)行直觀反映時(shí)，一般反映的是客體的核心矛盾，而一些非本質(zhì)性的矛盾則忽略不計(jì).

3. 或然性、創(chuàng)造性

直覺(jué)思維常常帶有一定的個(gè)人色彩，這與思維者的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平有著密切的聯(lián)系. 但每個(gè)人都是獨(dú)立的個(gè)體，受生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知的影響，對(duì)事物的直覺(jué)認(rèn)知也存在著差異性. 因此，直覺(jué)思維的結(jié)論不一定是準(zhǔn)確的，還需進(jìn)行實(shí)踐性的檢驗(yàn). 雖然直角思維具有或然性，但正是這種非邏輯性給思維者的認(rèn)知提供了更廣闊的空間，從而出現(xiàn)了反常規(guī)的創(chuàng)造力.

尹恩·斯圖認(rèn)為：“直覺(jué)是科學(xué)家賴(lài)以生存的東西.”可見(jiàn)，直覺(jué)思維與世間萬(wàn)物一樣具有兩面性：或然性的局限導(dǎo)致一些失敗的產(chǎn)生，而簡(jiǎn)單性、直接性等特性又為創(chuàng)造性的產(chǎn)生提供了基礎(chǔ). 因此，我們以直覺(jué)思維獲得結(jié)論時(shí)，可借助于邏輯思維加以驗(yàn)證，雙管齊下才能使數(shù)學(xué)思維更上一個(gè)臺(tái)階.

培養(yǎng)直覺(jué)思維的具體方法

1. 以整體之美激發(fā)直覺(jué)思維

我們都有這樣的體驗(yàn)：遇到解題障礙時(shí)，換一種思路去考慮問(wèn)題，譬如用整體代入法解題，會(huì)讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單. 從這點(diǎn)可以看出，解題要善于把握問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，遇到障礙時(shí)需換個(gè)角度進(jìn)行思考，把題設(shè)中的條件與結(jié)論視為一個(gè)整體，或探尋問(wèn)題的內(nèi)部聯(lián)系與本質(zhì). 如此，能有效地激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生良好的直覺(jué)思維.

例1：設(shè)雙曲線-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F與F，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且∠FPF=90°，那么△FPF的面積是多少？

分析：由題意可知，△FPF的面積為S=FP·FP，F(xiàn)P-FP=4①，PF+PF=20②.根據(jù)上式獲得FP與FP的值比較煩瑣. 其實(shí)，我們只需要求FP·FP這個(gè)整體的值，就能解決問(wèn)題. 因此，由上式求②-①2，可得FP·FP=2. 所以S=FP·FP=1.

本題若從常規(guī)路徑去解答——分別求FP與FP的值，則過(guò)程冗長(zhǎng)繁雜. 若從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，則會(huì)發(fā)現(xiàn)分別求FP與FP的值的目的在于獲得FP·FP這個(gè)整體的值. 因此，我們可轉(zhuǎn)變解題思路，以這個(gè)整體值作為思考的方向，解題過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明了. 因此，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的整體觀察，不僅能優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題效率，還能激發(fā)學(xué)生形成良好的直覺(jué)思維，為解題技巧的形成奠定基礎(chǔ).

2. 以模型之美誘導(dǎo)直覺(jué)思維

波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“模型具有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的魔力，具有震撼人心之美感.”[1]實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)建模不僅能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力，還能誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生直覺(jué)思維. 在模型的引領(lǐng)下，學(xué)生能從題設(shè)條件中快速找到問(wèn)題的本質(zhì)，使得解題化繁為簡(jiǎn)，提高正確率.

例2：點(diǎn)P為球O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作三棱錐P-ABC，使得AP，BP，CP之間呈兩兩垂直的關(guān)系，同時(shí)點(diǎn)A，B，C都在球面上，若設(shè)AP，BP，CP的長(zhǎng)度分別是a，b，c，求球O的表面積.

分析：看到本題，學(xué)生若將目光停留在三棱錐的幾何圖形上，并以此作為解題的切入點(diǎn)，解決此題的難度偏大. 倘若換一個(gè)角度，將目光轉(zhuǎn)移到球的對(duì)稱(chēng)性上，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了許多. 學(xué)生可將此三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，那么該長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球O的直徑R. 由此可知a2+b2+c2=R2，因此S=4π·2=π（a2+b2+c2）.

這種解題方法用輔助線將問(wèn)題中遇到的非特殊圖形或不規(guī)則圖形，變?yōu)樘厥鈭D形或規(guī)則圖形，以凸顯問(wèn)題的隱含條件，使得問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單. 在此過(guò)程中，體現(xiàn)出了模型之美對(duì)直覺(jué)思維的形成具有明顯的誘導(dǎo)作用. 學(xué)生在模型美與直覺(jué)思維的形成與發(fā)展中，能獲得良好的解題能力[2].

3. 以解題之美拓寬直覺(jué)思維

數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出，并不在于考查學(xué)生對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，而是考查學(xué)生對(duì)一類(lèi)知識(shí)與技能的掌握情況[3]. 為了考查學(xué)生的應(yīng)用能力，常常會(huì)出現(xiàn)“一題多解”或“一解多題”等問(wèn)題，以考查學(xué)生視野的開(kāi)闊程度與發(fā)散思維的發(fā)展情況. 如此靈活多變的解題之美，也為直覺(jué)思維的形成奠定了基礎(chǔ)，使得學(xué)生在靈活的思路中更具創(chuàng)造力.

例3：證明：點(diǎn)A（1，5），B（0，2），C（2，8）共線.

證法1：先求出過(guò)點(diǎn)A，B，C中任意兩點(diǎn)的直線方程，如果第三點(diǎn)也在這條直線上，就能證明A，B，C三點(diǎn)共線.

根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出它們所在的直線方程為3x-y+2=0，再將點(diǎn)C代入該直線方程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C（2，8）滿(mǎn)足A，B兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線方程，由此可確定點(diǎn)C在該直線上，所以A，B，C三點(diǎn)共線.

證法2：斜率相等的兩條直線過(guò)同一點(diǎn)，那么它們必定是重合的關(guān)系，由這個(gè)性質(zhì)也可證明A，B，C三點(diǎn)共線. （證明過(guò)程略）

證法3：A，B，C三點(diǎn)組成的線段有三條，假如其中有兩條線段的長(zhǎng)度加起來(lái)與第三條線段相等，那么就能確定這三條線段無(wú)法組成一個(gè)三角形，由此可證明這三點(diǎn)共線. （證明過(guò)程略）

證法4：利用向量，共線的方式，亦可證明A，B，C三點(diǎn)共線. （證明過(guò)程略）

從本題的4種證法來(lái)看，知識(shí)并不是獨(dú)立存在的. 各單元之間的知識(shí)不僅具有一定的內(nèi)在聯(lián)系，還具有明顯的系統(tǒng)性. 解決問(wèn)題時(shí)，能使學(xué)生從不同的角度尋找不同的解題方法，這需要教師在日常教學(xué)中，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生從不同視角看待與分析問(wèn)題，拓展直覺(jué)思維.

總之，直覺(jué)思維的形成與發(fā)展需經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程. 教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，鼓勵(lì)學(xué)生從不同視角、多層次去感知數(shù)學(xué)中存在的藝術(shù)美，以提高自身的品鑒能力，為直覺(jué)思維的形成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第一卷）[M]. 歐陽(yáng)絳譯. 北京：科學(xué)出版社，1985.

[2] ?曹建華. 數(shù)學(xué)模型之美[J]. 吉林教育，2012（11）.

[3] ?任旭，夏小剛. 問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)：基于思維發(fā)展的理解[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（04）.