關(guān)于幾何“新定義”問題的探究思考

韋建忠

[摘? 要] 幾何新定義問題的解析過程較為特殊，需要立足題干的“新定義”，結(jié)合教材的相關(guān)內(nèi)容來突破. 分析問題特點(diǎn)，總結(jié)破題方法是探究的重點(diǎn). 文章將結(jié)合問題深入探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 新定義;幾何;特性;模型;思想方法

問題概述

中考幾何新定義問題十分常見，“新定義”問題主要指定義了教材中沒有的概念，不具有普遍適用性，是基于特定情形下的設(shè)定. 問題往往要求學(xué)生臨場理解新定義的含義，并結(jié)合知識解決問題. 幾何新定義問題的題型大體可分三類：定義新圖形、定義新關(guān)系、定義新方法. 幾何新定義問題主要考查學(xué)生的閱讀理解、聯(lián)系建立、分析解決的能力，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新探究能力有一定的幫助.

幾何新定義問題往往會設(shè)置多問，給出新定義后，會引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，逐步探究，問題各自獨(dú)立，又環(huán)環(huán)相扣. 通常前一問是后一問的鋪墊，而后一問是在前一問基礎(chǔ)上的深入，故問題探究建議采用類比關(guān)聯(lián)的方法，結(jié)合總結(jié)的方法、思路來不斷探究，同時立足問題不斷反思，形成系統(tǒng)的解題策略.

問題探究

下面以一道新圖形定義問題為例，開展解題探究，構(gòu)建解題思路.

操作1：將正方形ABEF沿著過點(diǎn)A的直線進(jìn)行折疊，使得折疊后的點(diǎn)B落在對角線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AH;

解后思考

上述對一道幾何圖形新定義問題進(jìn)行了探究，從定義內(nèi)容可知，其實(shí)質(zhì)是對矩形長寬比進(jìn)行定義，后續(xù)再以該定義為背景進(jìn)行命題構(gòu)建. 所涉兩問是基于定義進(jìn)行的深入探究，但側(cè)重點(diǎn)有所不同，第（1）問綜合了圖形折疊，從操作視角來考查學(xué)生的探究能力;第（2）問則是以新定義的矩形為背景進(jìn)行的綜合探究. 問題設(shè)計(jì)很好地將新定義與幾何探究相融合，可有效提升學(xué)生的探究能力，下面結(jié)合問題進(jìn)一步反思.

1. 操作中的幾何探究

2. 新定義下的模型構(gòu)建

第（2）問則是以新定義矩形為背景開展的綜合探究，所涉三問可歸為三角函數(shù)構(gòu)建和幾何最值構(gòu)建. 從幾何探究視角來看，化“動”為“靜”、幾何轉(zhuǎn)化是常用策略，綜合上述解題過程，可將解題思路分為模型構(gòu)建、特性轉(zhuǎn)化兩部分，新定義矩形的特性是模型構(gòu)建的基礎(chǔ). 上述的“A字型”和“8字型”相似模型是等角轉(zhuǎn)化、線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化的常用模型，另外“手拉手”模型、“一線三等角”也是常用的相似模型. 而幾何最值問題的核心原理是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，以其為基礎(chǔ)生成的“共線原理”是確定最值情形的知識基礎(chǔ).

3. 新定義問題的破題思路

上述對一道關(guān)于矩形邊長比例的新定義問題進(jìn)行了探究，矩形的新定義在幾何探究中起到了“穿針引線”的作用，構(gòu)建起幾何特性與模型之間的關(guān)聯(lián). 理解新定義，根據(jù)定義內(nèi)容進(jìn)行探究分析是突破該類問題的核心思路，而在實(shí)際解題時建議采用如下分步策略.

第一步，結(jié)合圖形理解定義，重點(diǎn)關(guān)注定義中的特性;

第二步，立足特殊情形深刻把握定義，探索定義的應(yīng)用思路;

第三步，構(gòu)建新定義與教材內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，從綜合視角探索問題，構(gòu)建思路，必要時可將定義與幾何模型相融合.

教學(xué)建議

幾何新定義探究題的特點(diǎn)是“新定義”，但從本質(zhì)上來講是對幾何方法、原理的探究，理解定義，促進(jìn)知識融合，構(gòu)建幾何模型是問題突破的關(guān)鍵點(diǎn)，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 結(jié)合圖形研究定義

幾何新定義問題的探究要從圖形出發(fā)，即結(jié)合圖形來理解定義，把握定義中的特性. 如上述與矩形相關(guān)的新定義涉及了矩形特性和長寬比例，常見的還包括與角度、邊長、性質(zhì)相關(guān)的幾何新定義. 對于較為抽象的幾何新定義，更應(yīng)立足幾何圖形，利用直觀圖形來解讀定義內(nèi)容. 必要時可引導(dǎo)學(xué)生對特殊情形進(jìn)行舉例，加深對定義的理解.

2. 參考教材促進(jìn)融合

知識相融、綜合探究是新定義問題考查的重點(diǎn)，也是突破的關(guān)鍵. 解析時要將新定義與教材的方法原理、概念公式相融合，綜合構(gòu)建思路，而不是孤立地、簡單地依靠新定義來分析求解. 幾何新定義往往是基于教材概念生成的特殊定義，如上述矩形僅是對矩形的長寬比例進(jìn)行了定義，其基本性質(zhì)不變，故問題解析時要把握定義核心，從教材知識出發(fā)來探究. 教學(xué)中建議指導(dǎo)學(xué)生理解“新定義”的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)思考，探索與教材相關(guān)的知識點(diǎn);也可引導(dǎo)學(xué)生拆解“新定義”，從定義中提取知識要點(diǎn).

3. 滲透思想提升素養(yǎng)

“新定義”問題中往往融合了數(shù)學(xué)思想，以幾何定義為例，其涉及了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、模型思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等. 解題時要基于數(shù)學(xué)思想開展思路探究，如求解上述問題時基于數(shù)形結(jié)合思想理解定義，利用模型思想構(gòu)建幾何模型，結(jié)合化歸思想轉(zhuǎn)化條件，因此在探究過程中滲透數(shù)學(xué)思想是精髓，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方式. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生立足數(shù)學(xué)思想開展幾何探究，深入分析每一步構(gòu)建所依托的數(shù)學(xué)思想，關(guān)注學(xué)生的知識與素養(yǎng)的雙重提升.

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