關(guān)于勾股定理與網(wǎng)格圖形的問題探究

朱繼娜

[摘? 要] 勾股定理在網(wǎng)格問題中有著廣泛的應(yīng)用，可用于線段及距離的推導(dǎo)，也可用于圖形設(shè)計及點的位置確定. 網(wǎng)格與勾股定理問題的形式較為多樣，問題突破要充分利用勾股定理的特征，建立起格點、距離或線段、圖形形狀三者之間的關(guān)聯(lián).

[關(guān)鍵詞] 勾股定理;網(wǎng)格;三角函數(shù);形狀判斷;作圖設(shè)計

網(wǎng)格問題因其獨特的形式一直都是中考的?？碱}型，網(wǎng)格所具有的幾何特性及長度信息是問題突破的關(guān)鍵. 勾股定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)極為重要的定理，可與網(wǎng)格完美融合. 網(wǎng)格與勾股定理問題不僅有著新穎的外表，而且其隱含的建模方法和轉(zhuǎn)化策略還具有極高的研究價值.

問題導(dǎo)入

問題：如圖1所示，已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點位于格點處，且CD⊥AB，垂足為點D，則CD=__________.

總結(jié)拓展

上述以網(wǎng)格為背景求線段長，其中勾股定理是求線段長的核心定理，故可將其歸為網(wǎng)格圖形與勾股定理問題. 網(wǎng)格特性是突破的關(guān)鍵，下面總結(jié)方法，探索問題的拓展方向.

方法點睛：對于其中的線段或距離問題，需要充分結(jié)合網(wǎng)格性質(zhì)與長度關(guān)系，參考上述問題的構(gòu)建思路，總結(jié)如下轉(zhuǎn)化策略.

策略1：求網(wǎng)格圖中的斜線段，若線段端點均在格點上，則可視為是某直角三角形的斜邊，可通過勾股定理求斜線段的長. 如圖3中的斜線段AB，可直接構(gòu)造Rt△ABC.

問題拓展：網(wǎng)格與勾股定理是中考的重點考查內(nèi)容，問題的構(gòu)建形式極為多樣，常見形式有如下幾種：①把握三角函數(shù)與直角三角形的關(guān)系，求網(wǎng)格中的三角函數(shù)值;②基于勾股定理與作圖方法，開展構(gòu)圖設(shè)計;③基于勾股定理的逆定理，進(jìn)行三角形形狀判斷或角度推導(dǎo).

拓展探究

網(wǎng)格與勾股定理具有良好的契合性，問題形式雖變化繁多，但其核心知識、破題方法是一致的，實際解題時可把握網(wǎng)格特性，從勾股定理出發(fā)來逐步推導(dǎo)，下面舉例探究.

1. 網(wǎng)格中求三角函數(shù)值

初中階段常將三角函數(shù)放置于直角三角形中，利用三角形的邊長比例來求三角函數(shù)值. 對于網(wǎng)格中的線段長，則可利用勾股定理來求解.

例1 如圖4所示，已知網(wǎng)格中所有小正方形的邊長均為1，點A，B，C均位于網(wǎng)格的格點處，則∠ABC的余弦值為____.

評析 本題以網(wǎng)格為背景求角的余弦值，顯然構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，而利用勾股定理求線段長是重要的方法. 題目中角的頂點在格點處，故可直接構(gòu)造直角三角形求解. 對于不處于格點處的角，則可以采用等角轉(zhuǎn)化的方式求解. 同時等面積法也是求線段長的重要方法，需重點掌握.

2. 網(wǎng)格中的作圖設(shè)計

在網(wǎng)格中作圖設(shè)計是初中幾何常見的考查方式，也是量化圖形的重要手段，有利于幫助學(xué)生建立幾何與代數(shù)之間的關(guān)聯(lián). 作圖設(shè)計中同樣可充分利用勾股定理來計算線段長，建立線段之間的平行、垂直關(guān)系.

例2 ？搖如圖5所示，正方形網(wǎng)格的每個小正方形的邊長均為1，且每個小正方形的頂點均為“格點”，下面以格點為頂點分別按要求作圖.

（1）作出鈍角三角形，且使其面積為4，并計算作出的三角形的三邊長;

（2）作出面積為10的正方形;

評析 上述為網(wǎng)格作圖題，其中第（1）問和第（2）問為限定面積條件下的繪制圖形. 由于圖形的頂點需位于格點處，故由面積公式將幾何面積條件轉(zhuǎn)化為格點間距是突破的關(guān)鍵，而勾股定理有助于格點間斜直線的長度推導(dǎo).

3. 網(wǎng)格中圖形特征判斷

網(wǎng)格三角形的特征判斷是常見的問題類型，利用勾股定理的逆定理可以推斷三角形是否為直角三角形. 基本策略是依次計算邊長的平方，分析是否滿足勾股定理即可，同時利用該判定思路可確定三角形是否為銳角或鈍角三角形.

例3 如圖9所示，在8×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長均為1，且△ABC的頂點均位于網(wǎng)格的格點上，回答下列問題.

評析 上述第（1）問為三角形形狀判斷題，其考查的核心是勾股定理的逆定理，滿足該定理的三角形就為直角三角形. 實際上對于其他情形的判斷，可參考如下思路：第一步，確定最長邊;第二步，關(guān)系比較. 假設(shè)BC為最長邊，若AB2+AC2<BC2，則△ABC為鈍角三角形;若AB2+AC2>BC2，則△ABC為銳角三角形.

總結(jié)思考

勾股定理與網(wǎng)格在幾何中可充分融合，這點在正方形網(wǎng)格中體現(xiàn)得尤為突出，利用勾股定理可求線段長、確定圖形格點位置、判斷三角形的形狀等. 在解題探究時，我們需要關(guān)注以下兩點.

1. 關(guān)注轉(zhuǎn)化策略，總結(jié)轉(zhuǎn)化思路

網(wǎng)格與勾股定理問題的命題形式較為多樣，但最終均要歸結(jié)為求線段長與距離，故解析探究時需要關(guān)注其轉(zhuǎn)化策略，總結(jié)轉(zhuǎn)化思路. 如利用勾股定理求斜格點之間的距離，通過計算三邊長是否滿足勾股定理來判斷三角形的形狀;同時利用勾股定理可實現(xiàn)線段的等量轉(zhuǎn)化，判斷線段之間的長度關(guān)系. 而在實際教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從幾何視角來看待網(wǎng)格，提取網(wǎng)格中的特殊圖形，建立圖形特性與幾何定理之間的關(guān)聯(lián).

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

網(wǎng)格與勾股定理問題中涉及眾多的思想方法，掌握思想方法，提升作圖能力對于解題十分關(guān)鍵. 如利用割補(bǔ)思想來求面積最值，利用轉(zhuǎn)化思想來求線段長，利用建模技巧來繪制圖形等，其中的建模思想、轉(zhuǎn)化思想可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 教學(xué)中，教師要從思想上引導(dǎo)學(xué)生探索問題，思考構(gòu)建策略，尤其是作圖問題中，可基于面積公式將面積轉(zhuǎn)化為線段長，利用勾股定理將邊長轉(zhuǎn)化為格點位置的判斷. 必要時，教師可開展多解研究或變式探究，充分拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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