向量加法法則體系建構(gòu)的問題情境和邏輯關(guān)系

徐道奎

摘? 要：向量加法是向量運(yùn)算的基礎(chǔ). 向量加法教學(xué)中，要把握法則建構(gòu)的基本問題，設(shè)置有利于概念生成和法則建立的問題情境，依據(jù)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系組織教學(xué). 通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生理解向量加法的意義，領(lǐng)悟向量加法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，要按照學(xué)生易于理解的方式建構(gòu)法則，使學(xué)生在情境中分析歸納、抽象概括，要通過知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系發(fā)展規(guī)則體系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：向量加法;法則體系;問題情境;邏輯關(guān)系

在平面向量運(yùn)算體系中，加法運(yùn)算法則是一個(gè)核心內(nèi)容. 這是由于加法運(yùn)算法則不僅是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)，是平面向量基本定理、向量數(shù)量積運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是今后進(jìn)行向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)，其地位舉足輕重.

向量是一個(gè)既具有大小又具有方向的量，是數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中產(chǎn)生的一個(gè)“新”的量，其運(yùn)算意義、運(yùn)算方法及運(yùn)算規(guī)律不能完全類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，需要重新建立，依據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律和邏輯關(guān)系，全面構(gòu)建規(guī)則體系. 教學(xué)中，如何以問題導(dǎo)向設(shè)計(jì)情境，如何依據(jù)邏輯關(guān)系抽象概括建構(gòu)法則至關(guān)重要.

一、向量加法法則建立的基本問題

向量加法法則的教學(xué)必須面對(duì)以下問題.

（1）向量加法的意義是什么？對(duì)于這個(gè)新引入的量，其“加”的含義是什么？我們?yōu)槭裁匆芯俊凹印?？研究“加”是基于什么考慮？這個(gè)問題回答不了，解決不好，就會(huì)動(dòng)搖向量運(yùn)算的根基.

（2）為什么我們研究的是“自由”的向量？向量的特征是數(shù)量和方向兼?zhèn)?，即考慮向量問題必須兼顧大小（數(shù)量特征）和方向（位置特征）. 數(shù)量相同、方向一致的向量是相等向量，能否在相加時(shí)用相等向量相互替代？也就是說，向量加法需要不需要考慮向量具體在什么位置？能否平移？亦即為什么我們研究的是“自由”的向量.

（3）向量相加情境引入的是依據(jù)實(shí)際的意義還是基于學(xué)術(shù)的考慮？如何設(shè)置情境才能凸顯“加”的意義和“加”的結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象得出加法法則？

（4）兩個(gè)基本法則（平行四邊形法則和三角形法則，下同），以及共線向量、多個(gè)向量的加法運(yùn)算及加法運(yùn)算律之間的邏輯關(guān)系通過什么路徑顯現(xiàn)？具體地，應(yīng)按照怎樣的邏輯順序教學(xué)？怎樣由“基本法則”推出其他法則？

（5）怎樣通過加法運(yùn)算理解零向量？

（6）怎樣構(gòu)造“向量回路”？怎樣在向量回路中運(yùn)用加法法則？

（7）向量加法法則是以“形”的形式呈現(xiàn)的，是“幾何的”法則，這個(gè)幾何法則有沒有具體的數(shù)量關(guān)系（長度與角度），怎樣求出？

二、向量加法法則建構(gòu)的情境設(shè)置

向量加法是結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)則體系，也是一個(gè)概念體系（廣義的），解決上述問題的關(guān)鍵是設(shè)置好法則形成的問題情境，情境設(shè)置既要保證法則形成自然而然、恰時(shí)恰點(diǎn)，又要考慮有利于概念體系的豐富和完善，使得法則的建立有一定的邏輯基礎(chǔ)，順應(yīng)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯路徑，能夠體現(xiàn)知識(shí)的相互關(guān)聯(lián). 正因如此，最原始的概念生成和法則建立非常重要.

向量概念源自物理學(xué)，所以向量運(yùn)算也有相應(yīng)的物理背景. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）正是基于向量實(shí)際背景的考量，通過物理學(xué)上的兩個(gè)矢量運(yùn)算模型設(shè)置情境. 一是由位移模型抽象出向量加法的三角形法則;二是由力的合成模型得出平行四邊形法則，再通過求向量和的作圖例題的兩種解法，比較、分析、觀察其結(jié)果，強(qiáng)化兩種法則的等價(jià)性.

1. 以情境闡釋“加”的含義和“加”的結(jié)果

向量是一個(gè)“新”的量，我們要研究“新”量之間的關(guān)系，首先是研究它們共同作用的效果，合成的結(jié)果，我們稱之為“加”，這里的“加”是向量的“共同作用”，抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)“+”. 為什么要研究其共同作用的效果、合成的結(jié)果？也就是為什么要研究“加”？情境本身說明了是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，當(dāng)然也是數(shù)學(xué)研究的需要. 對(duì)初學(xué)向量的學(xué)生而言，這是一個(gè)難點(diǎn). 在情境中解釋說明，是最好的辦法. 情境至少有兩個(gè)作用：一是能夠解釋我們研究向量“加”是什么含義，是基于什么考慮;二是情境能夠使我們知道“加”得到的是怎樣的結(jié)果. 情境中的問題弄懂了，再進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，問題就解決了.

概念產(chǎn)生、規(guī)則形成的歷史背景和引入概念、建立規(guī)則的必要性是知識(shí)產(chǎn)生的基礎(chǔ)和前提，設(shè)置概念、規(guī)則的教學(xué)情境要尊重這一客觀現(xiàn)實(shí).

2. 為什么三角形法則在前，平行四邊形法則在后？

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)全新的概念時(shí)，認(rèn)知是模糊的，反應(yīng)是遲鈍的，不能過于追求學(xué)術(shù)上的縝密和嚴(yán)謹(jǐn). 向量“加”的意義和“加”的結(jié)果要以學(xué)生能夠理解的方式構(gòu)建，位移的三角形法則有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).

（1）更具直觀性. 用同一質(zhì)點(diǎn)的兩次位移最終效果等價(jià)于一次位移的結(jié)果，抽象出兩個(gè)向量[AB]，[BC]，合成結(jié)果是[AC]，[AB][+BC=AC]，以此為“最原始”的結(jié)論，得出向量“加”的意義，學(xué)生易于理解. 同時(shí)，三角形法則相比其他法則更能夠直觀地解釋[AB]，[BC]相加不是數(shù)量的相加，不是單純大小計(jì)算，也不是單純方向的改變，而是數(shù)量與方向按照一定規(guī)則的演變，這樣的“加”是向量的一種合成，這個(gè)合成的規(guī)律就是三角形法則.

（2）契合學(xué)生的認(rèn)知. 高一物理學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了位移的概念，對(duì)兩次位移的合成結(jié)果或最終效果能夠理解，即使沒有學(xué)習(xí)，也可以“感知”和“想象”.

（3）易于延伸. 三角形法則簡潔明了，其作為原始法則，除了更容易抽象出向量加法的形式化法則[AB+][BC=AC]外，由三角形法則得到多邊形法則，構(gòu)造“向量回路”等更直接.

（4）如果把平行四邊形法則作為“起始”法則，也可以得到加法法則并以此推出其他法則，但顯然沒有三角形法則容易理解，物理學(xué)中矢量合成的平行四邊形法則建立在“實(shí)驗(yàn)操作”之上，是基于實(shí)驗(yàn)規(guī)律總結(jié)，完成這個(gè)實(shí)驗(yàn)必須借助于一定的實(shí)驗(yàn)器材. 因?yàn)?，若平行四邊形法則在前，從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際考慮，只有直接用物理學(xué)力的合成結(jié)論，這與直接告訴學(xué)生結(jié)論沒有區(qū)別.

當(dāng)然，三角形法則和平行四邊形法則各有特點(diǎn)，孰先孰后可以結(jié)合學(xué)生情況決定.

3. 為什么要選擇兩個(gè)模型？而且是通過物理學(xué)的模型得出？

（1）因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)在力學(xué)中學(xué)習(xí)了力的合成與分解，尤其是“共點(diǎn)力”的合成，是學(xué)生熟悉的結(jié)論，屬于學(xué)生已經(jīng)認(rèn)知的范疇.

（2）三角形法則經(jīng)過“演變”也可以得出平行四邊形法則，但會(huì)涉及相等向量在加法法則中的替代，需要討論加法中向量的“自由性”問題，在沒有形成較為完整的規(guī)則之前，兩種法則的互相轉(zhuǎn)化，顯然沒有通過模型得出兩個(gè)法則，再說明兩者等價(jià)更好. 因此，教材進(jìn)一步挖掘?qū)W生已有的認(rèn)知，用物理學(xué)中力的合成模型，亦即通過實(shí)際情境得出平行四邊形法則.

（3）實(shí)際情境（力的合成）中得出的平行四邊形法則能夠幫助學(xué)生很好地理解向量“加”的意義. 從物理意義的角度分析，“力的合成”比“位移合成”更具“加”的意義說服力，更容易抽象出“加”是向量共同作用的效果和向量合成的結(jié)果.

三、基于情境的邏輯建構(gòu)和問題引導(dǎo)

如上分析，向量加法規(guī)則體系建構(gòu)意義、作用不可小視，應(yīng)該如何利用情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯建構(gòu)、讓學(xué)生自主體驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？

1. 基于情境的向量加法法則體系形成的邏輯順序

向量加法法則體系建構(gòu)的邏輯順序?yàn)椋呵榫?（位移情境）—向量“加”的含義—向量“加”的結(jié)果—向量加法法則—情境2（共點(diǎn)力合成情境）—向量“加”的含義—向量“加”的結(jié)果—向量加法法則—兩種法則的等價(jià)性—向量“加”的運(yùn)算律—多個(gè)向量相“加”（如向量回路中的加法運(yùn)算）.

構(gòu)建加法法則時(shí)，以情境為基礎(chǔ)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解“加”的意義和結(jié)果，將運(yùn)算對(duì)象抽象，建立起“加”的法則，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行抽象概括的能力;建立向量加法法則體系時(shí)，以情境為契機(jī)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)法則的等價(jià)性，“加”的運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律），向量回路中的加法運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的遷移運(yùn)用能力和邏輯思維.

2. 基于情境的以問題為導(dǎo)向的知識(shí)建構(gòu)

在情境中解決問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律，要充分發(fā)揮情境的作用，以問題為導(dǎo)向. 向量加法法則、運(yùn)算性質(zhì)（運(yùn)算律）的獲得都不能“想當(dāng)然”，都需要依賴情境在問題解決中完成.

在設(shè)置位移情境后，提出如下問題.

（1）兩次位移的合成效果、累積結(jié)果相當(dāng)于一次怎樣的位移？把這個(gè)“一次位移”作為兩次位移的合成、累積結(jié)果，并定義為位移的“加”，兩次位移相“加”的結(jié)果是什么？

（2）如果把上述“位移向量”抽象為一般向量，你怎么理解向量相加中“加”的含義和“加”的結(jié)果？

（3）上述相加的法則中，兩個(gè)向量之間具有怎樣的位置關(guān)系？

（4）把上述模型中的向量用有向線段表示，你可以得出形式上的什么結(jié)論？怎樣把這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推廣（語言描述）？

（5）用三角形法則把三個(gè)及三個(gè)以上向量相加，結(jié)果是什么？又有什么結(jié)論？

在設(shè)置平行四邊形法則情境后，提出以下問題.

（1）平行四邊形法則中相加的兩個(gè)向量有何位置關(guān)系？

（2）用平行四邊形法則與三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果一樣嗎？

（3）試用兩個(gè)法則解釋，[a+b]與[b+a]相等嗎？由此你可以得出什么結(jié)論？

（4）作圖比較[a+b+c]與[a+b+c]的結(jié)果，由此你可以得到什么結(jié)論？

上述問題解決始終圍繞著情境展開，是建立在情境基礎(chǔ)之上的抽象概括和邏輯推理.

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過抽象得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，通過抽象把研究對(duì)象及其結(jié)構(gòu)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理，從而理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 因此，抽象是數(shù)學(xué)產(chǎn)生及發(fā)展的前提，而情境是抽象的基礎(chǔ)，也是思維的基礎(chǔ).

四、向量加法法則深化的邏輯引領(lǐng)

數(shù)學(xué)概念體系、規(guī)則體系的確立最終要依靠數(shù)學(xué)思維，要依賴邏輯推理，沒有對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解，就難以有真正的思維活動(dòng). 向量加法規(guī)則體系的內(nèi)涵非常豐富，其包含的基本要素多，遠(yuǎn)不是構(gòu)建出三角形法則和平行四邊形法則就能夠講清楚的，還會(huì)涉及許多問題.

1. 加法法則中向量的“自由性”

在位移合成和共點(diǎn)力合成的問題情境中，都巧妙規(guī)避了向量的平移問題，向量加法的三角形法則中的兩個(gè)向量是一個(gè)向量的起點(diǎn)接著另一個(gè)向量的終點(diǎn)，與位移情境正好吻合，平行四邊形法則中要求兩個(gè)向量同起點(diǎn)，而共點(diǎn)力合成正好滿足. 兩個(gè)法則中，都要求兩個(gè)向量的位置關(guān)系特殊. 那么，不具備這樣特殊位置關(guān)系的向量如何相加？實(shí)際上涉及向量的位置移動(dòng)（平移），亦即我們研究的向量是“自由”的. 顯然，自由的向量才有力量. 如何讓學(xué)生理解這個(gè)問題？如果不講清楚其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，學(xué)生對(duì)向量加法包括例1中的兩種方法作出兩個(gè)向量的和難以真正領(lǐng)悟.

從向量的本質(zhì)特征分析. 大小、方向是向量最基本的本質(zhì)屬性，滿足大小相等、方向相同的兩個(gè)向量應(yīng)該是完全相同的. 這是向量相加可以通過平移轉(zhuǎn)化的邏輯基礎(chǔ).

從三角形法則、平行四邊形法則的等價(jià)性分析，兩個(gè)法則等價(jià)自然說明在加法運(yùn)算中，相加的兩個(gè)向量是可以任意平移的. 因此，教學(xué)兩個(gè)法則之后，可以結(jié)合圖形分析其結(jié)果的等價(jià)性，再通過例1的兩種解法得出相同的結(jié)論的事實(shí)予以強(qiáng)化.

2. 加法法則與零向量存在的合理性

引入零向量不僅是為了使向量知識(shí)結(jié)構(gòu)完整，也是向量相加的實(shí)際需要. 大小相等、方向相反的兩個(gè)向量相加時(shí)，向量的大小是0，既可以從“廣義”的三角形法則理解，也可以按照情境（共線向量相“加”）說明. 亦即，必須引入大小為0的向量，但大小為0的向量方向如何呢？是否需要規(guī)定？我們知道，數(shù)學(xué)原理中，“特殊”不能失去一般性，零向量也應(yīng)該有方向. 向量“加”的結(jié)果仍然是向量，共線向量相加，如果大小不是0，其方向應(yīng)該與共線的兩個(gè)向量之一方向相同，而不同“走向”的相反向量相加的結(jié)果都是大小為0的向量，如何區(qū)分這些大小為0的向量呢？只有規(guī)定零向量方向任意（不確定）才具有合理性. 但規(guī)定“零向量方向任意”對(duì)于學(xué)生而言很難理解，并且實(shí)踐中涉及零向量時(shí)，多數(shù)只要考慮大小為0即可，而之后的零向量與任意一個(gè)向量平行或垂直，可以根據(jù)需要規(guī)定. 因此，教材沒有明確指出和刻意規(guī)定零向量的方向任意，但實(shí)際上，零向量的方向是任意的.

3. 加法法則的學(xué)術(shù)情境與教學(xué)情境

向量加法是向量運(yùn)算的起始課，學(xué)習(xí)的內(nèi)容相比之前是具有開創(chuàng)性的，教學(xué)的著力點(diǎn)應(yīng)放在如何切入上，關(guān)注更多的是怎樣才能讓學(xué)生領(lǐng)悟，學(xué)生初學(xué)向量這一時(shí)段，感性多于理性，從教學(xué)的角度上看，過于追究學(xué)術(shù)嚴(yán)謹(jǐn)沒有必要.

文[1]和文[2]從學(xué)術(shù)層面解釋了為什么向量合成遵循三角形法則，文[3]直接給出向量加法的平行四邊形法則的定義，而教材給出的向量加法法則是基于物理學(xué)應(yīng)用模型基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)抽象，顯然更符合學(xué)生的認(rèn)知和知識(shí)形成的規(guī)律. 教材中向量加法的案例引入不是空穴來風(fēng)，物理學(xué)尤其是工程力學(xué)的實(shí)踐及實(shí)驗(yàn)早已總結(jié)出矢量合成的規(guī)則，數(shù)學(xué)家則從理論上加以系統(tǒng)和完善. 因此，從數(shù)學(xué)教育這個(gè)角度來看，向量加法應(yīng)該以一定的實(shí)際背景為基礎(chǔ)，與教材配套的教學(xué)用書在“教科書的編寫意圖及教學(xué)建議”中也進(jìn)行了明確說明.

通過情境，讓學(xué)生有更多的體驗(yàn)與感悟，并親歷抽象概括的過程，使感性上升為理性，就能不斷地將知識(shí)內(nèi)化為素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中始終如一的追求.

4. 加法法則的數(shù)形融合

當(dāng)我們把數(shù)形統(tǒng)一起來考慮時(shí)，對(duì)這兩者的認(rèn)識(shí)都會(huì)變得更深刻. 向量加法的幾何法則[AB+BC=][AC]經(jīng)過演變可以得出[AB]，[BC]及[AC]的數(shù)量關(guān)系和方向關(guān)系（如數(shù)量積或在數(shù)量積基礎(chǔ)上推出的正弦定理和余弦定理），反之，通過它們的關(guān)系（正弦定理和余弦定理），又可以求出向量[AB]，[BC]相加而得到的向量[AC]具體的大小和方向（夾角）. 學(xué)生初學(xué)向量時(shí)，對(duì)向量運(yùn)算的幾何法則不習(xí)慣，教師可以告訴學(xué)生，這個(gè)幾何法則中，形的法則里有數(shù)的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系在本章學(xué)習(xí)之后即能解決，向量的運(yùn)算法則是以平面幾何的相關(guān)定理作為邏輯基礎(chǔ)的. 因此，從這個(gè)意義上講，向量加法法則是數(shù)與形的完美結(jié)合，[AB+BC=AC]既是形的法則，也是數(shù)的關(guān)系，數(shù)與形是統(tǒng)一的. 概念、規(guī)則教學(xué)中，要著力深化學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與知識(shí)意義的認(rèn)知，依據(jù)推理思維構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系，概念、規(guī)則的教學(xué)既要瞻前，又要顧后;既要橫向，又要縱向. 要通過挖掘、引申找到邏輯關(guān)系：法則間的邏輯關(guān)系，規(guī)則體系內(nèi)的邏輯關(guān)系，形與數(shù)的邏輯關(guān)系. 形成概念網(wǎng)絡(luò)，建立概念聯(lián)系體系.

五、結(jié)束語

向量的內(nèi)涵深刻、背景豐富，因此向量教學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的良好契機(jī). 運(yùn)用數(shù)學(xué)思維構(gòu)建運(yùn)算體系，要吃透教材、研究教材、挖掘教材，精心設(shè)計(jì)情境、利用情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括、分析推理，從知識(shí)的直觀性和邏輯性出發(fā)，讓學(xué)生領(lǐng)悟向量相加的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方式. 要重視向量運(yùn)算起始課的教學(xué)，上好向量加法這個(gè)核心內(nèi)容，為整個(gè)章節(jié)乃至學(xué)科的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

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