基于小波基函數(shù)的奇異積分求積算法*

楊煥楓,隆廣慶

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530100)

1 引言

工程和科學(xué)中的許多問題中都存在奇異積分,特別是在初值和邊值問題中.例如在電磁波和聲波散射問題中經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)數(shù)奇異核([1,2]);另一個(gè)著名的例子是二維亥姆霍茲方程,它可以通過格林公式直接轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有對(duì)數(shù)奇異核的積分方程([3]).奇異積分還出現(xiàn)在弱奇異積分算子的特征值問題中,比如文獻(xiàn)[4]提出了一種基于矩陣壓縮策略的弱奇異積分算子特征值問題的快速多尺度小波配置方法,最終得到了一個(gè)含奇異項(xiàng)的廣義矩陣特征值問題;文獻(xiàn)[5,6]則應(yīng)用邊界元的方法將微分方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程,得到了一個(gè)帶有特殊結(jié)構(gòu)的奇異核.因此,對(duì)此類積分的研究對(duì)工程和科學(xué)有著重要的意義.

在本文中,我們對(duì)多尺度逼近的背景下一類具有特殊結(jié)構(gòu)的奇異核函數(shù)進(jìn)行分析,建立適合使用多尺度小波基函數(shù)的快速求積方法.該方法能在一定程度上減少奇異積分的計(jì)算成本.我們定義這一類二重對(duì)數(shù)奇異積分為

其中[a,b]×[c,d]?[0,1]×[0,1],并且wij是小波基函數(shù).

眾所周知,在很多情況下奇異積分是無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算的,因此產(chǎn)生了很多特殊方法用于處理奇異積分問題.例如,文獻(xiàn)[7]提出了弱奇異積分的高斯型求積法則,并將該求積方法應(yīng)用到第二類弱奇異Fredholm積分方程中,得到離散的乘積積分方法.文獻(xiàn)[8]則主要是建立了一類在積分區(qū)域內(nèi)或附近具有奇點(diǎn)的函數(shù)的數(shù)值積分的變階復(fù)合求積公式,該數(shù)值方法具有指數(shù)收斂性.在文獻(xiàn)[7,8]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[9]分別給出了具有多項(xiàng)式階和指數(shù)階的數(shù)值積分方法,并提出了誤差控制策略,最后證明所給方法保證了收斂階，減小了計(jì)算復(fù)雜度.之后,為了讓求積法則適用于一般的奇異核類,文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]的研究基礎(chǔ)上,提出適用于具有兩個(gè)奇異點(diǎn)0和1的奇異函數(shù)的剖分方案的求積法則.對(duì)于弱奇異二重積分的計(jì)算,文獻(xiàn)[11]給出了一個(gè)簡(jiǎn)單但有效的求積法則,文獻(xiàn)[12,13]也對(duì)該方法進(jìn)行了研究.此外,文獻(xiàn)[14]還提出了一種計(jì)算具有奇異點(diǎn){s-t=0}的二重奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法.由于該方法具有快速求解的優(yōu)越性,在本文我們?cè)谠摲椒ǖ幕A(chǔ)上,給出一種求解具有奇異點(diǎn){s-t=0,±1}的二重奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法.

近年來(lái),乘積積分方法已廣泛應(yīng)用于計(jì)算奇異積分.例如,在文獻(xiàn)[15,16]中用于離散奇異積分算子.而文獻(xiàn)[5,6]為奇異核開發(fā)了一種特殊的乘積積分方法,利用其核函數(shù)的特殊結(jié)構(gòu)能夠開發(fā)一種比文獻(xiàn)[10]中使用的高斯求積法則更有效的方法.為此,他們首先采用了一種技術(shù),該技術(shù)在文獻(xiàn)[17,18]中用于建立求解具有非線性邊界條件的拉普拉斯方程和用于建立求解修正的亥姆霍茲方程的Fourier-Galerkin方法,對(duì)于矩陣中涉及的弱奇異積分的計(jì)算,他們利用乘積積分方法,即將弱奇異核分解為兩個(gè)核的和,其中一個(gè)是攜帶主奇點(diǎn),具有簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)特征的弱奇異核,另一個(gè)是光滑核.簡(jiǎn)單奇異項(xiàng)能夠在多尺度基下通過顯式公式準(zhǔn)確計(jì)算,而光滑項(xiàng)通過高精度求積方法計(jì)算,例如復(fù)合高斯勒讓德求積法則.

在本文的第二節(jié)中,我們主要介紹以往計(jì)算奇異積分的數(shù)值積分方法.在第三節(jié),我們重點(diǎn)對(duì)小波基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值處理,并給出線性小波基函數(shù)的構(gòu)造方法.在第四節(jié),針對(duì)一類對(duì)數(shù)奇異核,我們首先給出一種自適應(yīng)數(shù)值積分方法來(lái)計(jì)算對(duì)數(shù)二重奇異積分,然后再提出一種能夠準(zhǔn)確計(jì)算出前面的二重對(duì)數(shù)奇異積分的乘積積分方法.最后一節(jié)給出的數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的方法的有效性.

2 奇異積分的幾種數(shù)值積分方法

在本節(jié)中,我們主要回顧幾個(gè)計(jì)算弱奇異積分的求積法則,為后面驗(yàn)證算法的有效性做準(zhǔn)備.

2.1 高斯勒讓德型數(shù)值積分方法

我們先回顧文獻(xiàn)[7]提出的弱奇異積分的高斯型方法.記Zm∶={0,1,…,m-1}.對(duì)于一個(gè)固定的正整數(shù)k,假設(shè)h∈C2k(0,1]且存在一個(gè)正常數(shù)c使得

|h(2k)(t)|≤c-σ-2k,t∈(0,1],σ∈[0,1).

現(xiàn)在考慮積分

使得Ij∶=[tj,tj+1],j∈Zm，是I∶=[0,1]的一部分.令

現(xiàn)在可以利用

2.2 多項(xiàng)式階數(shù)值積分方法

假設(shè)h(s,t)=K(s,t)wij(t),其中核函數(shù)K(s,t)在s處具有奇異性,wij是小波基函數(shù).同時(shí)還假設(shè)h具有下面的性質(zhì).

(I)Sij∶=supp(h)是I的一個(gè)子區(qū)間;

(II) 存在有限個(gè)點(diǎn)集π(h)∶={sj∶j-1∈Zm'-1}使得h∈C2k(I({s}∪π(h)));

(III) 存在一個(gè)正常數(shù)θ'使得|h(2k)(t)|≤θ'|t-s|-(σ+2k),t∈I({s}∪π(h)).

為了計(jì)算積分

選取與奇異點(diǎn)s相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)集合

中的元素,并記它們?yōu)閝'=q0

Π(h)∶={Qα∶=[qα,qα+1]∶α∈Zm'}.

為插值點(diǎn)的k-1次拉格朗日插值多項(xiàng)式.類似地我們可以利用I(Sk)去逼近I(h),再根據(jù)文獻(xiàn)[9]中引理3.1，得到|Ek(f)|=O(m-2k).

可以看到,上面積分區(qū)間的剖分方案是適用于具有一個(gè)奇異點(diǎn)0的奇異函數(shù).因此,為了構(gòu)造一個(gè)更加適合奇異函數(shù)的數(shù)值積分,文獻(xiàn)[10]在上面方法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了適用于具有兩個(gè)奇異點(diǎn)0和1的奇異函數(shù)的剖分方案.由于其剖分點(diǎn)為

因此,我們可以將該方案用到上述方法中去.

2.3 指數(shù)階數(shù)值積分方法

同樣考慮計(jì)算積分I(h),為此,選擇一個(gè)新的區(qū)間剖分方案,即對(duì)于任意的γ∈(0,1),選取m+1個(gè)點(diǎn)

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m.

同樣,可以設(shè)計(jì)適用于具有兩個(gè)奇異點(diǎn)0和1的奇異函數(shù)的剖分方案.令

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m,以及tj=1-t2m-j,j=m+1,m+2,…,2m.

自然地也可以將這些剖分點(diǎn)應(yīng)用到上述方法中去.

2.4 弱奇異二重積分的數(shù)值積分方法

接下來(lái),簡(jiǎn)單回顧文獻(xiàn)[11]中弱奇異二重積分的求積方法.考慮積分

其中D∶=[a,b]×[c,d],函數(shù)f,g都是光滑函數(shù).

為了有效處理核函數(shù)在{(s,t):s-t=0,±1}上的奇異性,進(jìn)行變量替換,令

則積分I等價(jià)于

并且

α(ξ)∶=max{2a-ξ,2c+ξ}和β(ξ)∶=min{2b-ξ,2d+ξ},

此時(shí)F(ξ,η)在點(diǎn)ξ=0,±1上具有奇異性,積分區(qū)域Ω∶={(ξ,η)∶|ξ|+|η-1|≤1}.

給定一個(gè)m>0,令

使用下面的4m+1個(gè)剖分點(diǎn)將區(qū)間[-1,1]劃分為4m個(gè)子區(qū)間,即

-1+xj,-xj,xj,1-xj,j=0,1,…,m.

我們按照遞增的順序?qū)@些剖分點(diǎn)重新排列,并記為ξi,i=0,1,…,4m,則

其中

需要注意的是,這里端點(diǎn)為奇異點(diǎn)0或±1的子區(qū)間被排除在計(jì)算之外.

在積分域?yàn)镈=[a,b]×[c,d]的一般情況下,使用上述位于區(qū)間[a-d,b-c]內(nèi)的剖分點(diǎn),并重復(fù)上述過程.在這種情況下,還將端點(diǎn)a-d和b-c以及Ω的其他兩個(gè)頂點(diǎn)的ξ坐標(biāo)添加到剖分點(diǎn)中.

其中Δξ=(β(ξ)-α(ξ))/mξ,而ui和wi則分別對(duì)應(yīng)勒讓德多項(xiàng)式在[-1,1]上的零點(diǎn)和零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的權(quán)重.

3 小波基函數(shù)的數(shù)值處理

我們知道,小波基函數(shù)不僅具有分片光滑性,而且還擁有有局部緊支集的良好性質(zhì),這驅(qū)使我們發(fā)展一種基于小波基函數(shù)的弱奇異積分的乘積積分方法,從而在實(shí)際應(yīng)用中能大大地減少計(jì)算奇異積分的時(shí)間.接下來(lái)我們將對(duì)小波基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值處理,為我們下一節(jié)建立乘積積分方法做準(zhǔn)備.

對(duì)于任意的i=0,j∈Zw(i),w0j是一個(gè)r次多項(xiàng)式.因此,我們可以把w0j寫成下面的形式：

對(duì)于任意的i>0,j∈Zw(i),小波基函數(shù)wij是分片r次多項(xiàng)式.根據(jù)基函數(shù)wij的構(gòu)造,對(duì)于任意的(i,j)∈Un,支撐集Sij可以被剖分成μ個(gè)子區(qū)間,即

Ωκ=(aκ,bκ),κ∈Zμ,

且在每個(gè)子區(qū)間上wij是r次多項(xiàng)式.因此,我們可以把wij寫成

下面我們給出小波基函數(shù)的一個(gè)具體例子,為了簡(jiǎn)單,本文只考慮線性小波基函數(shù)(參考文獻(xiàn)[11]).假設(shè)μ=2且選擇以j/2n,j=1,2,…,2n-1為節(jié)點(diǎn)的[0,1]上的分片線性多項(xiàng)式的空間Xn.我們選擇空間X0的基函數(shù)為

以及W1的基函數(shù)為

而空間Wi(i≥2)的基函數(shù)可以通過下式遞歸生成:

4 奇異積分的快速求積算法

在本節(jié)中, 我們首先給出對(duì)數(shù)奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法, 最后針對(duì)目標(biāo)核函數(shù)進(jìn)行討論分析, 建立一種高效且準(zhǔn)確的乘積積分方法.

4.1 自適應(yīng)數(shù)值積分方法

本小節(jié)主要考慮奇異積分

其中核函數(shù)K(s,t)在{(s,t)∶s-t=0,±1}上具有奇異性.我們給出的方法的主要思想是根據(jù)被積函數(shù)的奇性對(duì)積分區(qū)間設(shè)計(jì)一套剖分方案, 然后運(yùn)用復(fù)合非均勻高斯勒讓德積分公式計(jì)算被積函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上的積分， 選取的求積節(jié)點(diǎn)數(shù)目在每個(gè)子區(qū)間上不同.該方法具有指數(shù)階收斂性.

為此, 我們首先需要作類似于2.4節(jié)中的變量替換, 在此我們不再贅述.接下來(lái)我們對(duì)區(qū)間[0,1]剖分：

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m, 以及tj=1-t2m-j,j=m+1,m+2,…,2m.

定義一個(gè)點(diǎn)集:

Πγ,m∶={-1+xj,-xj,xj,1-xj∶j∈Zm+1}，

令

T∶=(Πγ,m∩{a-d,b-c})∪{a-d,b-c,a-c,b-d}.

按照遞增順序重新排列集合T中的元素, 并記它們?yōu)閜'=p0

Π∶={Pβ∶=[pβ,pβ+1]∶β∈Zm''}.

為插值點(diǎn)的kj-1次拉格朗日插值多項(xiàng)式.至此,我們可以使用I(Sk)去逼近I(h).而對(duì)于正常積分h(ξ), 我們同樣采用在2.4節(jié)中所描述的方法.

4.2 乘積積分方法

在這一小節(jié)里, 我們重點(diǎn)解決基于小波基函數(shù)的二重奇異積分

其中,K(s,t)∶=log(|s-t‖s-t-1‖s-t+1|),Sij∶=supp(wij),Si'j'∶=supp(wi'j')，的求積問題.

根據(jù)在第3節(jié)對(duì)小波基函數(shù)的討論我們定義以下特殊積分.對(duì)于γ∈Zr,α∈∑∶={-1,0,1}以及a,b∈[0,1]且a

引理4.1若γ∈Zr,α∈以及a,b∈[0,1]且a

證明作分部積分可得

對(duì)于右邊第二項(xiàng)的積分有

使用引理4.1中的積分公式, 我們可以準(zhǔn)確計(jì)算下面兩個(gè)奇異積分：

和

在引理4.1的基礎(chǔ)上, 我們可以發(fā)展一種能夠準(zhǔn)確求解基于小波基函數(shù)的二重奇異積分的求積方法.

對(duì)于小波基函數(shù)wi'j'(s), 我們同樣可以寫成下面的形式：

對(duì)于γ,η∈Zr,α∈Σ∶={-1,0,1}以及a,b,c,d∈[0,1]且a

引理4.2若γ,η∈Zr,α∈以及a,b,c,d∈[0,1]且a

證明由引理4.1以及二項(xiàng)式定理可知

再對(duì)上式進(jìn)行積分, 我們即可證得結(jié)論.

使用引理4.2中的積分公式, 我們可以準(zhǔn)確計(jì)算下面四個(gè)二重奇異積分：

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在這一節(jié)中,我們給出使用上一節(jié)的乘積積分方法的兩個(gè)數(shù)值例子.我們首先根據(jù)乘積積分方法去求奇異積分的準(zhǔn)確解,然后將該解用到傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法中去計(jì)算誤差,并根據(jù)該誤差計(jì)算出對(duì)應(yīng)的收斂階,以此來(lái)驗(yàn)證我們方法的有效性.同時(shí)我們使用k=2的高斯求積作為奇異積分的數(shù)值評(píng)估.由于所考慮的都是對(duì)數(shù)型奇點(diǎn)的核函數(shù)K(s,t),因此，我們?yōu)榉e分區(qū)間剖分方案選擇參數(shù)q=5或γ=0.17.

對(duì)于數(shù)值積分方法,我們給出兩個(gè)計(jì)算收斂階的公式：

另外,還記計(jì)算奇異積分所需的秒數(shù)為CT，我們所有的實(shí)驗(yàn)都是在具有2.2GHz頻率和4G運(yùn)行內(nèi)存的個(gè)人計(jì)算機(jī)中執(zhí)行,并且使用Fortran語(yǔ)言進(jìn)行編程.

例1考慮積分

其中s=0.7.

利用乘積積分方法的顯示公式,我們可以算得該奇異積分的準(zhǔn)確解

I=-0.509 072 604 871 587 324 597 313 488 200 213,

其執(zhí)行時(shí)間<0.01秒.數(shù)值結(jié)果列在表1和表2中.

表1 多項(xiàng)式階數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

表2 指數(shù)階數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

從表1、表2可以清楚地看到, 乘積積分方法給出了一維對(duì)數(shù)弱奇異積分的準(zhǔn)確解, 并且計(jì)算速度比傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法快得多.

例2考慮積分

類似于例1, 我們算得準(zhǔn)確解I=-0.477 411 277 760 219 301 121 078 492 187 340(執(zhí)行時(shí)間<0.01秒).數(shù)值結(jié)果列在表3和表4中.

表3 文獻(xiàn)[11]中的數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

表4 自適應(yīng)數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

從表3、表4可見，對(duì)于二維對(duì)數(shù)弱奇異積分的計(jì)算, 在同樣的精度下, 本文所建立的自適應(yīng)數(shù)值積分方法以及乘積積分方法都比文獻(xiàn)[11]中的數(shù)值積分方法高效且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 這說(shuō)明了本文給出的自適應(yīng)數(shù)值積分方法以及乘積積分方法是有效的.