在結(jié)構(gòu)化中深度理解算理

錢建兵

摘 要 計(jì)算教學(xué)需要理解算理，而算理的理解需要以直觀去構(gòu)建運(yùn)算的意義，將計(jì)算的意義與數(shù)的意義統(tǒng)一起來，形成結(jié)構(gòu)化的理解。在抽象算法的過程中，需要回到直觀，尋找意義，提升直觀，形成形式化、符號(hào)化的表達(dá)與理解，最終概括為算法，達(dá)到算理直觀與算法抽象的統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞 結(jié)構(gòu)化 算法 算理

計(jì)算教學(xué)需要理解算理。對(duì)算理的理解，從學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度講，在于學(xué)生對(duì)數(shù)的表征與理解，以及對(duì)運(yùn)算意義的理解，在于發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)整體的功能去促進(jìn)算理的理解，注重算理生成的全過程與算法抽象的全過程。動(dòng)手操作、直觀模型等是理解算理的重要方式，但更要注重對(duì)直觀進(jìn)行有層次的抽象，最終促進(jìn)算法的形成。

一、理解意義：知識(shí)結(jié)構(gòu)中尋求深刻

對(duì)計(jì)算意義的理解是理解算理與習(xí)得算法的前提與基礎(chǔ)。小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算意義是一致的，理解運(yùn)算意義的基本原理，生成計(jì)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，需要基于學(xué)生對(duì)數(shù)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。運(yùn)算是對(duì)數(shù)的運(yùn)作，對(duì)運(yùn)算意義的表征離不開對(duì)數(shù)的表征。而學(xué)生對(duì)數(shù)的表征是豐富的、有層次性的。以直觀圖形呈現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)的理解，如整數(shù)乘法中的格點(diǎn)圖，分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的線段圖、矩形圖，在此基礎(chǔ)上可以直觀地讓數(shù)的意義、數(shù)的組成等算理理解的重要因素呈現(xiàn)出來，從而有利于理解運(yùn)算的意義，形成整體的數(shù)的意義、數(shù)的運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

如分?jǐn)?shù)運(yùn)算的教學(xué)。分?jǐn)?shù)的表征是豐富多樣與多層次的。在分?jǐn)?shù)加減法的教學(xué)中，學(xué)生會(huì)以線段圖或餅形、矩形等來呈現(xiàn)運(yùn)算的意義，這些方式源于他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)，可以用情境讓學(xué)生表示出 米，激活對(duì)分?jǐn)?shù)的相關(guān)理解，3個(gè)米就是米，用算式表示是 ×3。這樣，對(duì)運(yùn)算意義的理解就與對(duì)數(shù)的理解的經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，學(xué)生初步了解分?jǐn)?shù)單位乘整數(shù)，就是算含有分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)。然后在此基礎(chǔ)上表示 ×3，結(jié)果里面一共有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位？通過直觀圖，有學(xué)生用加法算，也有學(xué)生用乘法3×3算，從而理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與之前學(xué)習(xí)的乘法意義一樣，是單位的累加，在數(shù)的意義的基礎(chǔ)上理解運(yùn)算的意義。

學(xué)生的知識(shí)背景不同，對(duì)運(yùn)算的內(nèi)部表征是不一樣的，然而并不是所有的直觀表征形式都有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)算理。在教學(xué)中，重點(diǎn)把握利于意義生根的、反映本質(zhì)化的因素——計(jì)數(shù)單位，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算意義與數(shù)的認(rèn)識(shí)兩個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)結(jié)，從而形成一個(gè)大的結(jié)構(gòu)。同時(shí)，隨著學(xué)習(xí)的深入，運(yùn)算意義的內(nèi)部結(jié)構(gòu)也在不斷更新。如分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，就是對(duì)整數(shù)乘法、整數(shù)乘法意義的拓展。真分?jǐn)?shù)乘真分?jǐn)?shù)，為什么積小了？通過直觀圖進(jìn)行比較：分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，實(shí)際上是把原來的分?jǐn)?shù)單位又平均分了一次，所以分?jǐn)?shù)單位變小了，其本質(zhì)與分?jǐn)?shù)意義有相同的過程，分母相乘是先“平均分”;分子相乘，是再“數(shù)”，也是單位的累加。后續(xù)運(yùn)算意義的理解，通過反思貫通，又反哺促進(jìn)了對(duì)前期經(jīng)驗(yàn)中運(yùn)算意義的深刻理解。在教學(xué)中，理解意義，以圖的直觀呈現(xiàn)運(yùn)算的意義，既需要與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)接，建構(gòu)更大的知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也要與學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)溝通聯(lián)系，積極強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、理解過程：經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中追尋意義

算法是一個(gè)程式化的操作過程，教學(xué)中，如果將這個(gè)操作過程的結(jié)果直接呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生將難以獲取動(dòng)態(tài)的操作過程，這樣，即使有直觀圖，學(xué)生也無法將意義與算法直接關(guān)聯(lián)起來。因此，在教學(xué)中，需要做好過程性理解，豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。教材呈現(xiàn)的都是算式的結(jié)果，對(duì)學(xué)生而言，看出結(jié)果是比較容易的，而靜態(tài)圖與動(dòng)態(tài)計(jì)算過程如何聯(lián)系起來，對(duì)學(xué)生而言，是有困難的。因?yàn)閳D并不是根據(jù)他們對(duì)算式意義的理解創(chuàng)造的，由于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)不連續(xù)、不完善，如何看圖，畫圖表征，如何看出畫圖背后的意義（思考過程）對(duì)學(xué)生是一個(gè)困難。因此，在教學(xué)中，需要做好“分解動(dòng)作”，讓學(xué)生經(jīng)歷算式表征的形成過程，理解每個(gè)“動(dòng)作”表示的意義。

如分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的教學(xué)，由于其意義是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，跟學(xué)生熟悉的整數(shù)、小數(shù)乘法的意義不一樣，不是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，同時(shí)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中并沒有表示一個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之幾是多少的經(jīng)驗(yàn)。所以在教學(xué)中，需要在理解意義的基礎(chǔ)上，逐步豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷算式圖形表達(dá)的過程。先出示情境：一臺(tái)收割機(jī)每小時(shí)收小麥? 公頃，這臺(tái)收割機(jī)? 小時(shí)收割多少公頃？學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)意義的理解，把1公頃平均分成兩份，? 公頃表示其中的1份，然后把? 公頃平均分成了兩份，就是? 小時(shí)收割的。在學(xué)生表示出? 小時(shí)收割多少公頃的基礎(chǔ)上，根據(jù)圖的直觀總結(jié)理解分母相乘的算理，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)就是兩次平均分，是對(duì)分?jǐn)?shù)單位的再次均分，“單位1”平均分成的份數(shù)是兩個(gè)分母的乘積，同時(shí)積累了用圖形表征分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)。然后表示出 × 、? × 兩個(gè)算式的意義，雖然學(xué)生理解意義，但是如何操作表示卻存在困難，因?yàn)榍懊鎯蓚€(gè)算式的表示，都是對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)單位再次平均分，而這里是把兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位看作一個(gè)整體平均分，第二次平均分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)困難，思維上的慣性使學(xué)生兩次均分都是從同一個(gè)方向平均分的，如用圖1表示×，這是學(xué)生結(jié)構(gòu)中的斷點(diǎn)。

可以引導(dǎo)學(xué)生思考：第二次平均分，需要能看出“單位1”平均分成了多少份。結(jié)合前面兩次平均分的經(jīng)驗(yàn)，可以知道一共是平均分成了15份，思考如何看出是15份，從而想到需要從另一個(gè)維度去分，如圖2。這樣，對(duì)分母相乘表示的意義又加深了理解，然后去思考，結(jié)果表示多少份，如何計(jì)算，分子相乘的意義就出來了。

直觀操作的過程，為算理的直觀表征與解釋提供了經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，教學(xué)中既要充分了解學(xué)生的內(nèi)部表征，又要豐富學(xué)生進(jìn)行表征的經(jīng)驗(yàn)，提供各種表征工具，以各種教學(xué)手段，充分激發(fā)，使其外顯，為教學(xué)提供充分的依據(jù)。

三、理解算法：思維結(jié)構(gòu)中逐步內(nèi)化

計(jì)算法則的推導(dǎo)，通常借助于具體的問題情境，以圖形的直觀，建立算理。在這個(gè)過程中，由算理直觀到抽象為算法，是跳躍性的。如果抽象過程中的跨度高于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，算法的理解就成為一種機(jī)械的過程，失去其意義。所以，在這里需要有效連接，要防止算理與算法的脫節(jié)，打通算理與算法的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生的思維層級(jí)抽象。表征既是溝通工具，又是思維的材料。

1.在反思中尋找意義

算法的抽象需要算理的直觀表征，當(dāng)學(xué)生初步了解形成算法的直觀表征后，為了強(qiáng)化對(duì)算法的理解，在抽象算法時(shí)能有效運(yùn)用直觀表征這一心理工具，還應(yīng)該經(jīng)歷一個(gè)重新尋找意義的過程，以獲得對(duì)算理的穩(wěn)固的認(rèn)識(shí)，為作為過程的算理凝聚為作為對(duì)象的算法進(jìn)行過渡。

以小數(shù)乘整數(shù)為例。對(duì)數(shù)位如何對(duì)齊，可以從規(guī)定的角度進(jìn)行說明，但數(shù)學(xué)規(guī)定是可以有意義的。在學(xué)生在正方形圖中表示出0.8乘3后，追問，怎么讓人一下子就看出表示的是3個(gè)0.8？學(xué)生加大括號(hào)將圖進(jìn)行改進(jìn)（圖3）。然后引導(dǎo)學(xué)生將意義與豎式過程進(jìn)行聯(lián)系：這個(gè)過程表示了豎式中的哪一步？看著圖，你能不能說說先算8乘3表示什么意思？

通過過程之間建立聯(lián)系、尋找意義，促進(jìn)兒童頭腦中圖形表征的穩(wěn)定性與進(jìn)一步的概括性，此時(shí)的直觀表征，已不完全是直觀化、具體化了，而應(yīng)促進(jìn)其成為學(xué)生的一種抽象的心理工具。

2.在表達(dá)中內(nèi)化算理

布魯納認(rèn)為，兒童獲得一個(gè)數(shù)學(xué)概念的過程是以線性方式從動(dòng)作表征過渡到圖像表征，最后到抽象思考。在算法的形成過程中，當(dāng)具體的圖像表征消失后，在兒童的頭腦中能依據(jù)圖形的影像，自己制作心像而進(jìn)行內(nèi)在的思維活動(dòng)。在形成了直觀的表征之后，要引導(dǎo)學(xué)生形成形式化的、符號(hào)化的表征。讓學(xué)生在語言表述、符號(hào)表達(dá)等活動(dòng)中將思維內(nèi)化，將操作過程進(jìn)一步凝聚、抽象，最終提煉為算法。

在整數(shù)乘小數(shù)的教學(xué)中，當(dāng)建立起過程之間的聯(lián)系后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將表征抽象化、形式化，脫離具體操作與圖形，想一想：0.15×3的結(jié)果中有（ ）×（ ）個(gè)0.01？計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)哪兒？為什么？小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)哪兒跟什么有關(guān)？原來，小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)哪兒是看它的計(jì)數(shù)單位。通過操作活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生理解小數(shù)點(diǎn)的位置跟一個(gè)因數(shù)的小數(shù)位置有關(guān)，其本質(zhì)在于這個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位。再如分?jǐn)?shù)乘整數(shù)中，在結(jié)合操作理解算理之后，結(jié)合圖形，讓學(xué)生對(duì)算理的理解上升為一般化、概括化，可進(jìn)行如下教學(xué)：×n（a≠0），可以怎么計(jì)算？說一說為什么這樣計(jì)算？結(jié)合圖形表征的理解，有了形式化的理解：學(xué)生用“表示b個(gè)乘n，結(jié)果有（ ）個(gè)”的語言，內(nèi)化了算理，為抽象思考的算法概括階段打下了基礎(chǔ)。

總之，算理的理解需要建立在學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，從數(shù)的意義、運(yùn)算的意義的結(jié)構(gòu)中尋根，充分展示算理直觀的過程，完善學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，把握好算法與算理之間的聯(lián)結(jié)，形成完善的運(yùn)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這個(gè)過程是一個(gè)整體，是通過過程直觀、意義直觀走向算法抽象的過程，因而也是學(xué)生思維發(fā)展的過程。

[責(zé)任編輯：陳國慶]