基于GALJP濾波器的遲滯特性建模與補償控制

孫思維，毛雪飛，黃夢琦，劉向東，李震

（1.北京理工大學自動化學院，北京100081；2.中國農(nóng)業(yè)銀行，北京100005）

壓電陶瓷致動器是一種特種電機，具有輸出力大、速度快、穩(wěn)定性好、位移精度高的優(yōu)點，被廣泛應用于高精度微納米電氣傳動系統(tǒng)中，如超精加工機床的微動定位系統(tǒng)[1]、快速傾斜鏡[2]、高速掃描探針顯微鏡[3]等。但是在實際應用中壓電陶瓷致動器存在遲滯非線性的特性會影響控制精度，所以研究壓電陶瓷控制器的模型和控制方法有重要的意義。

現(xiàn)有對壓電陶瓷的遲滯模型研究主要有通過遲滯現(xiàn)象解釋的Preisach模型[4]，Prandtl-Ishlinskii（PI）模 型[5]，Bouc-Wen模 型[6]，神 經(jīng) 網(wǎng) 絡 模型[7]，最小二乘支持向量機模型[8]，以及段相似模型[9]等。還有基于物理原理進行解釋的Maxwell等模型。Presisach等模型通過對壓電陶瓷的遲滯特性產(chǎn)生的現(xiàn)象進行解釋，并且取得了較好的擬合效果，因此被廣泛應用。在這些模型的基礎上，可以對壓電陶瓷致動器進行遲滯逆補償控制、前饋-反饋逆補償控制[10]等，具有良好的控制效果。然而，在實際控制中，控制系統(tǒng)會受到環(huán)境變化和擾動等的影響，使用固定的逆模型控制器的控制效果無法達到預期，因此文獻[11]提出了FIR濾波器來實現(xiàn)自適應的逆控制，針對系統(tǒng)的動態(tài)特性和干擾進行自適應控制，得到了較好的控制性能。但是直接使用自適應濾波器逆控制的效果仍不太理想，所以文獻[12]提出基于Backlash的自適應濾波器，通過使用Backlash算子代替延遲算子，由于Backlash算子具有記憶歷史輸入的能力，提高了遲滯建模能力。

但是現(xiàn)有的自適應濾波器建模和逆補償控制存在模型復雜、運算速度慢、收斂速度慢的問題，因此本文提出基于Backlash算子的GAJLP濾波器建立自適應遲滯模型及逆補償控制器。該濾波器采用正交算法構建，綜合了梯度格型濾波器與自適應FIR濾波器的優(yōu)點，所以GALJP濾波器不涉及反饋引起的穩(wěn)定性問題。并且相較于經(jīng)典的自適應FIR濾波器，該濾波器最突出的優(yōu)勢是：GALJP濾波器是由多節(jié)相同的正交單元級聯(lián)，其結構高度模塊化，在實際工程應用中，能夠非常方便地調整GALJP濾波器的階數(shù)，并能用較低的階數(shù)達到很好的建模和控制效果。

1 基于Backlash的GALJP濾波器遲滯模型

1.1 Backlash算子

Backlash算子的傳輸特性見圖1。

圖1 Backlash算子的傳輸特性Fig.1 Transmission characteristics of the Backlash operator

Backlash算子在t時刻的輸出pri[u(t)]滿足下式：

式中：u(t)為t時間的輸入；ri為第i個Backlash算子的閾值；pri[u(t-)]表示算子的輸出信號與之前相同。

可將式（1）寫為離散形式：

式中：Δu(k)為k時刻與前一時刻的差。

1.2 基于Backlash算子的自適應格型濾波器

梯度格型濾波器的基本正交單元結構如圖2所示。可將其首尾串聯(lián)組成不同階的梯度格型濾波器。

圖2 梯度格型濾波器的基本正交單元結構Fig.2 Basic unit structure of the gradient lattice filter

在k時刻的m階梯度格型濾波器的基本正交單元的計算公式為

梯度格型濾波器正交基本單元有如下性質：

1）后向預測誤差bm(k)相互正交。即E[ bi(k)·bj(k)]=0,i≠j，說明正交單元的前、后級不存在耦合關系。各級的最優(yōu)化等價于整個系統(tǒng)的最優(yōu)化。

2）前向預測誤差fm(k)與時移前向誤差fm(k±l)正交，其中1≤l≤m-i,i＜m。

3）前向預測誤差fm(k)與輸入的互相關函數(shù)等于后向預測誤差bm(k)與被延時的輸入互相關函數(shù)。

4）各階前向預測誤差fm(k)不正交。

按照伯格方法，反射系數(shù)的更新公式為

式中：β為更新系數(shù)，一般采用固定的更新系數(shù)對反射系數(shù)進行更新。

將多個如圖2格型濾波器基本正交單元的延遲算子更換為Backlash算子組成基于Backlash算子的梯度格型濾波器得到圖3所示結構，其中M為基本正交單元的個數(shù)，wm表示第m階GALJP基本正交單元輸出的權值。

GALJP濾波器基本單元的計算公式為

式中：bm(k)為前一階后向預測誤差bm-1(k)經(jīng)過Backlash算子所得到的輸出，其計算公式見式（1）～式（2）。

圖3 基于Backlash算子的GALJP濾波器結構Fig.3 GALJP filter structure based on Backlash operator

在計算前后向預測誤差之后對反射系數(shù)進行更新：

將GALJP濾波器的各級后向預測誤差及權值組成向量形式：

k時刻GALJP濾波器的輸出為

式中：b i as為一消除系統(tǒng)在初始時偏置量，可以提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。

根據(jù)實際的輸出位移信號d（k）可計算GALJP濾波器的誤差為

在自適應建模和控制過程中可使用最小均方（least mean square，LMS）的方法結合GALJP濾波器的誤差來動態(tài)更新權值，從而來自適應系統(tǒng)變化。但是如果使用固定步長更新，需要同時考慮自適應系統(tǒng)的適應速度和準確度，在此可采用歸一化的最小均方（normalized least mean square，NLMS）方法，其步長的計算公式為

式中：α為控制步長的常數(shù)，通過后向預測誤差向量X(k)來自適應調整步長；γ是為了防止系統(tǒng)出現(xiàn)X(k)=0的情況而增加的一個較小的常量。

最后GALJP濾波器的權值和偏置更新公式為

2 遲滯模型實驗驗證

為了對提出的遲滯模型進行驗證，本文采用基于MPT-1JN/RL002型號的壓電致動器實驗平臺進行驗證，其輸入電壓范圍為-30～150 V，位移最大為16μm，內置分辨率為2.5 nm的電阻式應變片傳感器。

實驗裝置結構框圖如圖4所示，實驗裝置通過使用半實物仿真平臺LINKS_RT向驅動電源發(fā)送控制信號，由驅動電源將驅動電壓作用到壓電致動器，最后將壓電致動器內部電阻應變片傳感器的位移信號返回至半實物仿真平臺做進一步的信號處理。

圖4 壓電致動器實驗裝置結構框圖Fig.4 Structural block diagram of experimental device for piezoelectric actuator

在對壓電致動器使用GALJP濾波器進行建模時，需要確定濾波器系統(tǒng)的階數(shù)M，所以需要對比不同階數(shù)的建模性能。本文使用如圖5所示的衰減正弦波信號作為輸入電壓信號，通過傳感器得到輸出位移信號，在線使用輸入輸出信號在不同階數(shù)GALJP濾波器進行遲滯建模。遲滯建模的框圖如圖6所示。

圖5 衰減正弦波輸入電壓信號Fig.5 Attenuates the sine wave input voltage signal

圖6 GALJP濾波器的壓電致動器遲滯特性建模框圖Fig.6 Block diagram for modeling the hysteresis characteristics of piezoelectric actuators based on GALJP filters

實驗中，設置Backlash算子的閾值為1，并且將輸入輸出信號標準化到[-1，1]，初始反射系數(shù)Km(0)=0，前后向預測誤差初值fm(0)=bm(0)=0，反射系數(shù)更新步長β=0.001，初始輸出權重為W（0）=[0.005 0.005…0.005]T，初始偏置bias（0）=-1。使用不同階數(shù)的GALJP濾波器來對壓電致動器遲滯特性進行建模，表1為實驗的誤差結果，圖7為誤差對比，本文選取平均絕對誤差eav和均方根誤差RMSE兩個指標對遲滯模型的性能進行定量描述。

表1 不同階GALJP濾波器的壓電致動器遲滯建模誤差Tab.1 Modeling error of piezoelectric actuators with different order GALJP filters

圖7 不同階數(shù)GALJP濾波器的壓電致動器遲滯建模誤差Fig.7 Modeling error of piezoelectric actuators with different order GALJP filters

根據(jù)建模得到的結果，1階的誤差最大，2階的誤差降到最低，之后隨著階數(shù)的增大誤差逐漸增大。綜合自適應濾波器的建模性能和計算時間，選擇階數(shù)為2的GALJP濾波器結構進行遲滯建模。

為了對提出的建模方法性能進行更好地說明，使用不同頻率的12μm等幅正弦信號對GALJP濾波器遲滯建模和PI遲滯建模方法進行對比。其中PI模型的算子數(shù)為20，通過初載曲線確定算子的權重。兩種建模方法對壓電致動器遲滯特性的建模誤差可見表2，從結果可以看出，在各種頻率信號下，GALJP濾波器有著更高的建模精度。

表2 壓電致動器遲滯建模方法均方根誤差對比Tab.2 Comparison of root mean square error of hysteresis modeling methods for piezoelectric actuators

3 GALJP濾波器補償控制器

在GALJP濾波器結構的基礎上建立圖8所示的壓電致動器補償控制系統(tǒng)。在設計GALJP濾波器補償控制器時，選用從上一節(jié)中對比得到的2階GALJP濾波器結構，并且使用相同的初始參數(shù)來實現(xiàn)對壓電致動器的自適應遲滯補償控制。由于在實際控制過程中會存在不同的控制參考信號，所以采用隨機正弦波和隨機三角波作為參考信號來驗證跟蹤性能。圖9、圖10為實驗結果。

圖8 基于GALJP濾波器的壓電致動器控制系統(tǒng)框圖Fig.8 Block diagram of piezoelectric actuator control system based on GALJP filter

圖9 隨機三角波信號作用下GALJP濾波器補償控制壓電致動器實驗結果Fig.9 Experimental results of GALJP filter compensation control of piezoelectric actuators under random triangle wave signal

圖10 隨機正弦波信號作用下GALJP濾波器補償控制壓電致動器實驗結果Fig.10 Experimental results of GALJP filter compensation control of piezoelectric actuators under random sine wave signal

從實驗結果可以看出，無論是隨機正弦波信號還是隨機三角波信號作為參考信號下，均有較好的跟蹤效果，其誤差范圍在±0.02μm以內，均方根誤差分別占總行程的0.023 8%和0.026 2%。

為了更好地展示所提出控制方法的性能，使用PID控制器和GALJP濾波器遲滯補償控制器在不同頻率的10μm等幅正弦參考信號作用下進行對比實驗。其中PID控制器采用增量式的方法，具體參數(shù)為：Kp=0.5，Ki=0.1，Kd=0。

兩種對壓電致動器跟蹤控制方法的誤差對比結果如表3所示。

表3 壓電致動器控制方法跟蹤均方根誤差對比Tab.3 Comparison of tracking RMSE of control methods for piezoelectric actuators

從實驗結果可以看出，GALJP濾波器補償控制方法在不同頻率下均表現(xiàn)出更好的跟蹤性能，并且在50 Hz下的精度約為PID控制器的3倍。但是由于遲滯特性與輸入信號的速率相關，所以隨著信號頻率提高，其誤差也相應增大，相應的解決方法會在以后做進一步的研究。

4 結論

為了降低壓電陶瓷致動器遲滯特性的不良影響，本文提出了一種基于Backlash算子的GALJP濾波器用于對壓電致動器進行建模和遲滯補償控制。首先通過使用不同階數(shù)的GALJP濾波器來對衰減正弦波信號進行建模，綜合建模精度和計算時間，選擇階數(shù)為2的GALJP濾波器進行建模，其均方根誤差為0.010 4μm。然后使用階數(shù)為2的GALJP濾波器進行遲滯補償控制，在隨機正弦波信號和隨機三角波信號作用下均有較好的控制效果，并且在不同頻率等幅正弦參考信號下跟蹤效果均優(yōu)于PID控制器。本文的研究可為高精度微納米電氣傳動系統(tǒng)的研究提供參考。