關(guān)于矩陣秩的幾個(gè)重要不等式

黃述亮

(滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239001)

矩陣的秩在很多領(lǐng)域中具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，比如在通信復(fù)雜性領(lǐng)域中，函數(shù)的通信矩陣的秩可以給出計(jì)算函數(shù)所需的通信量的界限。此外，利用矩陣的秩可以定義數(shù)學(xué)中的等價(jià)關(guān)系，因此一個(gè)數(shù)域F上的全體n階矩陣Mn(F)可以被劃分成n+1個(gè)子集(即等價(jià)類)的不交并M(F)=T0∪T1∪…∪Tn，其中Ti={A∈Mn(F)|rank(A)=i}。換言之，矩陣的秩可以實(shí)現(xiàn)對(duì)全體矩陣的分類，這對(duì)進(jìn)一步研究矩陣有著重要的意義。

事實(shí)上，秩的不等式是研究矩陣問題的有力工具，比如經(jīng)典的Sylvester不等式就給出了矩陣乘積的秩的上界和下界的一個(gè)很好的估計(jì)。目前已有不少學(xué)者對(duì)矩陣秩的不等式進(jìn)行了深入研究[1-4]，文獻(xiàn)中不少證明涉及到了代數(shù)學(xué)中線性空間的維數(shù)、線性映射的值域和核等理論，獲得了一些深刻的結(jié)果?？傮w而言，處理這類問題時(shí)常常要綜合運(yùn)用行(列)向量組、基礎(chǔ)解系的求法和性質(zhì)、矩陣分塊及廣義初等變換的技巧等，本文重點(diǎn)討論矩陣秩的幾個(gè)重要的不等式及其在相關(guān)證明中的應(yīng)用。

1 矩陣秩的主要性質(zhì)

性質(zhì)1[5]：設(shè)m×n矩陣A的秩為r，則一定有m階可逆陣P和n階可逆陣Q滿足

這里，Er表示r階單位矩陣。

性質(zhì)2：rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。

類似地，對(duì)于矩陣A=(A1,A2,…，Am)和AB=(D1,D2,…,Ds)實(shí)行列分塊，通過計(jì)算可以看出Di=b1iA1+b2iA2+…+bmiAm(i=1,2,…,s)蘊(yùn)含A的列向量組把AB的列向量組表示出來，因而前者的秩不可能超過后者的秩，即rank(AB)≤rank(A)。

性質(zhì)3：設(shè)矩陣Am×m可逆，則有

證明：利用分塊矩陣的乘法得

故

同理，當(dāng)D可逆時(shí)有

以上2式統(tǒng)稱為分塊矩陣秩的降階公式。

性質(zhì)5：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，C是s×t矩陣，則

rank(ABC)≥rank(AB)+rank(BC)-

rank(B)。

證明：由分塊矩陣的乘法得

則

因?yàn)?/p>

rank(B)+rank(ABC)，

所以

rank(AB)+rank(BC)≤

rank(B)+rank(ABC)，

即

rank(ABC)≥rank(AB)+rank(BC)-

rank(B)。

性質(zhì)6：rank(A)-rank(B)≤rank(A±B)≤rank(A)+rank(B)。

證明：不失一般性，假設(shè)rank(A)=r，rank(B)=s,且α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs分別是矩陣A、B的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。觀察易得，矩陣A±B的列向量組都能夠利用α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs共同線性表示，從而

rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)。

同法可證

rank(A)-rank(B)≤rank(A±B)。

性質(zhì)7：設(shè)A=As×n，B=Bn×m,則rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-n。

特別地，當(dāng)AB=0時(shí)，有

rank(A)+rank(B)≤n。

證明：只要證明rank(AB)+n≥rank(A)+rank(B)。顯然，通過矩陣的廣義初等變換得

由性質(zhì)4可知：

對(duì)于rank(A)+rank(B)≤n，作為上面定理的推論可以直接得出，但是這個(gè)結(jié)論非常重要，我們將給出直接證明。事實(shí)上，設(shè)B=(α1,α2,…,αm)，由AB=0得，Aαi=0(1≤i≤m)也就是說矩陣B的每一個(gè)列向量都可以看成方程組AX=0的解。此外，對(duì)于齊次線性方程組AX=0，它的解空間中包含的線性無(wú)關(guān)向量個(gè)數(shù)是n-rank(A)，從而

rank(B)=rank{α1,α2,…，αs}≤n-rank(A)。

性質(zhì)8：設(shè)多項(xiàng)式f(x)和g(x)互素，A是一個(gè)n階矩陣，則

rank(f(A))+rank(g(A))=rank(f(A)g(A))+n。

2 應(yīng)用舉例

例1：設(shè)A、B是n階矩陣，證明rank(AB-En)≤rank(A-En)+rank(B-En)。

rank(B-En)+rank(A-En)。

例2：設(shè)A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，則rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-s。

證明：可以用性質(zhì)7直接得證，這里從另一角度給出證明。設(shè)r(A)=r1，r(B)=r2,利用性質(zhì)1，有可逆陣P1、Q1和P2、Q2使得

于是

rank(C1)≥s-(s-r1)-(s-r2)=r1+r2-s

因此rank(AB)≥r1+r2-s。

證明：根據(jù)性質(zhì)7，對(duì)于任意n階矩陣A,B恒有rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-n，所以

0=rank(A1A2…Ap)≥rank(A1)+rank(A2…Ap)-n，

從而

rank(A1)+rank(A2)+r(A3…Ap)-2n≥…≥rank(A1)+…+rank(Ap-1)+rank(Ap)-(p-1)n

即

rank(A1)+…+rank(Ap)≤(p-1)n。

例4：設(shè)A、B為n階矩陣，且rank(A)=

rank(BA)，證明:rank(A2)=rank(BA2)。

證明：一方面，顯然A2X=0的解都是BA2X=0的解。另一方面，如果X0是BA2X=0任意一個(gè)解，那么BA2X0=0蘊(yùn)含AX0是BAX=0的解，根據(jù)已知條件rank(A)=rank(BA)推出AX0也是AX=0的解，即A2X0=0。比較上面2個(gè)關(guān)系式知，方程組BA2X=0和方程組A2X=0有相同的解，也就是說這2個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)相同，因此rank(A2)=rank(BA2)。

例5：設(shè)A、B、C都是n階矩陣， 滿足AC=CB，且rank(C)=r，證明：一定存在可逆矩陣P和Q使P-1AP和Q-1AQ有相同的r階順序主子式。

令

則

證明：(必要性)由ABA=B-1得(AB)2=E，則E-(AB)2=(E+AB)(E-AB)=0.由性質(zhì)7得

rank(E-AB)+rank(E+AB)≤n。另一方面，顯然下面關(guān)系成立：

n=rank(2E)=rank[(E-AB)+(E+AB)]≤rank(E-AB)+rank(E+AB)。

比較上面2個(gè)式子得rank(E-AB)+rank(E+AB)=n。

(充分性)rank(E-AB)+rank(E+AB)=n，由性質(zhì)4得

利用矩陣的廣義初等變換得

例7：設(shè)A是n階方陣，n是一個(gè)正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)l和k,

(1)若Am+1=A，則rank(Al)+rank(Am-E)k=n;

(2)若Am=E，則rank(A-E)l+rank(Am-1+Am-2+…+A+E)k=n。

證明:(1)令f(x)=xl，g(x)=(xm-1)k，則(f(x),g(x))=1，應(yīng)用性質(zhì)8得到

rank(Al)+rank(Am-E)k=rank(f(A))+

rank(g(A))=rank[f(A)g(A)]=n+

rank[Al(Am-E)k]=n+

rank[Al-1(Am+1-A)(Am+1-E)k-1]

顯然，由上面等式，當(dāng)Am+1=A時(shí)，rank(Al)+rank(Am-E)k=n，證畢。

(2)設(shè)f(x)=(x-1)l，g(x)=(xm-1+xm+2+…+x+1)k,則(f(x),g(x))=1，可以得到

rank(A-E)l+rank(Am-1+Am-2+L+A+E)k=n+rank(f(A)g(A))=n+

rank[(A-E)l(Am-1+Am-1+…+A+E)k]=

n+rank[(A-E)l-1(A-E)l+

rank(Am-1+Am-2+…+A+E)k-1]。

當(dāng)Am=E時(shí)，rank(A-E)l+rank(Am-1+Am-2+…+A+E)k=n，證畢。

此外，利用矩陣的秩還能夠判斷3維空間中的線線、線面及面面之間位置關(guān)系，這種方法要優(yōu)于向量的點(diǎn)乘和叉乘法，現(xiàn)舉一例說明利用該法的便捷。

(方法二)利用矩陣的初等變換分別計(jì)算矩陣

3 結(jié)語(yǔ)

基于作者長(zhǎng)期從事線性代數(shù)和高等代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐，文章總結(jié)歸納了矩陣秩的一些不等式以及綜合考慮了線性方程組、向量空間、分塊矩陣、矩陣廣義初等變換等概念的證明方法。具體而言，性質(zhì)1主要用于有關(guān)矩陣等價(jià)性的證明和計(jì)算類問題；性質(zhì)2用于判斷2個(gè)矩陣乘積秩的上限；性質(zhì)3和4主要應(yīng)用于分塊矩陣秩的降階和相關(guān)證明問題；性質(zhì)5是判斷3個(gè)矩陣乘積秩的有力工具；性質(zhì)6的作用類似于向量中的三角不等式；性質(zhì)7在涉及線性方程組基礎(chǔ)解系和向量組的相關(guān)證明中作用較大；性質(zhì)8在處理矩陣多項(xiàng)式和互素問題時(shí)比較方便。