橢圓曲線y2=x3+9x-26的整數(shù)點(diǎn)

謝甜甜, 楊 海, 羅永亮

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

橢圓曲線是代數(shù)幾何中重要的曲線之一,至今已有100多年的歷史,眾多學(xué)者對找橢圓曲線整數(shù)點(diǎn)的問題有著濃厚的興趣,在此期間也產(chǎn)生了大量的研究成果[1-5],這些成果也被廣泛地應(yīng)用于密碼學(xué)中.但由于橢圓曲線求解的復(fù)雜性與參數(shù)的多變性,至今也沒有一個系統(tǒng)的求解方式.目前,對于橢圓曲線

y2=(x+a)(x2-ax+b)

(1)

整數(shù)點(diǎn)的相關(guān)問題,主要集中在a=±2,±6,7上, 具體結(jié)果如下.

1) 當(dāng)a=±2時:杜先存等[6]利用Legendre符號、同余式、Pell方程的解的性質(zhì)等初等方法證明了a=-2,b=p,其中p=36s2-5時,橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(diǎn)為(-2,0);崔保軍[7]利用初等方法證明了當(dāng)a=-2,b=18時,橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0),(106,±1 092);崔保軍[8]運(yùn)用同余、遞歸序列等初等方法證明了當(dāng)a=-2,b=139時,橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0),(14,±66),(284 594±151 823 364);管訓(xùn)貴[9]證明了當(dāng)a=-2,b=m,其中m=4p-8=q+1或m=2p-8=q+1且p≡1(mod 8)(p,q為素數(shù))時,橢圓曲線(1)上的所有整數(shù)點(diǎn)(x,y);趙建紅[10]證明了當(dāng)a=-2,b=15時,橢圓曲線(1)無正整數(shù)點(diǎn);杜先存等[11]利用同余式、Legendre符號、Pell方程的解的性質(zhì)等初等方法給出了當(dāng)a=2,b=27時,橢圓曲線(1)無正整數(shù)點(diǎn).

2) 當(dāng)a=6時:過靜[12]運(yùn)用初等數(shù)論方法給出了當(dāng)a=6,b=15時,橢圓曲線(1)無正整數(shù)點(diǎn);趙建紅等[13]利用唯一分解定理、同余的性質(zhì)、Legendre符號的性質(zhì)、奇偶數(shù)的性質(zhì)、Pell方程的解的性質(zhì)等初等方法證明了當(dāng)a=6,b=19時,橢圓曲線(1)無正整數(shù)點(diǎn);萬飛等[14]證明了當(dāng)a=-6,b=23時,橢圓曲線(1)無正整數(shù)點(diǎn).

3) 當(dāng)a=7時:董鑫等[15]利用二次剩余等初等數(shù)論方法與技巧證明了當(dāng)a=7,b=19時,橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-7,0),(-3,±14),(2,±9),(6,±13),(5 143 326,±11 664 498 677).

到目前為止,當(dāng)a=2,b≡5(mod 8)為素數(shù)時,橢圓曲線(1)無相關(guān)結(jié)論.本論文將證明當(dāng)a=2,b=13時,橢圓曲線(1)整數(shù)點(diǎn)的情況.

1 相關(guān)引理

2 定理及定理的證明

定理橢圓曲線

y2=x3+9x-26

(2)

有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0),(5,±12),(9,±28),(86,±798).

證明 設(shè)(x,y)是式(2)的解,由式(2)可得

y2=(x-2)(x2+2x+13).

(3)

由于x3+2x+13=(x+1)2+12>0,則從式(3)可知x≥2.當(dāng)x=2時橢圓曲線(2)有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0).因此以下只需考慮x>2時橢圓曲線(2)有解的情況.

因?yàn)間cd(x-2,x2+2x+13)=(x-2,21)=1,3,7,21.所以將式(3)分解成下面4種情形進(jìn)行討論.

情形Ⅰ:x-2=u2,x2+2x+13=v2,y=±uv,gcd(u,v)=1,u,v∈N+.

情形Ⅱ:x-2=3u2,x2+2x+13=3v2,y=±3uv,gcd(u,v)=1,u,v∈N+.

情形Ⅲ:x-2=7u2,x2+2x+13=7v2,y=±7uv,gcd(u,v)=1,u,v∈N+.

情形Ⅳ:x-2=21u2,x2+2x+13=21v2,y=±21uv,gcd(u,v)=1,u,v∈N+.

情形Ⅰ由第2個式子可得(x+1)2+12=v2,則有(v+x+1)(v-x-1)=12,得到僅有當(dāng)v=4,x=1時,滿足u,v∈N+的條件, 將x=1代入第1個式子中可得-1=u2,顯然不成立,故該情形下橢圓曲線(2)無整數(shù)解.

情形Ⅱ由于x=3u2+2, 將其代入x2+2x+13=3v2中并整理可以得到

v2-3(u2+1)2=4,

(4)

從式(4)可知方程

X2-3Y2=4

(5)

有解

(X,Y)=(v,u2+1).

(6)

由于方程

s2-3t2=4,

(7)

的基本解為(s,t)=(4,2),由式(5)與式(7)知,如果(X,Y)是式(5)的解,則式(7)必有解為(s,t)=(X,Y),則根據(jù)引理1可知,式(4)的全部正整數(shù)解滿足

(8)

當(dāng)n=1,u=1,v=4時式(8)成立,即從式(8)可知式(5)僅有1組解(X,Y)=(4,2).當(dāng)u=1,v=4時,由x=3u2+2=5,y=±3uv=±12,可得橢圓曲線(2)有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(5,±12).

情形Ⅲ因?yàn)閤=7u2+2,將其代入x2+2x+13=7v2中并整理可得

4u4+3(u2+1)2=v2.

(9)

當(dāng)u=1,v=4時式(9)有解,由x=7u2+2=9,y=±7uv=±28可得橢圓曲線(2)有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(9,±28).

情形Ⅳ因?yàn)閤=21u2+2,將其代入x2+2x+13=21v2中并整理可得

3(u2+1)2+18u4=v2.

(10)

u=2w,w∈Z+,

(11)

此時x=21u2+2為x=84w2+2,將其代入x2+2x+13=21v2中并整理可得

(12w2+1)2+192w4=v2.

(12)

又因gcd(12w2+1,192w4)=gcd(12w2+1,26×3w4)=gcd(12w2+1,26×3)=1,即gcd(v+12w2+1,v-12w2-1)=2.因?yàn)?92=26×3,則可以將式(12)分解為

(13)

式中r=1,3,16,48.

由式(13)的前2式得

(14)

對式(14)兩邊分別取模3可得

(15)

對(14)式兩邊分別取模4可得

(16)

當(dāng)r=1時,式(15)為

1≡-g4(mod 3).

(17)

當(dāng)r=3時,式(14)為

12w2+1=16f4-3g4,

(18)

將式(18)整理可得

28f4-3(g2+2f2)2=1,

(19)

令s=2f2,t=g2+2f2,則式(19)為

7s2-3t2=1.

(20)

設(shè)式(20)有正整數(shù)解(s,t),而Pell方程(20)的基本解為(2,3),則式(20)的全部解可以被表示為

即式(19)的全部解表示為

(21)

當(dāng)f=1,g=1時,式(21)成立,即從式(21)可知式(20)僅有一組解,由式(11)、式(13)可知w=1,u=2,v=19,故此時橢圓方程(2)有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(86,±798).

當(dāng)r=16時,式(16)為

1≡3f4(mod 4).

(22)

由于f2≡1(mod 4),則f4≡1(mod 4),即3f4≡3(mod 4),故1≡3(mod 4),因此式(22)不成立,即當(dāng)r=16時,式(13)不成立,故情形Ⅳ不成立.

當(dāng)r=48時,式(14)為

12w2+1=f4-48g4,

(23)

將式(23)配方可得

(f2-6g2)2-84g4=1,

(24)

令u=f2-6g2,v=2g2,則式(24)為

u2-21v2=1,

(25)

若式(25)有正整數(shù)解(u,v),而Pell方程(25)的基本解為(55,12),則式(25)的全部正整數(shù)解可表示為

(26)

由此可知,式(24)的全部正整數(shù)解可表示為

(27)

令sn=f2-6g2,rn=2g2,n∈Z+,可以驗(yàn)證式(28)成立,

rn+2=110rn+1-rn;r0=0,r1=12.

(28)

對遞歸序列(28)取模11,得到周期為2的剩余類0,1,0,1,…,并且在n≡1(mod 2)時,有rn≡1(mod 12);n≡0(mod 2)時,有rn≡0(mod 12).由于rn=2g2,則rn為偶數(shù),故當(dāng)n≡0(mod 2)時,式(27)才能成立.

解得f2-6g2=6 049,g2=660,顯然無正整數(shù)解,即當(dāng)r=48時,式(13)不成立,故情形Ⅳ不成立.

綜上定理得證.

3 結(jié) 論

本文得到了當(dāng)a=2,b=13時,橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+b)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0),(5,±12),(9,±28),(86,±798).研究結(jié)果對于研究當(dāng)a,b∈Z時橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+b)的求解有一定的借鑒作用.