一類雙時(shí)滯節(jié)能減排系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

司鳳山, 王 晶, 徐 勇, 王 娟

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030;2. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所, 北京 100094)

隨著工業(yè)化、城鎮(zhèn)化進(jìn)程的加快和消費(fèi)結(jié)構(gòu)的不斷升級,環(huán)境問題仍然是制約經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的因素之一.處理好碳排放、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和環(huán)境保護(hù)之間的關(guān)系,是保證能源價(jià)格穩(wěn)定和能源可持續(xù)利用的關(guān)鍵.

學(xué)者對能效進(jìn)行了研究,努力解決節(jié)能的核心問題.Huang等[1]研究了一種四維分?jǐn)?shù)階的節(jié)能減排系統(tǒng),得到了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)以及不同穩(wěn)定區(qū)域和狀態(tài)下的系統(tǒng)運(yùn)行軌跡,為國家在節(jié)能、碳排放、經(jīng)濟(jì)增長和可再生能源方面的策略制定提供參考.Fang等[2]分析了能源結(jié)構(gòu)調(diào)整對能源效率的影響,討論了節(jié)能減排系統(tǒng)的動力學(xué)行為.結(jié)果表明,能源結(jié)構(gòu)調(diào)整可以有效降低能源強(qiáng)度.Bian等[3]建立了基于非化石能源的非徑向數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型,對我國區(qū)域能源效率進(jìn)行了評價(jià),提出了一種提高節(jié)能減排效率的新方法.Peng等[4]以天津市為例,建立了城市客運(yùn)節(jié)能減排潛力評價(jià)模型,對最終能耗的減排潛力進(jìn)行評價(jià).結(jié)果表明,公共交通的推廣可以使2040年的能源消耗和二氧化碳排放量分別減少22.0%和22.6%.

但是,對于雙時(shí)滯節(jié)能減排系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究相對較少,為此本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上構(gòu)建了具有雙時(shí)滯的三維節(jié)能減排模型,研究雙時(shí)滯的交互作用對模型穩(wěn)定性的影響,并對失穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行有效控制,從而得出一些有價(jià)值的結(jié)論.

1 模型構(gòu)建

文獻(xiàn)[5]中研究的三維節(jié)能減排模型為

(1)

模型(1)展現(xiàn)了節(jié)能減排(x)、碳排放(y)和經(jīng)濟(jì)增長(z)三者間的博弈關(guān)系,各參數(shù)意義見表1.

表1 符號和意義Table 1 Symbols and meanings

在模型(1)中存在的延遲效應(yīng)為:一方面,企業(yè)制定下一期節(jié)能減排(或碳排放)策略時(shí),需要受到當(dāng)前期節(jié)能減排(或碳排放)的影響,而由于當(dāng)前期的節(jié)能減排或者碳排放無法及時(shí)準(zhǔn)確獲取,因此可以把歷史的節(jié)能減排(或碳排放)狀況作為當(dāng)前期的近似值,即參照當(dāng)前期τ1之前時(shí)刻的歷史值;另一方面,企業(yè)制定下一期節(jié)能減排(或碳排放)策略時(shí),也受到當(dāng)前期經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的影響,同理可以參照當(dāng)前期τ2時(shí)刻之前的歷史經(jīng)濟(jì)水平來決策.基于此,在模型(1)的基礎(chǔ)上考慮節(jié)能減排、碳排放和經(jīng)濟(jì)增長之間的延遲決策效應(yīng),得到本文所要研究的雙時(shí)滯節(jié)能減排模型為

(2)

式中:τ1和τ2都是時(shí)滯參數(shù);參照的歷史碳排放與參照的歷史節(jié)能減排是相同歷史時(shí)期的,所以兩者的時(shí)滯參數(shù)都為τ1;而參照的歷史經(jīng)濟(jì)水平是不同時(shí)期的,時(shí)滯參數(shù)為τ2,即τ1≠τ2>0.模型(2)揭示了節(jié)能減排、碳排放和經(jīng)濟(jì)增長之間的延遲決策關(guān)系.本文將討論模型(2)關(guān)于雙時(shí)滯的穩(wěn)定性問題,理順時(shí)滯參數(shù)對模型博弈行為的影響.

2 穩(wěn)定性分析

假設(shè)模型(2)的平衡點(diǎn)為E(x*,y*,z*),若給定模型中各參數(shù)的值可以計(jì)算出具體的平衡點(diǎn).模型(2)在平衡點(diǎn)處可線性化為

(3)

則式(3)的特征方程為

λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B1λ+B0)e-2λτ1+(C1λ+C0)e-λτ2+D0e-λ(τ1+τ2)=0.

(4)

式中:

本文假定τ2已知,通過計(jì)算求得模型關(guān)于τ1的分岔臨界值,即分析當(dāng)τ2固定時(shí),τ1對模型(2)的穩(wěn)定性的影響[6].將式(4)兩邊同乘以eλτ1得

(λ3+A2λ2+A1λ+A0)eλτ1+(B1λ+B0)e-λτ1+(C1λ+C0)e-λτ2eλτ1+D0e-λτ2=0.

(5)

令λ=iω1(ω1>0)是式(5)的一個(gè)根,將其帶入整理得

(6)

式中:

由式(6)得

(7)

整理式(7)得

(8)

式中:

定義

(9)

式(9)根的分布如下[7]:

1) 如果N0<0,則式(9)至少有一個(gè)正根;

根據(jù)式(7)能夠得到

因?yàn)?/p>

所以令

則

(10)

對式(4)兩邊求λ關(guān)于τ1的導(dǎo)數(shù)得到

式中:

g1=(3λ2+2A2λ+A1)eλτ1, g2=B1e-λτ1, g3=(C1-τ2C1λ-τ2C0)eλ(τ1-τ2),g4=-τ2D0e-λτ2,

g5=-λ(λ3+A2λ2+A1λ+A0)eλτ1, g6=-λ(B1λ+B0)e-λτ1, g7=λ(C1λ+C0)eλ(τ1-τ2).

進(jìn)一步得到:

(11)

式中:PR和PI是式(11)分母的實(shí)部和虛部;QR和QI是式(11)分子的實(shí)部和虛部,即

結(jié)論1 對于已給定的固定值τ2,在條件①和條件②都滿足的基礎(chǔ)上,當(dāng)τ1∈[0,τ10)時(shí)模型(2)在平衡點(diǎn)E(x*,y*,z*)處是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ1>τ10時(shí)模型(2)在平衡點(diǎn)處是不穩(wěn)定的;當(dāng)τ1=τ10時(shí)模型(2)則在平衡點(diǎn)處經(jīng)歷Hopf分岔.

同理,如果假定τ1已知,研究模型關(guān)于τ2的動力學(xué)行為,分析過程與上述類似,得到的結(jié)論也基本相同,只是與式(10)相比,τ20的表達(dá)式不同,因此本文不再贅述.

3 數(shù)值仿真分析

本節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證結(jié)論1的正確性,以及探究時(shí)滯參數(shù)對模型穩(wěn)定性的影響.綜合考慮條件①、條件②和文獻(xiàn)[5]中的參數(shù)取值,本文取其中的一組參數(shù)取值為:τ2=0.45,a1=4.5,a2=1.3,a3=20,b1=0.25,b2=0.85,b3=0.35,c1=0.5,c2=0.3,c3=0.2,M=10,C=1,E=8,N=12.經(jīng)計(jì)算模型(2)的平衡點(diǎn)為E(-0.632 3,1.144 0,-0.051 6).

3.1 τ1對模型(2)穩(wěn)定性的影響

圖1 模型(2)關(guān)于τ1的分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of model (2) with respect to τ1

根據(jù)式(8)和式(10)經(jīng)計(jì)算得到ω10=0.947 7,τ10=0.523 4, 并且QRPR+QIPI=8.317 3≠0.根據(jù)結(jié)論1可知,τ10是模型(2)的分岔臨界值,模型關(guān)于τ1的分岔圖如圖1所示.

圖1顯示,在分岔臨界值左側(cè)模型是穩(wěn)定的,在其右側(cè)模型是不穩(wěn)定的,并且τ1越大模型的波動幅度越大.這說明,企業(yè)決策時(shí)參照的歷史碳排放量和歷史節(jié)能狀況是有時(shí)間限制的,只有小于τ10才能確保模型的穩(wěn)定,才能實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排策略的有效性.

3.2 對失穩(wěn)系統(tǒng)的控制

對于失穩(wěn)系統(tǒng)可以通過變量反饋控制法使其恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)[10].為了展現(xiàn)失穩(wěn)系統(tǒng)的控制效果,令(τ1,τ2)=(0.55,0.5)以確保系統(tǒng)先處于失穩(wěn)狀態(tài).

在模型(2)的基礎(chǔ)上增加控制項(xiàng)kx(t)加以調(diào)節(jié),此時(shí)模型(2)為

(12)

圖2 當(dāng)τ1=0.55,τ2=0.5時(shí)模型(12)關(guān)于k的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram of model (12) with respect to k when τ1=0.55,τ2=0.5

式中,k是控制參數(shù),通過調(diào)節(jié)k的值可以影響失穩(wěn)系統(tǒng)控制效果.參數(shù)k對模型(12)的影響如圖2所示.

圖2表明,k=0.4是模型(12)的分岔臨界值,當(dāng)k<0.4時(shí)模型是不穩(wěn)定的,而當(dāng)k>0.4時(shí)模型是穩(wěn)定的,并且k越大模型的穩(wěn)定性越好.所以,失穩(wěn)系統(tǒng)的控制效果依賴于控制參數(shù)k.由上述分析可知,當(dāng)k=0.2時(shí)模型是不穩(wěn)定的,此時(shí)模型的吸引子如圖3所示.當(dāng)k=0.5時(shí)模型是穩(wěn)定的,此時(shí)模型的吸引子如圖4所示.

當(dāng)k=0.2時(shí),模型(12)經(jīng)長期博弈后收斂于極限環(huán);當(dāng)k=0.5時(shí),模型(12)最終收斂于平衡點(diǎn).這說明,k值由0.2跨過分岔臨界值0.4調(diào)整為0.5,則模型同步由不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榱朔€(wěn)定狀態(tài),失穩(wěn)系統(tǒng)得到了有效控制.總之,如果節(jié)能減排系統(tǒng)受到不確定因素影響而失穩(wěn),企業(yè)可以通過增加外部干預(yù)或者調(diào)整現(xiàn)有政策,使不穩(wěn)定的系統(tǒng)回歸穩(wěn)定狀態(tài),從而達(dá)到節(jié)能減排的效果.

圖3 當(dāng)k=0.2,τ1=0.55,τ2=0.5時(shí),模型(12)的吸引子Fig.3 The attractor diagram of model (12) when k=0.2,τ1=0.55,τ2=0.5圖4 當(dāng)k=0.5,τ1=0.55,τ2=0.5時(shí),模型(12)的吸引子Fig.4 The attractor diagram of model (12) when k=0.5,τ1=0.55,τ2=0.5

4 結(jié) 論

本文研究了具有雙時(shí)滯的節(jié)能減排系統(tǒng)的動態(tài)特性,分析了時(shí)滯參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,并對不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行了有效控制.研究表明,系統(tǒng)的不穩(wěn)定會對節(jié)能減排效果產(chǎn)生負(fù)面影響,因此決策時(shí)參照恰當(dāng)歷史時(shí)期經(jīng)濟(jì)水平的重要性要強(qiáng)于歷史碳排放和歷史節(jié)能狀況的選擇時(shí)機(jī).節(jié)能政策和碳排放措施的實(shí)施最好與經(jīng)濟(jì)狀況相匹配,力爭確保延遲時(shí)間盡可能短.

本文只考慮了具有雙延遲的三維節(jié)能減排系統(tǒng),事實(shí)上新能源對節(jié)能減排系統(tǒng)的影響也值得研究,因此帶延遲決策的四維節(jié)能減排系統(tǒng)是下一步研究的內(nèi)容.