廣義漸近偽非擴(kuò)張半群不動(dòng)點(diǎn)Cesro平均黏滯迭代逼近

張樹(shù)義, 張芯語(yǔ)

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

式中:{αn}、{βn}是[0,1]中的實(shí)數(shù)列;f:H→H是壓縮映象;α∈(0,1)是強(qiáng)正有界線性算子;I是恒等映象;T={T(t):t∈R+}是漸近非擴(kuò)張半群類(廣義漸近偽非擴(kuò)張半群,廣義漸近非擴(kuò)張半群,漸近非擴(kuò)張半群)并在一定條件下,在Hilbert空間中建立了廣義漸近偽非擴(kuò)張半群不動(dòng)點(diǎn)的Cesro平均黏滯迭代序列式(1)的強(qiáng)收斂性定理,從而推廣和改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)C是Banach空間E的非空閉凸子集.

1) 映象f:C→C稱為壓縮的,若存在α(0<α<1),對(duì)?x,y∈C,有‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖.

定義3 設(shè)C是Banach空間E的非空閉凸子集,R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集.一族映象T={T(t):t∈R+}:C→C被稱為漸近非擴(kuò)張半群,如果滿足下列條件:

1)T(0)x=x,?x∈C;

2)T(s+t)x=T(s)T(t)x,?x∈C和?s,t∈R+;

3) ?x∈C,映象tT(t)x對(duì)t∈R+是連續(xù)的;

‖(T(t))nx-(T(t))ny‖≤(1+hn)‖x-y‖,?t≥0.

在上面定義中如果條件4)被下列條件代替:

‖(T(t))nx-(T(t))ny‖≤(1+hn)‖x-y‖+ξn,?t≥0,

則稱T為廣義漸近非擴(kuò)張半群.

在上面定義中如果F(T)非空,條件4)被下列條件代替:

‖(T(t))nx-(T(t))ny‖≤(1+hn)‖x-y‖+ξn,?t≥0,

則稱T為廣義漸近偽非擴(kuò)張半群,其中F(T)表示半群T的公共不動(dòng)點(diǎn)集,即

注1 易知具有不動(dòng)點(diǎn)的漸近非擴(kuò)張半群,廣義漸近非擴(kuò)張半群一定是廣義漸近偽非擴(kuò)張半群,但反之一般不成立.

定義4 一非線性半群T={T(t):t∈R+}:C→C稱為L(zhǎng)ipschitz的,若存在L≥1,使得?x,y∈C,有‖(T(t))x-(T(t))y‖≤L‖x-y‖.

注2 易知T={T(t):t∈R+}:C→C是漸近非擴(kuò)張半群,則T一定是Lipschitz的,其中L=1+h1.

引理2 設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,則對(duì)?x,y∈H,有‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,x+y〉.

2 主要結(jié)果

〈(γf-A)q,z-q〉≤0, ?z∈F(T).

(2)

下面證明{xn}有界,?p∈F(T),由式(1),?n>N,有

因此{(lán)xn}有界,從而

也有界.由式(1)

下面證明‖xn-T(t)xn‖→0(n→∞).設(shè)

其中p∈F(T),則D是C的非空有界閉凸子集{xn}?D,并且T是D上廣義漸近偽非擴(kuò)張半群,于是

據(jù)此有

又因{xn}有界,所以存在子列{xnj}?{xn},使得{xnj}弱收斂于q.由引理1知,對(duì)每一t>0,q=T(t)q,故q∈F(T).

容易證明滿足變分不等式(2)的解是唯一的.最后證明xn→q(n→∞),由式(1)和引理2,有

式中D是C的有界子集,則式(1)定義的廣義漸近非擴(kuò)張半群Cesro平均黏滯迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于廣義漸近非擴(kuò)張半群T的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈F(T),且q是下列變分不等式的解:

〈(γf-A)q,z-q〉≤0, ?z∈F(T).

從而

注意到

在定理2中取ξn≡0,便得漸近非擴(kuò)張半群Cesro平均黏滯迭代序列的強(qiáng)收斂定理.

3 結(jié) 論

廣義漸近偽非擴(kuò)張半群是一類比較廣泛的非線性映象, 它以非擴(kuò)張半群、 漸近非擴(kuò)張半群和漸近偽非擴(kuò)張半群為特例. 而廣義漸近偽非擴(kuò)張半群是漸近偽非擴(kuò)張半群的推廣, 因此研究其迭代逼近問(wèn)題是非常有意義的. 本文引入了廣義漸近偽非擴(kuò)張半群Cesro平均黏滯迭代算法, 在一定條件下,在Hilbert空間建立了廣義漸近偽非擴(kuò)張半群不動(dòng)點(diǎn)Cesro平均黏滯迭代序列的強(qiáng)收斂性定理, 推廣和改進(jìn)了一些文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果.