小概率事件的原理及應(yīng)用

張寧 陳龍 姜雁 彭穎 智慧

摘 要：小概率事件原理是概率論中的核心原理之一，該核心原理具有豐富的實(shí)踐意義和廣泛的適用范圍。文章結(jié)合小概率事件的內(nèi)涵、原理以及推斷方法的分析、驗(yàn)證，并且在這一原理分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾個(gè)實(shí)例，包括在假設(shè)檢驗(yàn)，彩票，經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)療，體育和考試等領(lǐng)域，論述其在日常生活中的作用，旨在引導(dǎo)人們進(jìn)一步了解與客觀看待小概率事件，進(jìn)而在平時(shí)趨利避害，使得事物演變的趨勢(shì)逐漸向好而并非不小心落入圈套。

關(guān)鍵詞：小概率;小概率事件原理;假設(shè)檢驗(yàn)

一、引言

當(dāng)下，概率論和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論逐漸在交通、氣象、經(jīng)濟(jì)和醫(yī)療等眾多關(guān)乎民眾日常生活的行業(yè)達(dá)到了大范圍地運(yùn)用與普及。小概率事件，是指事件發(fā)生的可能性（或概率）較小的事件，通常覺(jué)得出現(xiàn)的概率極低或不可能會(huì)出現(xiàn)的事件[1]。分析小概率原理的核心任務(wù)是更為高效地運(yùn)用此原理，通過(guò)各種控制手段引導(dǎo)其朝著理想的趨勢(shì)發(fā)展，避免破壞性小概率事件的出現(xiàn)，由此提升日常生活的便捷度。

小概率事件原理，是一種極富實(shí)用性的基礎(chǔ)概率理論，也是概率論中的核心理論之一[2]。本文結(jié)合平時(shí)生活中較為普遍且具有代表性的實(shí)例，分析了小概率事件的主要特質(zhì)，總結(jié)了其與不可能事件兩者的不同和關(guān)聯(lián)性、小概率事件出現(xiàn)的必然性等，在小概率事件原理分析的基礎(chǔ)上分析解決此類問(wèn)題，并通過(guò)幾個(gè)實(shí)例介紹了小概率事件原理在日常生活中、假設(shè)檢驗(yàn)等幾個(gè)方面的應(yīng)用，了解小概率事件的本質(zhì)，走進(jìn)小概率事件，從而為日常生活提供指導(dǎo)和幫助。

二、小概率事件的定義及原理的介紹

（一） 小概率事件的定義

概率是衡量隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性的定量參數(shù)。概率論設(shè)定為0.01和0.005;認(rèn)為小概率事件，即為出現(xiàn)的概率不足0.01或0.005的事件，此時(shí)的0.01、0.005即為小概率的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[1]。通常來(lái)說(shuō)，研究者設(shè)定小概率事件發(fā)生的概率不足0.05。然而在部分特殊的情況下，如果事件將會(huì)造成極大的損失或傷害，應(yīng)選的小一些，如0.0001，甚至要更小些;否則可適度上調(diào)。小概率事件，僅僅是出現(xiàn)的可能性極低，然而并不意味著不會(huì)出現(xiàn)，無(wú)論概率多小，都是有可能發(fā)生的，即小概率事件發(fā)生的概率永遠(yuǎn)大于0。

（二） 小概率事件的原理

小概率事件原理，又名似然定理，是概率論領(lǐng)域一種富有實(shí)踐價(jià)值的常用理論，其出現(xiàn)的概率約等于經(jīng)過(guò)大量反復(fù)的論證所得到的出現(xiàn)頻率[3]。換而言之：倘若事件A是小概率事件，如果經(jīng)過(guò)一次或少量事件，居然出現(xiàn)了該事件，則可判定此種情形是反常的，事件A本不應(yīng)出現(xiàn)。

小概率事件并非不可能出現(xiàn)的情況。因此人類在平時(shí)的生活與工作中應(yīng)重視小概率事件。能否忽略小概率事件，主要取決于實(shí)際的情形特點(diǎn)。諸如，任何小概率事件對(duì)航天飛機(jī)均可能引發(fā)重大的后果，而某一批商品中存在0.01的不合格品則是并無(wú)大礙的[5]。遇到比較復(fù)雜的情形，小概率事件原理有助于人類進(jìn)一步了解小概率事件出現(xiàn)的根本成因。

三、小概率事件原理在日常生活中的應(yīng)用

小概率原理無(wú)形中對(duì)人類的生活與生產(chǎn)帶來(lái)了諸多的啟發(fā)?，F(xiàn)階段，在醫(yī)療、經(jīng)濟(jì)、氣象、體育和交通等平時(shí)生活中常見的領(lǐng)域，小概率原理都存在著諸多有待探究的問(wèn)題。對(duì)此，主要結(jié)合彩票，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)的方式，綜合探討小概率事件原理的作用和價(jià)值。

四、小概率事件原理在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用

假設(shè)檢驗(yàn)手段是基于小概率原理而設(shè)計(jì)的，確切來(lái)說(shuō)，如果對(duì)某一問(wèn)題設(shè)計(jì)原假設(shè)H0和備選假設(shè)H1，同時(shí)需驗(yàn)證H0的可信度時(shí)，可先假設(shè)其是成立的?；诖思僭O(shè)開始抽樣，倘若出現(xiàn)了一個(gè)小概率事件，那么可基于小概率原理，推斷原假設(shè)H0不成立，由此得到拒絕原假設(shè)H0的結(jié)論。相反，倘若并未出現(xiàn)小概率事件，則沒(méi)有理由拒絕H0，從而認(rèn)可H0。

案例1 某一工廠生產(chǎn)了200件商品，通過(guò)質(zhì)檢才可以出庫(kù)，現(xiàn)限定商品的不合格率應(yīng)該控制在0.01以內(nèi)，從200件商品中隨機(jī)抽出5件，當(dāng)中存在不合格品，問(wèn)此批商品能否出庫(kù)？

解：假定此批商品的不合格率是p，則上述問(wèn)題即為，怎樣結(jié)合抽樣的情況以推斷不等式“p ≤0.01”是否成立？

要檢驗(yàn)的假設(shè)是“p ≤0.01”。首先我們假定 p ≤0.01 成立，此時(shí) 200 件中最多有 2 件次品，從中任取 5 件，令 A 為沒(méi)有取到次品，有古典概型

顯然，。從而從中任意抽取5件出現(xiàn)次品的概率 1- P（A）≤1- 0.95=0.05。

上述計(jì)算表明，倘若“p ≤0.01”，則在每百次實(shí)驗(yàn)中，事件=“任取5件產(chǎn)品出現(xiàn)次品”，發(fā)生的次數(shù)小于等于5次。換而言之，每次試驗(yàn)，事件出現(xiàn)的可能性極低?；谛「怕适录?，在單次試驗(yàn)中，小概率事件是不可能出現(xiàn)的。倘若在某次試驗(yàn)得到了小概率事件，則判定其屬于不正常的情形。但是對(duì)于此案例，在某一實(shí)際抽樣過(guò)程中，事件A居然出現(xiàn)了，其屬于違背情理的。此種情形發(fā)生的原因是什么？主要是由于預(yù)先假設(shè) p ≤0.01，所以“p ≤0.01”這一假設(shè)條件無(wú)法成立。由此反映出此批次商品的不合格率大于0.01，因此認(rèn)為其不能出庫(kù)。因?yàn)樵趩未螠y(cè)試中，小概率事件事實(shí)上是可能會(huì)出現(xiàn)的，因此以上的方式存在出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)。假定測(cè)試可能出現(xiàn)下述兩種錯(cuò)誤。第一種是，如果 H0 事實(shí)上是正確的，而經(jīng)過(guò)推斷認(rèn)定其為錯(cuò)誤的，即為出現(xiàn)了“棄真”的問(wèn)題。顯而易見，出現(xiàn)“棄真”問(wèn)題的概率，即為顯著性水平α。另一種則是，如果 H0事實(shí)上是錯(cuò)誤的，相反經(jīng)過(guò)推論認(rèn)定其是正確的，便出現(xiàn)了“采偽”的問(wèn)題。主觀層面而言，人們是想要力求上述兩種情形出現(xiàn)的概率盡可能低，兩者均為小概率事件。但是研究表明，對(duì)于固定的樣本量，無(wú)法同時(shí)降低出現(xiàn)上述兩種問(wèn)題的概率，減小其中一個(gè)，另一個(gè)就會(huì)增大。如果要他們同時(shí)減小，就只有增加樣本的容量。在實(shí)際問(wèn)題中，由于一般來(lái)說(shuō)，人們更為注重“棄真”，通常會(huì)限定出現(xiàn)第一種錯(cuò)誤的概率α，即為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)定義的“顯著性檢驗(yàn)”[6]。

案例2 一工廠在產(chǎn)品的重復(fù)抽樣檢驗(yàn)中，在200件產(chǎn)品中找到了4件不合格品。由此能否推斷出此工廠產(chǎn)品的不合格率在0.005之內(nèi)？

解：假設(shè)H0=“該廠的次品率不超過(guò)0.005”，A=“一共取了200件中發(fā)現(xiàn)有4件次品”。則

那么我們由以上可以知，當(dāng)該廠的次品率為0.005時(shí)，抽查200件就已經(jīng)出現(xiàn)了4件次品的事件，是個(gè)小概率事件，這時(shí)卻發(fā)生了，那么我們就拒絕原假設(shè)H，也就是說(shuō)該廠的次品率是0.005是不能相信的。

結(jié)合以上的分析可知，假設(shè)檢驗(yàn)的主要方式是，基于樣本總量，觀察在單次測(cè)試中，特定“小概率事件”是否會(huì)出現(xiàn)，由此推測(cè)之前對(duì)總體X的猜測(cè)（即為原假設(shè)）是否成立。主要步驟為：為了論證固有假設(shè)H0是否正確。先認(rèn)為 H0正確，倘若隨后得出了一個(gè)小概率（低于顯著水平α，一般α設(shè)定為0.05 ，0.01 等）情形出現(xiàn)，則認(rèn)定為“反證法”得到了矛盾，由此推斷出 H0 不成立，否則接受H0[7]。

五、總結(jié)

在單次試驗(yàn)中，小概率事件出現(xiàn)的概率近乎為零。然而倘若人們過(guò)于看重部分十分極端的小概率情況，便無(wú)法完成平時(shí)的衣食住行等各種活動(dòng)。綜上所述，小概率事件原理是極為普遍和常見的，是概率論的核心，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)不斷發(fā)展的根基，當(dāng)人類對(duì)海量信息數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與推斷的過(guò)程中，運(yùn)用該原理，可以結(jié)合實(shí)際推理結(jié)果得出正確的結(jié)論，為各種統(tǒng)計(jì)推論提供充分的數(shù)據(jù)理論參考[8]。所以，進(jìn)一步了解小概率事件是人類解決生活工作中各種問(wèn)題的基礎(chǔ)。我們?nèi)绻梢宰匀绲剡\(yùn)用各種概率原理分析問(wèn)題，深入地了解小概率事件的發(fā)生與轉(zhuǎn)變?cè)恚隳軌蛲貙捫「怕试淼倪m用面，推動(dòng)人類生活工作的進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)：

[1] 魏宗舒等;概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）[M].高等教育出版社，2008

[2] 茆詩(shī)松;程依明;濮曉龍;概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004

[3] 孫榮恒;應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第2版）[M].北京：科學(xué)出版社，2003

[4] 王梓坤;馬爾可夫過(guò)程和今日數(shù)學(xué)[M].長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1999

[5] 甘媛;生活中的小概率事件[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，5（1）：5-6

[6] 王福和;論管理中的小概率事件[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2004，6（6）：636

[7] 安國(guó)玲;淺談小概率事件的原理及應(yīng)用[J].河南電高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2010，18（4）：256-260

[8] 張紅玉;楊紅梅;小概率事件的原理分析及應(yīng)用[J].承德石油高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008，10（6）：112-115

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