淺談數(shù)學(xué)中的變形小技巧

王玉潔

摘 要：數(shù)學(xué)是一門靈活性極強(qiáng)的學(xué)科，同種類形的題目以形形色色的面貌出現(xiàn)在我們的面前，確實(shí)讓人眼花繚亂，若不靜下心來(lái)研究難免頭暈?zāi)X脹。但只要細(xì)細(xì)究其根本，不難發(fā)現(xiàn)他們本是同出一脈。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中變形思想極為重要。

關(guān)鍵詞：變形方法;轉(zhuǎn)化思想;整體思想問(wèn)題

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，解題的過(guò)程中能讓學(xué)習(xí)變得更加精彩，通過(guò)數(shù)學(xué)解題，可以使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和進(jìn)一步生活所必需的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。近年來(lái)，在初等數(shù)學(xué)的考試題目越來(lái) 越靈活，特別是在中考選拔性考試中，不僅注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，而且越來(lái)越重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，在解題時(shí)對(duì)有些題目采取正確的解題技巧 ，做出適當(dāng)?shù)淖冃危梢允菇忸}過(guò)程充滿趣味同時(shí)提高解題效率。

一、方程的變形

1、，求代數(shù)式的值

解：因?yàn)?

所以（a2+2ab+b2）+（a2b2+2ab+1）=0

即（a+b）2+（ab+1）2=0;所以（a+b）2=0;ab=-1

=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=-10=0

二、根與系數(shù)關(guān)系變形

1、a、b為方程x+5x+3=0的兩根，求+b的值。

解析：因?yàn)閍+b=-5， ab=3，所以a<0，b<0，

原式=a+b=a+b=--

=-b=-=-【（-5）2-2×3】

=-19

2、已知p2+2p-5=0，5q2 -2pq-1=0，求p2+的值。

解析：方程形式不一樣，應(yīng)想方設(shè)法化為相同的形式，化為x2+2x-5=0的形式。把方程5q2 -2pq-1=0兩邊除以- q2變?yōu)?-5=0.

解：把方程5q2 -2pq-1=0兩邊除以- q2變?yōu)?-5=0.

所以p和是方程x2+2x-5=0的兩根。

所以=（p+）2-=（-2）2-2×（-5）=14

三、拆分法

一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)的形式，反之一個(gè)分式分母的次數(shù)高于分子時(shí)，可以把分?jǐn)?shù)化為整數(shù)部分和分式部分的和，這種方法叫拆分法。拆分法常針對(duì)解決較復(fù)雜的分式計(jì)算。

例，1、計(jì)算：—-

解：原式=（x2? +1+）-（x2-3）_（4-）

=x2+1+-x2+3 -4+ = +=

對(duì)形如的方式可逆用公式=-將分式拆項(xiàng)，某些分式運(yùn)算中巧用拆項(xiàng)法正負(fù)抵消一部分，可使計(jì)算簡(jiǎn)便。

2、計(jì)算??? +? +.....

解：原式=-+-......+-

=-=

對(duì)于比例形式，可設(shè)每份為k，通過(guò)代換把多個(gè)字母復(fù)雜分式變?yōu)橹缓衚簡(jiǎn)單分式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

3、若，求分式的值.

解：設(shè)

四、整體思想

1、若X2+4x-4=0求3（x-2）2-6（x+1）（x-1）的值。

分析：這個(gè)題若通過(guò)求方程的解再代入求值，解是無(wú)理數(shù)，代入后計(jì)算量大，這可謂山路十八彎，把學(xué)生給繞糊涂了，正確率也會(huì)大打折扣。先可化簡(jiǎn)代數(shù)式3（x-2）2-6（x+1）（x-1），可發(fā)現(xiàn)結(jié)果有部分可化為X2+4x的倍數(shù)，采用整體代入法，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，提高正確率。

解：原式=3x2-12x+12-6x2+6=-3x2-12x+18=-3（x2+4x）+18

因?yàn)閄2+4x-4=0，所以X2+4x=4

2、已知：，求的值.

分析：x、y的值無(wú)法求得，不能采用代入法計(jì)算代數(shù)式的值，兩個(gè)因式只含未知項(xiàng)，可采用整體換元法，達(dá)到降低未知項(xiàng)的次數(shù)的目的，從而求得代數(shù)式的值。

解：設(shè)x2+y2=a，原方程可化為a（a-1）=6

a2-a-6=0，即（a-3）（a+2）=6

a-3=0或a+2=0

解得a1=3，a2=-2，又因?yàn)閤2+y2≥=0，所以a=3

即x2+y2=3

3、若x2n = 7，? 求的值

分析：都化為x2n形式，再計(jì)算

解：=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2=9×73-4×72=9×343-4×49=3087-196=2891

五、倒數(shù)法

有已知條件和待求式子，同時(shí)取倒數(shù)后，再逆用分式加減法則對(duì)分式進(jìn)行拆分，然后將三個(gè)已知式相加，這樣解題非常簡(jiǎn)單快捷。

1、已知：x+=3，求的值

分析：方程x+=3，把可化為倒數(shù)形可變形為x+的平方形式，便于計(jì)算。

解：因?yàn)?（x+）2-1=32-1=8

所以=

2、已知三個(gè)數(shù)x、y、z滿足=-2，=，=-的值求的值

解：先將三個(gè)已知條件中分子化為相同，得到=-2，

=，=-，取倒數(shù)（）

=-，=，=-

所以=（++）×? =（-+-）×=-

=-4

數(shù)學(xué)是最靈活的學(xué)科，數(shù)學(xué)題目類型千變?nèi)f化，可謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。在學(xué)習(xí)研究中，我們要識(shí)的廬山真面目，先追根求源找到其蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)本身，通過(guò)轉(zhuǎn)化變形，變成熟知的類型，再解決它，這樣化難為易、化繁就簡(jiǎn)，問(wèn)題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

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[2]魏祥勤. 第2講"方程與不等式"復(fù)習(xí)精講[J]. 中學(xué)生數(shù)理化（中考版），2021（3）：7-15，29.

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