高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型及解題教學(xué)

羅蘇英

摘 要：不等式是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，在整個高中課程體系中所占的比重也尤為突出，能夠與其他類型的知識點結(jié)合到一起，共同考查學(xué)生的思維能力和想象能力，例如函數(shù)，立體幾何等等。對此，本文也將以高中階段的數(shù)學(xué)課堂設(shè)計為切入點，從不等式解題出發(fā)，分析不等式的易錯題型，列舉出具體的解題技巧和方法，希望能夠給相關(guān)教學(xué)工作者帶來一定的參考和啟示，引導(dǎo)學(xué)生梳理解題的思路和方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式教學(xué);易錯題型;解題技巧

引言：

就高中階段的數(shù)學(xué)知識來看，不等式這一知識點涉及到不同領(lǐng)域的內(nèi)容，包括不等關(guān)系，一元二次不等式，線性規(guī)劃，不等式證明，基本不等關(guān)系等等，題目十分靈活且多變，能夠充分考查學(xué)生的綜合能力，也是高考近些年來的熱點話題。也正因為如此，學(xué)生在面對不等式問題的時候，也時常感到無從下手，他們解題的思路不夠清晰，脈絡(luò)相對模糊，一些學(xué)生也認(rèn)為不等式的問題是過于困難的，他們會直接放棄大題。然而，學(xué)生這種做法必然會導(dǎo)致一些分?jǐn)?shù)的白白流失，所以教師就應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析學(xué)生在練習(xí)不等式中常常出錯的題型，傳授給學(xué)生正確的解題思路和技巧，讓學(xué)生能夠活學(xué)活用，舉一反三。

一、定義域和取值范圍的忽略

目前，有相當(dāng)一部分高中生在解答函數(shù)不等式的時候，都會忽略題干設(shè)定的函數(shù)定義域或者是變量的取值范圍，沒有認(rèn)真分析函數(shù)存在的意義和條件，所以在解題的過程中也會出現(xiàn)數(shù)量上的偏差。對此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中牢記基本函數(shù)的定義域，要掌握最為根本的理論知識，例如分?jǐn)?shù)的分母取值不得為0，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0，但不等于1，偶次方根底數(shù)大于等于0等等。以上這些條件雖然看似簡單，但大多都隱含于特定的數(shù)學(xué)不等式中，涉及到一些細(xì)小的知識點，所以也很容易為學(xué)生所忽略，這些細(xì)枝末節(jié)的問題也是影響學(xué)生得分率的重要因素。

二、數(shù)形結(jié)合意識相對薄弱

當(dāng)下，一些不等式的計算的確看起來十分棘手，很多學(xué)生在面對這些看似無法計算的問題是，通常都會感到手足無措，不知道如何下手，也無法理清解題的思路。之所以會出現(xiàn)這一問題，主要原因在于學(xué)生自身的數(shù)形結(jié)合意識是相對薄弱的。通常意義上來講，數(shù)形結(jié)合思想包含了三種不同類型的解題思路，例如由形化數(shù)，數(shù)形轉(zhuǎn)換，由數(shù)化形。在這里，數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)換也涉及到不同的途徑，例如坐標(biāo)系的建立，角度的轉(zhuǎn)化，幾何圖形的構(gòu)造等等。對此，教師就可以讓學(xué)生把數(shù)形結(jié)合思想運用在參數(shù)的取值范圍上，或者是運用在一些特定的不等式問題中，這樣可以進一步轉(zhuǎn)化相對抽象的知識，讓學(xué)生縮短做題的時間和步驟，用圖像的形式獲得更加直觀的答案，幫助學(xué)生進行分析。再加上，一些看似不能直接得出計算結(jié)果的不等式，往往出現(xiàn)在選擇題或者是填空題中，所以學(xué)生也并不需要運用大量的計算方法求出答案，數(shù)形結(jié)合思想就已經(jīng)能夠滿足特定的需求。

三、不等式恒成立的問題

不等式恒成立問題涉及到的知識點是尤為廣泛的，需要學(xué)生結(jié)合不等式定理，幾何圖形知識，函數(shù)運算等多個方面的內(nèi)容，所以對學(xué)生綜合能力的考查是尤為靈活的。一般情況下，不等式恒成立會與數(shù)列知識和函數(shù)知識相結(jié)合，展現(xiàn)到學(xué)生面前，如果學(xué)生并不具備特定的抽象思維，那么在解題的過程中也很有可能出現(xiàn)不必要的錯誤。例如，假設(shè)不等式4x-2>m，對于充分滿足|m|≤2的所有實數(shù)m均成立，計算出m的取值。在解答這一問題時，學(xué)生通常不懂得如何根據(jù)已經(jīng)給這條件構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，也不懂得如何按照函數(shù)的圖像確定m取值成立的條件。對此，教師應(yīng)當(dāng)先引導(dǎo)學(xué)生求解變元，構(gòu)建元函數(shù)[1]。值得注意的是，不等式恒成立的問題通常會涉及到變量方式的分離，原方程式的轉(zhuǎn)化等等，所以教師應(yīng)當(dāng)進一步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注具體的題型，選擇合適的解題方法。

四、不等式參數(shù)問題

含參數(shù)不等式本身就是這一領(lǐng)域的重點和難點知識，而且所占的分值也相對較高，在具體的解答過程中需要列舉出不同的情況來分別討論，如果學(xué)生忽略了某種特定的情況，就很容易出現(xiàn)解答的錯誤。對此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生把重點放在分類探討上，從更為全面的角度出發(fā)。例如，在解決絕對是參數(shù)不等式問題的時，候通常情況下，學(xué)生往往只是針對自變量絕對值的情況進行討論，但卻并沒有對參數(shù)本身的大小作出分析。然而，這一類問題解答的關(guān)鍵就在于消除絕對值符號，所以也必須要針對參數(shù)的范圍進行探討，學(xué)生必須要保證自己的分類討論不會出現(xiàn)重復(fù)或者是紕漏，想辦法將原有的等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，懂得關(guān)注題目中的細(xì)節(jié)性問題。

五、線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃與不等式的結(jié)合，通常是干擾學(xué)生做題的重要因素，這一類問題對知識點的考查十分嚴(yán)格，也牽涉到定義域和最值等方面的理念，一般都與目標(biāo)函數(shù)最小值和最大值的計算有關(guān)。如果題目想要展現(xiàn)出一定的難度，就會與特定的參數(shù)不等式相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生計算參數(shù)的取值范圍和參數(shù)的值[2]。這也就意味著，學(xué)生必須要充分利用線性規(guī)劃的基本知識，理解線性規(guī)劃和不等式之間存在著聯(lián)系。例如，在目標(biāo)函數(shù)最小值確定，自變量和因變量同時滿足特定不等式組，并且參數(shù)的基本范圍已經(jīng)確定的情況下，學(xué)生基本上都會以建立坐標(biāo)系為途徑，構(gòu)建起相應(yīng)的函數(shù)圖形。然而，題目的難點就在于坐標(biāo)系之中，部分學(xué)生在解答的時候無法分清實線和虛線，容易忽略已知的條件。對此，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維來解決問題。例如，已知a>0，并且x，y滿足，x>=2，x+y≤4，y≥a（x-4），目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y的最小值是2，那么參數(shù)的取值范圍又是多少。這一問題中已經(jīng)給出了最值，要求學(xué)生計算直線內(nèi)部的參數(shù)值，學(xué)生就應(yīng)當(dāng)先畫出平面區(qū)域圖形，從a>0這一條件中可以得到，直線y經(jīng)過第一和第三象限，然后代入A（2，-2a）的坐標(biāo)。

六、結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)不等式解題并不是一蹴而就的，必須要經(jīng)歷一個循序漸進的過程，正因為如此，教師才更應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生采用多個角度去分析問題的本質(zhì)，找出解答問題的正確方法。本文通過定義域和取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想，恒成立，參數(shù)求解，線性規(guī)劃這幾個角度，論述了高中不等式易錯題型的類型，并產(chǎn)生了特定的解題方法，充分結(jié)合了高中數(shù)學(xué)基本學(xué)習(xí)內(nèi)容，尊重學(xué)生在課堂上的主體地位，能夠作為教師的參考依據(jù)。在未來，教師也應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生使用均值不等式進行解答。

參考文獻(xiàn)：

[1] 康毅瀟. 高中數(shù)學(xué)不等式易錯題的解題技巧探究[J]. 文淵（小學(xué)版）， 2019， 000（002）：761.

[2] 勒子玉. 高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧的探究與分析[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版， 2019， 000（012）：P.105-105.

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