梳理知識 滲透方法 深度學(xué)習(xí)

王輝

高三一輪復(fù)習(xí)，承載著知識的再現(xiàn)與深化，方法的總結(jié)與凝練，思想的感悟與提升. 復(fù)習(xí)課堂更是學(xué)生參與數(shù)學(xué)基本活動生成經(jīng)驗，提高解決問題能力所在. 下面談?wù)勛约簩σ惠啅?fù)習(xí)的嘗試與思考.

1.梳理模塊知識，構(gòu)建知識體系

1.1梳理模塊知識

數(shù)學(xué)知識是能力的根基，是思想方法的載體，是解決問題的工具. 因此，高三第一輪復(fù)習(xí)需要系統(tǒng)構(gòu)建高中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò). 學(xué)生進(jìn)入高三第一輪復(fù)習(xí)，知識遺忘率較高或者對過往所學(xué)知識仍然一知半解. 這時通過對教材概念、定理、例題、習(xí)題進(jìn)行補缺，掃清知識的盲點，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和運用上升到一個新高度，這是高三一輪復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié).

例如 復(fù)習(xí)“解三角形”時，可以先設(shè)置一些問題串來引領(lǐng)學(xué)生對知識進(jìn)行回憶與建構(gòu)：

（1）請用兩種方法證明余弦定理. 其目的是回顧余弦定理的證明過程.

（2）證明角平分線性質(zhì). 其目的是重現(xiàn)教材例題，回顧此結(jié)論，變于以后解題所需.

（3）設(shè)置開放型問題. 你能寫出解三角形中的一些常用結(jié)論嗎？預(yù)設(shè)會得到;在三角形中，若，則等等.

這樣的教學(xué)設(shè)計目標(biāo)明確，易于進(jìn)行提煉總結(jié)，課堂師生互動，生生互動增多，復(fù)習(xí)課堂高效. 知識的系統(tǒng)化使得知識間建立起了結(jié)構(gòu)關(guān)系、邏輯關(guān)系，讓知識不再孤立. 對知識的系統(tǒng)化要從全局著眼，跨越不同章節(jié)，甚至要聯(lián)系初中數(shù)學(xué)內(nèi)容.

1.2構(gòu)建知識體系

對知識的系統(tǒng)化，可以是要點串聯(lián)，梳理重要的定理的研究模式，也可以是相關(guān)問題比較，還可以是題型歸類，等等.

例如對于比較簡單的內(nèi)容，如集合，可以通過要點串聯(lián)——三個特征，四種表示，兩種關(guān)系，六個特殊數(shù)集（將復(fù)數(shù)集前移），三種運算，一個遷移（對研究對象的表征及分類）. 對于內(nèi)容多且雜的內(nèi)容，宜分幾條主線，如三角函數(shù)，可圍繞三角函數(shù)概念、三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用等主線，而其中的三角函數(shù)的應(yīng)用則要體現(xiàn)應(yīng)用的廣泛性，設(shè)計的例題、習(xí)題要覆蓋三角在不同數(shù)學(xué)分支及實際中的應(yīng)用.

概念是極其重要的基礎(chǔ)知識，應(yīng)重視對它的整合性復(fù)習(xí). 一方面，概念是數(shù)學(xué)理論的“基石”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、抽象性和嚴(yán)密性;另一方面，對概念的把握深刻影響著解題.例如，函數(shù)單調(diào)性這條主線貫穿于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式這些重要內(nèi)容之中，比較各種特殊函數(shù)的單調(diào)性，運用多種方法判斷單調(diào)性，廣泛應(yīng)用單調(diào)性，真正發(fā)揮單調(diào)性概念縱橫聯(lián)系知識、方法的作用.

2.精選例題，滲透思想方法，提高能力

例題可以選擇近年的高考試題（或模擬題），明確高考考什么，怎么考，可能會有哪些變形，激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)欲望，培養(yǎng)學(xué)生解題能力. 教師要把培養(yǎng)學(xué)生的解題思維放在首位，精選有利于“模式化”解題總結(jié)的例題，多選貼近高考的典型題，多角度、有計劃的啟發(fā)和調(diào)動學(xué)生去進(jìn)行積極的思維活動.

例如（高考模擬題） 橢圓長軸的兩個頂點與橢圓上異于這兩頂點的任意一點連線的斜率乘積等于_______.

探究：類比以上結(jié)論，寫出雙曲線具有類似結(jié)論的性質(zhì).

考慮到學(xué)生的層次，為了降低題目的難度，減少抽象感，設(shè)計如下過程：

已知點P是橢圓上異于長軸的兩頂點的任意一點，則點P與長軸兩頂點連線的斜率乘積等于_______.

方法1：通過設(shè)點P坐標(biāo)，利用橢圓方程再去參數(shù)，得到結(jié)果，大多數(shù)采用這種方法.

方法2：考慮結(jié)果是定值，采用特殊值完成，比如設(shè)點P坐標(biāo)為（0，2）.

思考：觀察所得結(jié)果與題目中的兩個分母之間有何聯(lián)系？這種聯(lián)系是必然還是巧合？

讓學(xué)生自己設(shè)計一道類似的題目，比如橢圓方程是，檢測一下自己的猜測是否正確？

有了前面的鋪墊，學(xué)生可以歸納猜想到：答案是，并完成證明. 大膽類比出探究的答案：

雙曲線實軸的兩個頂點與雙曲線上異于這兩頂點的任意一點連線的斜率乘積等于定值.

引導(dǎo)學(xué)生反思：學(xué)習(xí)過程，是由一般性結(jié)論得到特殊性結(jié)論的過程，也是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S過程.

例題的選擇要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，體現(xiàn)“典型性、針對性、層次性.”選取例題的主要途徑有：（1）教材上的典型例題習(xí)題;（2）易錯題;（3）近年的高考真題或模擬題. 因此，高三第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以一些經(jīng)典例題為載體，由淺入深，由表及里，使學(xué)生站在解題的最高點上，這樣在以后獨立面對高考題時，就有“一覽眾山小” 的感覺.

3.加強變式訓(xùn)練，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實，并將它們?nèi)缛缭械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系. 學(xué)會站在命題者的角度去揣摩試題意圖. 打通方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過對問題本質(zhì)、解法本質(zhì)的理解培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

例如（教材習(xí)題） 已知，0<α<π，求的值.

本題主要考查的是兩角差的余弦公式，解題時套用公式即可，但為了研究三角函數(shù)恒等變換的一般規(guī)律，借助此題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練.

變式1：已知，，求cosα的值.

學(xué)生求解本題時，會把展開成，再聯(lián)立，解方程組即可求得. 但是這種方法有復(fù)雜的運算，本題可以把未知角轉(zhuǎn)化為已知角和特殊角，即，再利用和角公式展開即可求得cosα的值.

變式2：已知，，求的值.

研究“已知角”和“未知角”的關(guān)系，發(fā)現(xiàn). 因此，可得，再利用和角公式展開即可求得的值.

變式3：已知，，，，求的值.

把未知角轉(zhuǎn)化為已知角，觀察已知角與未知角間的關(guān)系，即，利用誘導(dǎo)公式及和角公式展開即可求得的值.

高三第一輪復(fù)習(xí)為了提高學(xué)生的解題能力，會設(shè)計相關(guān)的變式訓(xùn)練教學(xué)，在此過程中教師應(yīng)重視對學(xué)生分析、觀察、聯(lián)想、類比等能力的培養(yǎng). 通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生對知識理解更全面，方法選擇更合理.

數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，實際上都應(yīng)被看成一種具有普遍意義的模式. 分為三步走：一是通過一些基本問題的解決，如教材例題、課后習(xí)題，歸納解決一類問題的特征和方法;二是通過一類問題的反復(fù)訓(xùn)練，如變式訓(xùn)練，提高解決一類問題的可辨別性和穩(wěn)定性;三是通過綜合問題的分解回歸，發(fā)展各類問題之間的銜接和聯(lián)系，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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