數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想

張浩

摘 ?要：2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第20題是一道突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)能力的創(chuàng)新題. 數(shù)學(xué)試驗(yàn)和猜想是數(shù)學(xué)研究的基本方式，也是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑. 通過(guò)詳細(xì)分析此題，兼談數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想在數(shù)學(xué)探究中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)試驗(yàn);數(shù)學(xué)猜想;北京高考;壓軸題

眾所周知，近幾年的高考數(shù)學(xué)試題以立德樹人為立足點(diǎn)，著力于數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，試題內(nèi)容突出數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，富有新穎的背景和呈現(xiàn)方式. 分析歷年高考數(shù)學(xué)北京卷理科壓軸題時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)，許多題目具有較深刻的高等數(shù)學(xué)背景（包括但不限于微積分、線性代數(shù)、編碼理論、組合數(shù)學(xué)等），設(shè)問(wèn)新穎，區(qū)分度較高，有利于高等院校的招生和選拔.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出，在命題中，應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力. 對(duì)于此點(diǎn)要求，北京卷的壓軸題常以數(shù)列、集合、數(shù)表為背景，給出新定義或新概念，分層設(shè)問(wèn)，借助實(shí)例逐步引導(dǎo)學(xué)生將抽象概念具象化，并證明相關(guān)結(jié)論或給出符合題目要求的答案，考查學(xué)生接受和理解新知識(shí)的能力. 研究該類型題目能幫助教師和學(xué)生感受“做”數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第20題是一道壓軸題，注重對(duì)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，避免繁復(fù)冗長(zhǎng)的運(yùn)算，將重點(diǎn)放在對(duì)以邏輯思維能力為基礎(chǔ)的對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的考查上，體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)教育的功能. 盡管解答此類試題沒(méi)有固定的“套路”，但仍有一些基本的探究方法. 本文借評(píng)析此題，談?wù)剶?shù)學(xué)試驗(yàn)與數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)探究中的具體應(yīng)用.

一、數(shù)學(xué)試驗(yàn)與數(shù)學(xué)猜想

著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞的《數(shù)學(xué)與猜想》中蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要思想，那就是合情推理，而數(shù)學(xué)猜想就是合情推理中最普遍、最重要的一種. 無(wú)論是歸納還是類比都包含了猜想的成分. 數(shù)學(xué)通常被看作嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C科學(xué)，在壓軸題中通常會(huì)出現(xiàn)求證結(jié)論、需要論證推理這樣可靠的、無(wú)疑義的推理，但發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或發(fā)現(xiàn)新事物卻總是需要“猜想”. 從而從發(fā)現(xiàn)“證明思路”的意義上講，猜想盡管是有風(fēng)險(xiǎn)的嘗試，但它無(wú)疑是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的源泉. 正如波利亞所說(shuō)，我們應(yīng)該學(xué)習(xí)證明法，但我們也要學(xué)習(xí)猜測(cè)法.

歸納法就是一種猜想的方法，而數(shù)學(xué)歸納法是在歸納猜想的基礎(chǔ)上，運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉M(jìn)行證明. 歸納法是科學(xué)家處理經(jīng)驗(yàn)的方法，需要從觀察開始，從中獲得有益或有趣的事實(shí). 對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，就是需要觀察數(shù)學(xué)對(duì)象，而最具體的對(duì)象就是例子. 本文所指的數(shù)學(xué)試驗(yàn)是指包含構(gòu)造數(shù)學(xué)例子或反例、發(fā)現(xiàn)或猜測(cè)例子表現(xiàn)出來(lái)的一般性質(zhì)或規(guī)律，以及驗(yàn)證例子或性質(zhì)、推廣例子等的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 數(shù)學(xué)試驗(yàn)是數(shù)學(xué)猜想和證明的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的發(fā)展同樣離不開這些基本的數(shù)學(xué)活動(dòng). 數(shù)學(xué)家哈爾莫斯在其自傳中說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)并非一門演繹科學(xué)——那已是老生常談了. 當(dāng)你試圖去證明一個(gè)定理時(shí)，你不只是羅列假設(shè)，然后開始推理，你所要做的工作應(yīng)是反復(fù)試驗(yàn)，不斷摸索、猜測(cè). 你要想弄清楚事實(shí)真相，在這點(diǎn)上你做的就像實(shí)驗(yàn)室里的技師，只是在其精確性和信息量上有些區(qū)別罷了. 偉大的數(shù)學(xué)家高斯對(duì)素?cái)?shù)的例子做了大量的計(jì)算之后提出了素?cái)?shù)定理的猜想，數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柾茝V了很多高斯的研究工作，庫(kù)默爾的發(fā)現(xiàn)并不是依賴抽象的思索，而正是依賴于特殊計(jì)算實(shí)例的不斷積累. 數(shù)學(xué)猜想也一直影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展，20世紀(jì)有希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題，21世紀(jì)有克雷數(shù)學(xué)研究所提出的7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題. 著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩也曾提出應(yīng)當(dāng)把“直覺(jué)—探試—出錯(cuò)—思索—猜想—證明”作為理解數(shù)學(xué)的過(guò)程. 因此，數(shù)學(xué)試驗(yàn)與數(shù)學(xué)猜想不只用于數(shù)學(xué)解題，對(duì)數(shù)學(xué)探究及真正的數(shù)學(xué)研究也是至關(guān)重要的.

二、試題呈現(xiàn)

2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第20題如下.

已知數(shù)列[an]，從中選取第[i1]項(xiàng)，第[i2]項(xiàng)，[…]，第[im]項(xiàng)（[i1<i2<…<im]），若[ai1<ai2<…<aim]，則稱新數(shù)列[ai1，ai2，…，aim]為[an]的長(zhǎng)度為[m]的遞增子列. 規(guī)定：數(shù)列[an]的任意一項(xiàng)都是[an]的長(zhǎng)度為[1]的遞增子列.

（1）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為[4]的遞增子列;

（2）已知數(shù)列[an]的長(zhǎng)度為[p]的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為[am0]，長(zhǎng)度為[q]的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為[an0]. 若[p<q]，求證：[am0<an0];

（3）設(shè)無(wú)窮數(shù)列[an]的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等. 若[an]的長(zhǎng)度為[s]的遞增子列末項(xiàng)的最小值為[2s-1]，且長(zhǎng)度為[s]末項(xiàng)為[2s-1]的遞增子列恰有[2s-1]個(gè)（[s=1，2，…]），求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

題干給出的是形式化的定義，需要充分利用富有啟發(fā)性的例子來(lái)理解題目中的新定義，將新定義與已有的知識(shí)建立聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)試驗(yàn)和猜想來(lái)幫助求解或求證：通過(guò)多舉例子或討論特殊情況，觀察例子中產(chǎn)生的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出合理的猜想，再進(jìn)行邏輯推理，最后梳理并簡(jiǎn)化討論，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和邏輯語(yǔ)言進(jìn)行陳述，整理成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

三、第（1）小題的數(shù)學(xué)試驗(yàn)

該題共有三道小題，第（1）小題給出一個(gè)例子將題干中的抽象概念具體化，讓學(xué)生自行做數(shù)學(xué)試驗(yàn). 核心概念是長(zhǎng)度為[m]的遞增子列，長(zhǎng)度相當(dāng)于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，而遞增數(shù)列也是容易理解的，唯獨(dú)子列的概念需要學(xué)生注意. 學(xué)生需要把題目中的形式化敘述翻譯成自然語(yǔ)言或者更易理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 子列相當(dāng)于從原數(shù)列中取出一部分項(xiàng)后按照原來(lái)的相對(duì)位置排列形成的數(shù)列. 實(shí)際上，這是分析學(xué)中的基本概念.

數(shù)學(xué)試驗(yàn)：不單為求解第（1）小題，也為了深入理解新概念，可以對(duì)數(shù)列1，8，3，7，5，6，9分別給出長(zhǎng)度為1，2，3，4，5的遞增子列，這里給出所有長(zhǎng)度為4和5的遞增子列.

長(zhǎng)度為4的遞增子列：1，3，5，6;1，3，5，9;1，3，6，9;1，5，6，9;3，5，6，9;1，3，7，9;

長(zhǎng)度為5的遞增子列：1，3，5，6，9.

可以看出不存在長(zhǎng)度大于5的遞增子列.

從這一試驗(yàn)中能發(fā)現(xiàn)哪些有益的事實(shí)呢？從長(zhǎng)度為5的遞增子列中任選4項(xiàng)組成一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列，共有[C45=5]種情況. 這是因?yàn)樵瓟?shù)列的遞增子列的遞增子列還是原數(shù)列的遞增子列，同時(shí)是原數(shù)列中恰好長(zhǎng)度為4的遞增子列.

還可以通過(guò)思考下列幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步理解遞增子列的概念.

（1）如何構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，使其存在長(zhǎng)度為[m]的遞增子列？（先構(gòu)造共[m]項(xiàng)的遞增數(shù)列，在該數(shù)列中任意位置插入其他數(shù)均可.）

（2）是否任何數(shù)列都有長(zhǎng)度為[m m≥2]的遞增子列？（未必，遞減數(shù)列則無(wú).）

（3）嘗試給出長(zhǎng)度為[m]的遞減子列的定義，并對(duì)這個(gè)定義討論上述問(wèn)題.（從數(shù)列[an]中選取第[i1]項(xiàng)，第[i2]項(xiàng)，[…]，第[im]項(xiàng)（[i1<i2<…<im]），若[ai1>][ai2>…>aim]，則稱新數(shù)列[ai1，ai2，…，aim]為[an]的長(zhǎng)度為[m]的遞減子列. 實(shí)際上，遞增子列和遞減子列是單調(diào)子列的兩種情況.）

四、第（2）小題的數(shù)學(xué)試驗(yàn)與求解

第（1）小題的例子是一個(gè)啟發(fā)性例子，在求證第（2）小題時(shí)，可以先進(jìn)行這樣的數(shù)學(xué)試驗(yàn)——驗(yàn)證第（1）小題中的例子是否符合結(jié)論.

數(shù)學(xué)試驗(yàn)：容易看出，結(jié)論對(duì)[p=1]，[q>1]的特殊情況成立. 下面對(duì)長(zhǎng)度為4，5的遞增子列進(jìn)行驗(yàn)證，其余情況類似：當(dāng)[p=4]時(shí)，[am0=6]，當(dāng)[q=5]時(shí)，[an0=9]，顯然[am0<an0]，結(jié)論成立. 這個(gè)例子還可以進(jìn)一步挖掘，長(zhǎng)度為3的末項(xiàng)最小的遞增子列是1，3，5，長(zhǎng)度為4的末項(xiàng)最小的遞增子列是1，3，5，6，長(zhǎng)度為5的遞增子列只有一個(gè)1，3，5，6，9. 從第（1）小題的數(shù)學(xué)試驗(yàn)中得到，從長(zhǎng)度為5的遞增子列中任取3項(xiàng)，得到長(zhǎng)度為[3]的遞增子列，其末項(xiàng)大于等于[5]，任取4項(xiàng)得到長(zhǎng)度為4的遞增子列，其末項(xiàng)大于等于[6]. 而長(zhǎng)度為5的遞增子列的末項(xiàng)9一定大于前三項(xiàng)組成的子列的末項(xiàng)5，而5是不小于長(zhǎng)度為3的遞增子列的末項(xiàng)的最小值的，于是結(jié)論成立.

現(xiàn)在把上面的4，5替換為[p，q]，就可以得到一般的結(jié)論. 其思路是：從長(zhǎng)度為[q]的末項(xiàng)最小的遞增子列中選前[p]項(xiàng)得到一個(gè)長(zhǎng)度為[p]的遞增子列，得到長(zhǎng)度為[q]的遞增子列的末項(xiàng)一定大于等于長(zhǎng)度為[p]的遞增子列的末項(xiàng)的最小值，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述如下.

設(shè)長(zhǎng)度為[q]末項(xiàng)為[an0]的一個(gè)遞增子列為[aj1，][aj2，…，ajp，…，ajq=an0.]

由[p<q]，得[ajp<an0]. 因?yàn)閇an]的長(zhǎng)度為[p]的遞增子列末項(xiàng)的最小值為[am0]，[aj1，aj2，…，ajp]是[an]的長(zhǎng)度為[p]的遞增子列，所以[am0≤ajp]. 所以[am0<an0]. 證畢.

該題還可以用反證法進(jìn)行證明：當(dāng)[p<q]時(shí)，假設(shè)[am0≥an0]. 設(shè)長(zhǎng)度為[q]且末項(xiàng)的最小值為[an0]的遞增子列為[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0.] 如果[am0≥an0]，那么[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0≤][am0]，于是可以得到一個(gè)長(zhǎng)度為[p]的遞增子列[aj1<][aj2<…<ajp]，并且[ajp<am0]. 這樣就找到了一個(gè)長(zhǎng)度為[p]的遞增子列，且末項(xiàng)比[am0]小，與長(zhǎng)度為[p]的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為[am0]矛盾. 因此若[p<q]，則[am0<an0]. 證畢.

五、第（3）小題的數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想

對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，直接進(jìn)行推理論證是困難的，可以把目標(biāo)進(jìn)行分解，以避免同時(shí)應(yīng)付太多的邏輯推理. 這一小題做歸納的數(shù)學(xué)試驗(yàn).

數(shù)學(xué)試驗(yàn)：從具體例子入手，討論[s=1，2，3]的情況，提出猜想，并提出分解的證明目標(biāo).

[s=1]時(shí)的條件說(shuō)明該數(shù)列中最小值為1，且只有1個(gè)，這也與數(shù)列中任意兩項(xiàng)不相等相容.

[s=2]時(shí)，長(zhǎng)度為2的遞增子列末項(xiàng)的最小值為3，且長(zhǎng)度為2末項(xiàng)為3的遞增子列恰有[22-1=2]個(gè). 比3小的正整數(shù)只有1，2，遞增子列只能為1，3或2，3. 注意不能出現(xiàn)1，2，否則長(zhǎng)度為2的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2，因此1，2，3的相對(duì)順序?yàn)?，1，3.

[s=3]時(shí)，長(zhǎng)度為3的遞增子列末項(xiàng)的最小值為5，且長(zhǎng)度為3末項(xiàng)為5的遞增子列恰有[23-1=4]個(gè). 有了前面的鋪墊，已知1，3，5和2，3，5是這樣的兩個(gè)遞增子列，要想再出現(xiàn)兩個(gè)，中間必須出現(xiàn)4. 如果出現(xiàn)2，1，3，4，5，那么可以找到2，3，4這樣的長(zhǎng)度為3的遞增子列，末項(xiàng)最小值比5小，不符合題意，因此4不能在3之后，因此1，2，3，4，5在數(shù)列中相對(duì)順序應(yīng)該為2，1，4，3，5.

類似地，還可以考慮[s=4，5，…]，可以得到所有的正奇數(shù)都在數(shù)列中，得到下表.

數(shù)學(xué)猜想：此時(shí)，已經(jīng)能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如2要在1前，4要在3前，可以猜測(cè)6在5前，8在7前，等等;3要在1后，5要在3后，可以猜測(cè)7在5后，9在7后，等等.

注意，這里根據(jù)幾個(gè)特例進(jìn)行猜測(cè)的方法是科學(xué)研究中普遍采用的歸納法，不是數(shù)學(xué)歸納法，這是進(jìn)行研究的一般思維方法. 從特例中總結(jié)出來(lái)的命題可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，因此這種方法通常稱為不完全歸納法. 這種由不完全歸納法提出的猜測(cè)也稱為似然猜測(cè). 得出猜想之后，想知道它是正確還是錯(cuò)誤，可以進(jìn)一步做數(shù)學(xué)試驗(yàn).

考察其他特例，如果一個(gè)猜想的命題在新的例子中得到證實(shí)，那么該猜想就變得更可信了，我們對(duì)它的信心也就增強(qiáng)了. 經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，[s=4]時(shí)，相對(duì)順序?yàn)?，1，4，3，6，5，7，[s=5]時(shí)，相對(duì)順序?yàn)?，1，4，3，6，5，8，7，9，這使得之前得出的猜想更可信了. 于是可以猜想出這個(gè)數(shù)列為[2，1，4，3，6，5，8，7，][10，9，…]，通項(xiàng)公式為[an=n-1 n為偶數(shù)，且n≥2，n+1 n為奇數(shù)，且n≥1.]

觀察猜想出的這個(gè)數(shù)列，所有的正整數(shù)都在數(shù)列中，將數(shù)列的項(xiàng)每?jī)身?xiàng)一組進(jìn)行分組：[2，1;4，3;][6，5;8，7;….]

每組中的偶數(shù)在奇數(shù)之前，并且組間的順序是[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后.

現(xiàn)在將猜想整理成欲證的斷言.

斷言1：[an]包含所有的正偶數(shù)，從而包含所有的正整數(shù).

斷言2：若[2m]是[an]中的項(xiàng)，則[2m]排在[2m-1]之前（[m∈N*]）.

斷言3：[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后，[m≥2]，且[m]為整數(shù).

如果這些斷言成立，根據(jù)斷言1和斷言2，所有的正整數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)的前后順序?yàn)?，1;4，3;6，5;8，7;[2m，2m-1];[…].

再按照斷言3，如果這樣的數(shù)列存在，則數(shù)列[an]只能為[2，1，4，3，…，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…].

這個(gè)數(shù)列到底是否符合題意，還需要進(jìn)行數(shù)學(xué)試驗(yàn)——驗(yàn)證.

數(shù)學(xué)試驗(yàn)：很明顯，這個(gè)數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，各項(xiàng)均為正整數(shù)且任意兩項(xiàng)均不相等. 從首項(xiàng)開始，每?jī)身?xiàng)分組，前[s-1]組每組選一項(xiàng)，按照順序排列，第[s]組取[2s-1]可以得到長(zhǎng)度為[s]的遞增子列末項(xiàng)的最小值為[2s-1]. 如果不用這種取法，長(zhǎng)度為[s]的遞增子列末項(xiàng)的最小值將會(huì)超過(guò)[2s-1];前[s-1]組每組任意選一項(xiàng)，每組有兩種取法，因此這樣的取法共[2s-1]種，即長(zhǎng)度為[s]末項(xiàng)為[2s-1]的遞增子列恰有[2s-1]個(gè)，于是驗(yàn)證可知這個(gè)數(shù)列是所求數(shù)列.

若這3個(gè)斷言得到證明，則可以得出結(jié)論. 剩下的就是分步證明3個(gè)斷言. 在證明之前，先看看該如何選取證明的先后順序.

數(shù)學(xué)猜想：通過(guò)前面的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)長(zhǎng)度為[s]的遞增數(shù)列末項(xiàng)最小值為[2s-1]“應(yīng)該”能知道相鄰的奇數(shù)和偶數(shù)的相對(duì)位置，偶數(shù)“應(yīng)該”是用來(lái)補(bǔ)足[2s-1]個(gè)子列的，而另外成組的順序如果變了，也“應(yīng)該”會(huì)影響子列的個(gè)數(shù). 于是猜想：證明斷言2時(shí)會(huì)用到“長(zhǎng)度為[s]的遞增數(shù)列末項(xiàng)最小值為[2s-1]”這個(gè)較簡(jiǎn)單的條件，證明斷言1和斷言3可能需要用到關(guān)于子列個(gè)數(shù)的條件. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，與計(jì)數(shù)有關(guān)的條件涉及排列組合，也更復(fù)雜一些. 因此，接下來(lái)按照“斷言2—斷言1[—]斷言3”的順序進(jìn)行證明.

斷言2的證明：

數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想：重溫剛才的數(shù)學(xué)試驗(yàn)，討論4的位置時(shí)用的方法是試錯(cuò)法：若出現(xiàn)2，1，3，4，存在長(zhǎng)度為2末項(xiàng)為3的遞增子列，如1，3，后面添加4得到1，3，4，與長(zhǎng)度為3的遞增子列的末項(xiàng)最小值為5矛盾. 試錯(cuò)法，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述就是反證法，這啟發(fā)我們繼續(xù)使用反證法進(jìn)行證明.

證明：反證法. 假設(shè)[2m]排在[2m-1]之后. 根據(jù)已知，存在一個(gè)長(zhǎng)度為[m]末項(xiàng)為[2m-1]的遞增子列. 設(shè)為[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1].

根據(jù)假設(shè)，[2m]在[2m-1]之后，

于是[2m]自然地可以添加到上面的不等式鏈，得到[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1<2m].

于是得到了一個(gè)長(zhǎng)度為[m+1]而末項(xiàng)為[2m]的遞增子列，但長(zhǎng)度為[m+1]的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為[2m+1]，矛盾.

因此[2m]排在[2m-1]之前.

斷言1的證明：

數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想：在剛才的數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，[s=3]時(shí)，在已知相對(duì)順序?yàn)?，1，3，5的情況下必須引入4才使得子列個(gè)數(shù)與題意相符. 可以想象，如果缺少偶數(shù)，那么子列個(gè)數(shù)不夠，就會(huì)與已知產(chǎn)生矛盾. 如果正偶數(shù)[2，4，6，8，…]中的2不在數(shù)列中，那么在討論[s=2]時(shí)就可以得到矛盾;如果2在數(shù)列中，4不在，那么在討論[s=3]時(shí)就得到矛盾;可以猜想如果[2m]之前的偶數(shù)都在數(shù)列中，而[2m]不在，那么在討論[s=m+1]時(shí)會(huì)出現(xiàn)矛盾. 將這些猜想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言并證明如下.

證明：反證法. 假設(shè)存在正偶數(shù)不在[an]中.

設(shè)[S]是所有不在[an]中的偶數(shù)，則[S?N*].

根據(jù)假設(shè)，[S≠?].

因此[S]中存在最小數(shù)，記最小數(shù)為[2m].

根據(jù)題意，[an]中包含所有奇數(shù)，其中不超過(guò)[2m+1]的數(shù)為 [1，2，3，…，2m-2，2m-1，2m+1.]

根據(jù)斷言2，[2k]排在[2k-1]之前，所以[2k]和[2k-1]不能同時(shí)出現(xiàn)在[an]的同一個(gè)遞增子列中. 所以長(zhǎng)度為[m+1]且末項(xiàng)為[2m+1]的遞增子列的個(gè)數(shù)至多為[2×2×2×…×2m-1個(gè)2×1×1=2m-1<2m]. 與已知矛盾. 注意個(gè)數(shù)最多的情況為[2，1，4，3，6，5，…，2k，2k-1，…，][2m-2，2m-3，2m-1，2m+1.]

數(shù)學(xué)試驗(yàn)：在這里可以再做一次試驗(yàn)，用具體的例子驗(yàn)證形式化的證明過(guò)程. 若[8=2×4]不在數(shù)列中，則不超過(guò)9的數(shù)為1，2，3，4，5，6，7，9. 前面知道，每一對(duì)數(shù)中相對(duì)順序是2，1;4，3;6，5;7;9. 長(zhǎng)度為5且末項(xiàng)為9的遞增子列個(gè)數(shù)至多只有8個(gè)：1，3，5，7，9;2，3，5，7，9;1，4，5，7，9;2，4，5，7，9;1，3，6，7，9;2，3，6，7，9;1，4，6，7，9;2，4，6，7，9. 與[24=16]相比還少8個(gè)，這8個(gè)就是第4項(xiàng)為8的那些：1，3，5，8，9;2，3，5，8，9;1，4，5，8，9;2，4，5，8，9;1，3，6，8，9;2，3，6，8，9;1，4，6，8，9;2，4，6，8，9.

斷言3的證明：

數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想：先舉一例來(lái)啟發(fā)證明過(guò)程. 若6，5在4，3之前：[2，1，6，5，4，3，…]，則長(zhǎng)度為3末項(xiàng)為5的遞增子列不存在. 注意長(zhǎng)度為2末項(xiàng)為3的遞增子列是存在的：1，3;2，3，且確實(shí)是[22-1=2]個(gè).

證明：反證法. 假設(shè)存在[m m≥2]使得[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之前，且[m]是所有滿足這種條件的最小數(shù)，即[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，2m-5，][2m，2m-1，…，2m-2，2m-3，….]

考慮[an]的長(zhǎng)度為[m]且末項(xiàng)為[2m-1]的遞增子列：要想得到這樣的子列，需要從[2，1，4，3，6，][5，…，2m-4，2m-5]得到長(zhǎng)度為[m-1]的遞增子列，同前面取法一樣，兩兩一組，每組任取一個(gè)，取到[2m-4，2m-5]時(shí)只能取[m-2]項(xiàng)，從[2，1，4，3，][6，5，…，2m-4，2m-5]中得到的長(zhǎng)度最長(zhǎng)的遞增子列只有[m-2]項(xiàng)，因此不存在長(zhǎng)度為[m]且末項(xiàng)為[2m-1]的遞增子列，與題意矛盾.

或者還可以這樣導(dǎo)出矛盾：由假設(shè)可知[an]的長(zhǎng)度為[m+1]且末項(xiàng)為[2m+1]的遞增子列的個(gè)數(shù)小于[2m]，因?yàn)橹挥挟?dāng)這些數(shù)排成[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，][2m-5，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…]時(shí)，長(zhǎng)度為[m+1]且末項(xiàng)為[2m+1]的遞增子列的個(gè)數(shù)才能為[2m].

三個(gè)斷言證畢，綜上可得結(jié)論：符合條件的數(shù)列[an]是唯一的，[an=n-1 n為偶數(shù)，且n≥2，n+1 n為奇數(shù)，且n≥1.] 該數(shù)列是由兩個(gè)遞增數(shù)列[1，3，5，7，9，…]和[2，4，6，8，][10，…]穿插得到的.

六、評(píng)述

需要指出的是，當(dāng)猜想出數(shù)列的通項(xiàng)后，如果使用數(shù)學(xué)歸納法，說(shuō)清歸納的起始步驟[a1=2，a2=1]是不容易的. 根據(jù)題中[s=2]的條件，只能知道2在1之前，但不清楚是否有其他數(shù)在[2]之前，也不清楚[2]和[1]之間是否有其他數(shù). 要想說(shuō)明[2]是首項(xiàng)必須說(shuō)清楚其他數(shù)不能在[2]之前，想當(dāng)然地認(rèn)為[a1=2，a2=1]成立是不正確的.

在參考答案中，關(guān)于驗(yàn)證只有一句話：“經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列[2，1，4，3，…，2m-3，2m，2m-1，…]符合條件.”盡管只有一句話，但驗(yàn)證的過(guò)程是必要的. 一般地，根據(jù)題意求出的是必要條件，需要通過(guò)驗(yàn)證來(lái)得到這是充分條件. 用邏輯化的方式表達(dá)：設(shè)所有滿足題意的數(shù)列的集合為[S]，從已知求得的數(shù)列的集合為[T]，由題意得到[T=an]，已知[S?T]，要想使[S=T]，還要證明[T?S]，也就是驗(yàn)證數(shù)列滿足題意即可，并且這也說(shuō)明了符合題意的數(shù)列是唯一的.

下面用一個(gè)更淺顯的例子來(lái)說(shuō)明這一現(xiàn)象. 由[a2=4，a>0]可推出[a>1]. [a>1]是[a2=4，a>0]的必要條件，但[a>1]無(wú)法推出[a2=4]，即[a>1]不是[a2=4，a>0]的充分條件. 若問(wèn)題是“已知[a2=4，a>0]，求[a]的范圍”. 顯然答案應(yīng)該不是[a2=4，a>0]的這個(gè)必要條件[a>1]，而是一個(gè)充分必要條件[a=2].

如果將這道壓軸題第（3）小題的設(shè)問(wèn)改為“給出一個(gè)符合條件的數(shù)列并說(shuō)明理由”，實(shí)際上不需要證明前面所述的斷言1、斷言2、斷言3，提出猜想之后只需驗(yàn)證滿足條件即可，這樣會(huì)降低試題的難度. 因?yàn)檫@相當(dāng)于給出充分條件即可，而該題要求的答案為“充分必要條件”.

在壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的子列這一概念，也是命題評(píng)價(jià)在高中與大學(xué)銜接方面的嘗試. 數(shù)列的子列這一概念非?；?，在數(shù)學(xué)分析中討論無(wú)窮數(shù)列的斂散性和函數(shù)極限時(shí)起了關(guān)鍵作用，并且與數(shù)列的上、下極限密切相關(guān)，是分析學(xué)中的基本工具. 這里列舉幾條與無(wú)窮數(shù)列的子列有關(guān)的結(jié)論：收斂數(shù)列的每一個(gè)子列都收斂于同一極限;存在發(fā)散子列的數(shù)列一定發(fā)散;若存在兩個(gè)收斂于不同極限的子列，則該數(shù)列發(fā)散;單調(diào)數(shù)列收斂的充分必要條件是存在一個(gè)收斂子列;數(shù)列收斂的充分必要條件是奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列收斂到同一極限;數(shù)列有界則一定存在收斂子列;數(shù)列有界的充分必要條件是它的每一個(gè)子列都有收斂子列;數(shù)列無(wú)界則存在子列為無(wú)窮大量;每個(gè)數(shù)列都有單調(diào)子列等.

根據(jù)筆者的了解，北京卷壓軸題在中學(xué)課堂上進(jìn)行講授的情況還不多，希望本文的數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想能在更多的課堂教學(xué)中看到，希望更多的學(xué)生自主進(jìn)行數(shù)學(xué)試驗(yàn)與猜想，掌握基本而重要的學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識(shí)的能力. 畢竟作為教師，需要教給學(xué)生如何學(xué)習(xí)未知的知識(shí).

最后，將數(shù)學(xué)家哈爾莫斯的一段話送給廣大教師：我們給未來(lái)的工程師、物理學(xué)家、生物學(xué)家、心理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家，還有數(shù)學(xué)家教數(shù)學(xué). 如果我們只教會(huì)他們解課本中的習(xí)題，那不等他們畢業(yè)，他們受到的教育便過(guò)時(shí)了. 即使從粗糙而世俗的工商業(yè)觀點(diǎn)來(lái)看，我們的學(xué)生也得準(zhǔn)備回答未來(lái)的問(wèn)題，甚至在我們課堂上從未問(wèn)過(guò)的問(wèn)題. 只教他們已為人們所知的一切東西是不夠的——他們也必須知道如何去發(fā)現(xiàn)尚未被發(fā)現(xiàn)的東西.

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