淺析2016年常州中考數(shù)學(xué)壓軸題解法

呂婷婷

摘要：常州市2016年中考數(shù)學(xué)第28題作為一道壓軸題，所考察的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大，有很高的區(qū)分度，在很大程度上體現(xiàn)了選拔功能.本文主要對(duì)該題進(jìn)行了分析并給出了多種解法.

關(guān)鍵詞：中考 壓軸題 分析 多種解法

常州市2016年的最后一道壓軸題是圓的綜合題，綜合考察了正方形、圓及其切線、全等三角形的性質(zhì)及判定；同時(shí)利用特殊的三角函數(shù)值求角的度數(shù)，還考察了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度較大.下面就對(duì)該題的解法作簡(jiǎn)要分析：

【題目】如圖，正方形 的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn) 在射線 上（異于點(diǎn) ），直線 與對(duì)角線 及射線 分別交于點(diǎn) .

（1）若 ，求 的度數(shù).

（2）若點(diǎn) 在線段 上，過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，當(dāng) 時(shí)，求 的長(zhǎng)；

（3）以 為直徑作 .

①判斷 和 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)直線 與 相切時(shí)，直接寫(xiě)出 的長(zhǎng).

【分析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函數(shù)值求∠BAP的度數(shù)；

（2）可根據(jù)三角形的全等、正方形的性質(zhì)、相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊成比例，求解得出 的長(zhǎng)度；

（3）該小題中的兩個(gè)問(wèn)題均需要考慮點(diǎn) 在線段 上，以及點(diǎn) 在線段 的延長(zhǎng)線上兩種情況.

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAP=30°；

（2）①解法一：

解后反思：

正方形中隱含平行線，有較多的相似三角形，因此存在大量的等量關(guān)系，用方程思想求 的長(zhǎng)是常規(guī)解題途徑，而解方程組要靈活運(yùn)用消元思想.在尋找證明思路時(shí)，常需順推分析和逆推分析相結(jié)合，理順?biāo)悸罚炊ɡ淼臈l件和結(jié)論書(shū)寫(xiě)即可.思考問(wèn)題必須全面，敘述要詳略得當(dāng).本題條件中給出 為射線 上一點(diǎn)，而圖形中僅畫(huà)出點(diǎn) 在線段 上的情況，要運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，觀察和猜想位置變化后的相同之處和不同之處.當(dāng)位置變化后，如果結(jié)論和證明思路基本相同，那么應(yīng)簡(jiǎn)單述之；如果結(jié)論和證明思路有變化，那么應(yīng)敘述清楚不同之處.

一道好的中考題，往往會(huì)有多種解法，因此我們應(yīng)該重視變式練習(xí)，重視對(duì)解題規(guī)律的總結(jié)，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)精選一些好題進(jìn)行一題多解的練習(xí)，這樣不僅能提高自己的解題能力，做到舉一反三，觸類(lèi)旁通，而且有利于培養(yǎng)自己發(fā)散性思維，從而開(kāi)闊我們的解題思路.