追溯問題本質 落實“四基”培養(yǎng)

殷玲 翟洪亮

摘 ?要：文章創(chuàng)設適切的問題情境，引導學生思考數(shù)學內容的本質，對等式的基本性質進行梳理，歸納其中蘊涵的數(shù)學思想方法，開展對不等式基本性質和常用性質的探究. 在教學中，注重思想方法的滲透和活動經驗的積累，培養(yǎng)學生的數(shù)學理性思維，落實“四基”.

關鍵詞：等式性質;不等式性質;“四基”;思想方法

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指明，高中數(shù)學教學應啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質. 同時，指明通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，即“四基”. 如何落實《標準》的要求？筆者認為，要先考慮學生的知識儲備和認知能力.

相等關系和不等式關系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關系，利用相等關系、不等關系可以構建方程、不等式，再通過方程、不等式解決各種數(shù)學問題或非數(shù)學問題. 因此，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》將“等式性質與不等式性質”提前，放在必修第一冊的第二章. 現(xiàn)以本節(jié)課的教學為例，具體闡述如何激發(fā)學生思維，探索數(shù)學本質，滲透數(shù)學思想，積累活動經驗，與大家交流.

一、教學片斷

1. 因疑設問，引入課題

師：在現(xiàn)實世界和日常生活中，存在著大量相等關系和不等關系.上一節(jié)課，我們根據實際問題中所蘊含的不等關系抽象出了不等式，可以用不等式解決問題了. 你會解不等式[3x-2>0]嗎？

生：因為[3x-2>0]，所以[3x>2]. 解得[x>23]. 所以原不等式的解集為[xx>23].

師：你能說出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由嗎？

生：由兩個實數(shù)大小關系的基本事實可以得到.

師（追問）：那么，你能說出由[3x>2]得到[x>23]的理由嗎？

生：在不等式的兩邊同乘以正數(shù)[13]，不等號的方向不變.

師（追問）：為什么在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變呢？

生：不知道，初中就是這樣用的.

師：這其實是利用了不等式的性質. 今天我們一起來學習.

【評析】本節(jié)課是高一上學期第二章的內容. 在此之前，學生僅學習了“集合與常用邏輯用語”，還沒有較強的理性思維能力，因此教師沒有直奔主題，而是讓學生解簡單的一元一次不等式，通過使學生產生認知沖突，引起懸念，引入課題.

2. 回憶歸納，筑造基石

問題1：上一節(jié)課，我們學習了兩個實數(shù)大小關系的基本事實，你還知道實數(shù)的其他基本事實嗎？

師生活動：在教師的引導下，學生歸納出如下基本事實.（1）正數(shù)大于0，也大于一切負數(shù);負數(shù)小于0，也小于一切正數(shù);（2）正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0;（3）兩個正數(shù)的和仍為正數(shù)，兩個負數(shù)的和仍為負數(shù);（4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù);異號兩數(shù)相乘，其積為負數(shù);等等.

【評析】回憶兩個實數(shù)大小關系的基本事實和實數(shù)常用基本事實，為學生證明不等式的性質埋下伏筆，提供性質的證明依據.

問題2：等式和不等式都是對大小關系的刻畫，為了能更好地研究不等式的性質，我們先來復習等式的性質. 等式有哪些性質？

師生活動：學生獨立思考后回答，教師引導學生用數(shù)學語言來描述，板書性質如下. 如果[a=b]，那么[a+c=b+c];如果[a=b]，那么[a-c=b-c];如果[a=b]，那么[ac=bc];如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc].

追問1：這四條性質有什么共同之處？（均有第三方[c]，從加、減、乘、除四則運算的角度提出性質.）

追問2：運算中，等式是否保持符號不變？（是，反映了等式運算的不變性.）

追問3：這四條性質是否可以精簡？（減法是加法的逆運算，所以前兩條性質可以合并為一條性質;除法是乘法的逆運算，所以后兩條性質也可以合并為一條性質.）

追問4：研究數(shù)學對象，要先對其自身的性質進行研究. 等式自身還有什么性質？

師生活動：一位學生說出“如果[a=b]，那么[b=a]”和“如果[a=b，b=c]，那么[a=c]”，教師問其如何得知，學生回答是進行了預習，教師給予表揚，并指明這是等式的“對稱性”和“傳遞性”. 師生調整順序，共同歸納等式的5條基本性質.

性質1：如果[a=b]，那么[b=a].

性質2：如果[a=b，b=c]，那么[a=c].

性質3：如果[a=b]，那么[a+c=b+c]，[a-c=b-c].

性質4：如果[a=b]，那么[ac=bc].

性質5：如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc.]

追問5：等式的性質可以分為哪兩類？（自身特性和運算中的不變性.）

【評析】等式的性質是不等式的性質的類比對象，建議不直接給出，而是與學生一起回憶、歸納，為學生自主歸納不等式的性質做好鋪墊.

3. 類比推理，共同探究

問題3：類比等式自身的特性，試猜想不等式自身有哪些特性？

師生活動：學生提出猜想“如果[a>b]，那么[b<a]”，教師提出問題串.

追問1：能證明你的猜想嗎？（因為[a>b]，所以[a-][b>0]. 又因為正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，所以[-a-b<0]，于是有[b-a<0]，得[b<a].）

追問2：反過來也對嗎？

追問3：你能用精簡的數(shù)學符號表示此性質嗎？（[a>b][?][b<a].）

追問4：你能利用數(shù)軸說出這個性質的幾何意義嗎？

由學生獨立完成不等式性質2的類比、猜想、證明. 教師板書不等式的性質1和性質2.

性質1：如果[a>b]，那么[b<a];如果[b<a]，那么[a>b]，即[a>b][?][b<a].

性質2：如果[a>b]，[b>c]，那么[a>c]，即[a>b]，[b>c][?][a>c].

【評析】對學生而言，證明性質1有點困難，因為學生缺乏代數(shù)證明的經驗. 但是有之前的鋪墊，通過教師點撥，學生就能順利完成證明. 在證明了性質1的基礎上，性質2的證明也不再是難點.

問題4：類比等式的運算性質，試猜想不等式有哪些運算性質？

師生活動：學生思考后回答，教師板書性質3.

性質3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

師生共同證明：因為[a>b]，所以[a-b>0]，則[a+][c-c-b>0]，即[a+c-b+c>0]，所以[a+c>b+c].

追問1：能用文字語言描述性質3嗎？

追問2：能用數(shù)軸解釋性質3嗎？

追問3：能用性質3說出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由嗎？（可以在不等式兩邊同時加上2，所得不等式和原不等式方向相同.）

師：這表明不等式中的任何一項改變符號后可以移到不等號的另一邊. 這也表明實數(shù)大小關系的基本事實和不等式的性質是解決問題的基本依據.

接下來，學生猜想并證明性質4.

性質4：如果[a>b]，[c>0]，那么[ac>bc];如果[a>b]，[c<0]，那么[ac<bc].

教師指出性質1 ～ 性質4是不等式的基本性質，并再次讓學生說明由[3x>2]得到[x>23]的理由.

【評析】讓學生再次解釋不等式[3x>2]的求解過程，既與學生認知結構中默認的事實統(tǒng)一，又加深了學生對性質本質的理解.

問題5：利用不等式的基本性質，可以猜想并證明不等式有哪些常用性質嗎？

師生活動：教師引導學生進行小組討論，為了防止學生思維過于發(fā)散，不利于性質的歸納，教師指明研究對象是不等式的常用性質，并參與小組討論，最后擇優(yōu)展示成果.

小組A由性質3是不等式兩邊同加一個數(shù)[c]，利用一般化的思想猜想：在不等式兩邊加上不同的數(shù)，即如果[a>b]，那么[a+c>b+d]. 為了保證正確性，增加條件[c>d]，得到性質5.

性質5：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

追問1：如何用文字敘述？（大數(shù)加大數(shù)的和，大于小數(shù)加小數(shù)的和.）

追問2：如何證明？（教師鼓勵學生運用多種方法證明，證明過程略.）

小組B由加法聯(lián)想到乘法，提出猜想：如果[a>b]，[c>d]，那么[ac>bd]. 舉例發(fā)現(xiàn)猜想不正確，增加條件得到性質6.

性質6：如果[a>b>0]，[c>d>0]，那么[ac>bd].

追問3：對于性質6，如果特殊化，令[c=a]，[d=b]，那么可以得到什么結論？能再繼續(xù)推廣嗎？

師生活動：學生回答得到“如果[a>b>0]，那么[a2>b2>0]”. 教師繼續(xù)引導學生將結論推廣，得到“如果[a>b>0]，那么[a3>b3>0]”. 繼續(xù)推廣，得到性質7.

性質7：如果[a>b>0]，那么[an>bn>0 n∈N，n≥2].

教師指明乘方是乘法運算的推廣，性質5 ～ 性質7均是不等式的常用性質，可以作為結論在今后的推理中使用.

【評析】探究不等式的性質是本節(jié)課的重點，也是難點，在課堂教學中需要有選擇性地證明.

4. 學以致用，解決問題

例 ?已知[a>b>0，c<0]，求證[ca>cb].

變式：已知[a>b>0，c>0]，求證[ca<cb].

師生活動：教師引導學生從結論出發(fā)，結合已知條件，利用不等式的性質，尋求使當前命題成立的充分條件. 學生板演，教師指導、點評，并強調書寫的規(guī)范性.

【評析】該例題的證明旨在向學生示范應用不等式的性質證明命題的一般思路. 變式是對例題的有效補充，可以促進學生進一步理解不等式性質的規(guī)律性.

5. 課堂小結，歸納反思

問題6：本節(jié)課學習了什么知識？學到了哪些思想方法？有哪些收獲？

師生活動：學生回答，互相補充，教師總結.

二、教學感悟

1. 教學要注重問題情境的創(chuàng)設

數(shù)學知識具有高度的抽象性和概括性. 本節(jié)課的內容以代數(shù)推理為主，如果一開始就給出等式的性質，再研究不等式的性質，學生會覺得平淡，缺乏學習的動力. 因此，教師注重創(chuàng)設適切的問題情境，從求解簡單的一元一次不等式入手，通過兩個“說明理由”引發(fā)學生思考. 第一個“說明理由”與上節(jié)課的內容呼應，也可以說明實數(shù)大小關系的基本事實是研究不等式的性質的基礎;第二個“說明理由”促使學生從“然”思考“所以然”，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生提出問題的能力，促進學生在學習中多問幾個“為什么”.

問題情境的創(chuàng)設需要結合教學內容，為教學服務，做到有的放矢. 例如，本節(jié)課的問題情境從簡單問題出發(fā)，引發(fā)學生對“基本”一詞的思考，實數(shù)大小關系的基本事實、實數(shù)的基本事實、等式的基本性質和不等式的基本性質，均用到“基本”一詞，也意味著基礎和重要. 教師要幫助學生理解，為他們后期重視基本不等式、平面向量的基本定理等內容的學習做好鋪設.

2. 教學要突出思想方法的滲透

如果說數(shù)學知識是數(shù)學內容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學思想方法則是數(shù)學意識，重在領會、運用，是實現(xiàn)學生在數(shù)學上的終身可持續(xù)發(fā)展，乃至終身受益的核心收獲.

在該課例中，教師讓學生體會等式的性質與不等式的性質，不僅是形式上的類比，更是研究問題思路的類比和解決問題方法的類比. 等式具有自身特性和運算中的不變性，不等式也具有自身特性，但是不等式有方向，所以運算中體現(xiàn)得更多的是不變性和規(guī)律性相結合. 由不等式的性質3推導出性質5，是利用從特殊到一般的思想;由不等式的性質5到性質6，是加法到乘法的類比;由不等式的性質6到性質7，是從一般到特殊的思想. 可以說本節(jié)課以數(shù)學思想方法引領學生的思維活動，處處以促進學生理解基本思想為指導，讓學生體會數(shù)學思想，并學會用數(shù)學思想探究問題，從而落實“四基”.

3. 教學要側重活動經驗的積累

活動經驗是指學生經歷思考、探究、實踐等數(shù)學活動過程之后獲得過程性知識，最終形成應用數(shù)學的意識. 本節(jié)課中，教師通過層層遞進的問題和一系列追問，讓學生經歷猜想、證明，并用數(shù)學語言、自然語言或圖形語言等對性質進行多元表征，以加深學生對性質的了解，這樣學生就能形成基本活動經驗，并以此為基礎完成對常用性質的探究活動. 再如，本節(jié)課讓學生形成類比學習的活動經驗，是幫助他們積累基本活動經驗的有效體現(xiàn). 通過本節(jié)課的學習，學生能清晰認識到在之后的哪些學習環(huán)節(jié)可以適時采用類比的思想方法探究問題. 課堂伊始，學生只有初中解不等式的基本活動經驗，并不理解不等式[3x-2>0]的解題本質. 通過對不等式的性質的探究，學生不斷積累了深層次的活動經驗，實現(xiàn)了對問題本質的認識.

參考文獻：

[1]劉勇，沈婕，李龍才.“等式性質與不等式性質”教學設計、教學反思與點評[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2019（9）：14-24.

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