數(shù)學教學中思維方法的理論探析與實踐嘗試

李亞瓊 徐文彬

摘 ?要：組合數(shù)學中的拉姆齊定理探討了有序和無序之間的關系，是廣義的“抽屜原理”. 從思維內(nèi)容、思維特性、思維過程和思維策略等方面剖析“抽屜原理”的思維結構，得出“抽屜原理”反映無序中蘊含有序;體現(xiàn)從不確定性中尋找確定性因素，體現(xiàn)邏輯思辨性和批判性思維能力;“抽屜原理”的思維方法蘊涵以分求和的思想;“抽屜原理”的核心是運用邏輯分類構造“抽屜”. 這樣的數(shù)學思維特點蘊含數(shù)學思維的相似性特質(zhì)，引導學習主體在實踐嘗試中將思維形式進行推廣、引申與應用，實現(xiàn)知識的遷移，并不斷完善學習主體的數(shù)學認知結構，這正是思維方法的教育價值.

關鍵詞：拉姆齊定理;思維共生;存在性問題;以分求和;實踐嘗試

數(shù)學教學中，教師和學生組成教學共同體，教師通過設計教學引導學生參與思考，以期形成思維共生的局面. 然而，我們總是在應然和實然之間徘徊. K.鄧克爾提出：思維過程分為三個層次，即一般的解決、功能的解決和特殊的解決. 在思維過程中，如果學習主體在后一層思維受阻，就必須返回前一層，此時思維活動就需要重新調(diào)整，直到解決問題. 在數(shù)學教學中，如何讓學生的思維處于有序狀態(tài)？這是教育工作者一直關注的問題. 完全的無序是不可能的. 那么，無序的最大限度在哪里？本文將從數(shù)學的角度來思考這個問題.

一、問題提出

組合數(shù)學中的拉姆齊理論（Ramsey-Theorie）探討了有序和無序之間的關系. 其試圖找一個最小的數(shù)[n]，使得[n]個人中必定有[k]個人相互認識或相互不認識. 拉姆齊定理的含義是沒有完全的無序，在任何情況下，可以在無序的大系統(tǒng)中找到有序的區(qū)域. 拉姆齊定理是找出保證會有某種性質(zhì)存在的最小集合.

下面來看兩個引例.

引例1：生日問題.

必須找多少個人，才能保證至少有2個人的生日在同一天（不必在同一年）？

考慮閏年有2月29日，全年總共366天，必須找367個人，假設前面366個人的生日完全不同，則第367個人的生日必定與前面366個人中的某1個人在同一天，即不管這群人中哪2個人或哪2天都不影響，至少有2個人的生日在同一天.

引例2：友誼定理.

任意選6個人，則其中總有3個人彼此是朋友或互不認識.

友誼是一種對稱關系，如果A是B的朋友，那么B也是A的朋友. 要想證明這個結論，可以將每個人用一點來表示，如果兩個人彼此是朋友，對應兩點連成實線，否則連成虛線（具體參見圖1）. 每個頂點都可以畫出5條邊，所以共有30條邊. 然而每條邊都會算兩次，于是在6個人的關系圖中一共有15條邊. 每條邊可能是“實線”也可能是“虛線”，不受其他邊的影響. 因此，在6個人之間，共有215種不同的關系模式. 假設[P]是[A，B，C，D，E，F(xiàn)]中的一個元素，即為圖1中的一個定點. 從點[P]出發(fā)有5條邊，必然至少有3條邊同為實線或者虛線（例如，在圖1中，從點[A，C，D，E，F(xiàn)]出發(fā)至少有3條虛線，從點[B]出發(fā)至少有三條實線），則形成單一線條的三角形（三條邊同為實線或虛線），即說明有3個人彼此是朋友或互不認識. 這個結論也被稱為“友誼定理”.

綜合引例1和引例2來看，無論是“生日問題”還是“友誼問題”，整體上看都是無序的，但隱含著某種局部的性質(zhì)：如果有超過[n+1]個對象要分配到[n]個“抽屜”，至少有一個“抽屜”放了[2]個或2個以上的物件. 這就是狄利克雷的抽屜原理，簡稱“抽屜原理”，也稱為“鴿籠原理”.

二、“抽屜原理”的思維結構

“抽屜原理”是德國數(shù)學家狄利克雷提出的，它是組合數(shù)學中的一個最基本原理. 下面從“抽屜原理”的思維結構切入，對該原理的思維方式進行理論探析.“抽屜原理”的思維結構是一個多因素動態(tài)關聯(lián)系統(tǒng)，包括思維內(nèi)容、思維特性、思維過程和思維策略等.

1.“抽屜原理”的內(nèi)容

抽屜原理1：把[n+k k≥1]個元素放入[n]個“抽屜”中，那么至少有一個“抽屜”中含有兩個或兩個以上元素.

抽屜原理2：把[mn+k k≥1]個元素放入[n]個“抽屜”中，那么至少有一個“抽屜”中含[m+1]個或[m+1]個以上的元素.

抽屜原理3：把[n]個元素放入[k]個“抽屜”中，那么至少有一個“抽屜”中的元素個數(shù)大于等于[nk]個，也必然有一個集合中的元素個數(shù)小于等于[nk]個.

抽屜原理4：把無限多個元素放入有限多個“抽屜”中，至少會有一個“抽屜”中含有無限多個元素.

“抽屜原理”的四種形式用反證法易證得結論. “抽屜原理”的四種形式容易理解，但在實際應用時，需要確定描述對象（元素）和構造合適的“抽屜”（性質(zhì)相同的對象要放進相同的類別，每個對象至少屬于其中一類）. 因此，“抽屜原理”的關鍵內(nèi)容是對象的任意性、“抽屜”的適恰性及結論的存在性問題. 這個原理在簡單和深刻之間搭起了橋梁.

2.“抽屜原理”的思維特性

“抽屜原理”的運用蘊含思維的相似性、邏輯性和概括性等特性.

（1）思維過程蘊含相似性.

用“抽屜原理”解決數(shù)學問題的根本思想在于尋求客觀事物之間的數(shù)學關系和結構樣式. 例如，在“抽屜原理”的使用中，如何確定研究對象和構造適恰的“抽屜”，這就體現(xiàn)思維的相似性，也是“抽屜原理”的精髓所在. 對數(shù)學問題之間及問題本身的條件和結論的分析與轉化，這樣的思維過程蘊含相似性. 當然，相似性也是一般數(shù)學思維的一個重要特性.

（2）問題分析蘊含邏輯性和概括性.

“抽屜原理”的實質(zhì)是無序中蘊含有序，即從無序的大系統(tǒng)中找到有序的區(qū)域，體現(xiàn)從不確定性中尋找確定性因素. 在不確定的世界中尋找確定性，反映出學習主體的認知局限與對學習的探索精神的辯證統(tǒng)一，體現(xiàn)思維的邏輯思辨性. 運用“抽屜原理”解決問題的過程體現(xiàn)思維的邏輯性和遷移性，即能找到問題背后的研究對象和適恰的“抽屜”，從而推廣到同類現(xiàn)象中去解決問題. 同時，“抽屜原理”思維方法的形成和遷移運用也是思維概括性的重要表現(xiàn).

作為一種解題方法，在使用“抽屜原理”的過程中要注重技巧，解題過程中包含分析、綜合、抽象、觀察、聯(lián)想等思維方法. 對問題的分析、選擇合適的對象等過程都涉及邏輯思維的判斷及命題間的轉換;構造適恰的“抽屜”需要聯(lián)想和抽象. 例如，在“友誼問題”中，需要將每個人看成一個點，兩個人是朋友或不是朋友可以用不同的線表示，這個過程就體現(xiàn)了聯(lián)想和抽象. 從而確定出：6個人中，從1個人出發(fā)可以引出5條線，至少有3條線相同.“抽屜原理”在中小學奧數(shù)中應用廣泛，經(jīng)常作為某些存在性證明的思維切入點，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維、邏輯推理能力、知識遷移能力等.

3.“抽屜原理”的思維過程

數(shù)學思維過程是學習主體以獲取數(shù)學知識或解決數(shù)學問題為目的、運用有關思維方法達到認識數(shù)學內(nèi)容內(nèi)在信息的加工過程.“抽屜原理”的解題方法的精髓是對象的選擇和“抽屜”的構造，反映出“抽屜原理”的思維過程.

（1）模式識別.

對特定的數(shù)學問題或?qū)ο笙到y(tǒng)，學習主體需要分析問題、剖析研究對象，按照“抽屜原理”的思維模式分析研究對象. 懷特海認為數(shù)學是對模式的研究. 這樣的思維模式是約簡了的思維過程、降低了思維的強度，具有提高思維效率的功能. 例如，在“友誼定理”中，需要學生自主抽象出點和線，然后從一點出發(fā)有5條線，數(shù)學抽象的作用是便于更好地利用相應的模型進行聯(lián)想和思考.

（2）邏輯劃分.

“抽屜原理”的思維方法蘊涵以分求和的思想，對問題進行橫向分解或縱向分層，去各個擊破，從而使問題獲解.“抽屜原理”方法的核心是“抽屜”的構造，解題時要明確對象和“抽屜”，而這兩者一般不會直接呈現(xiàn)在題目中. 特別是“抽屜”，需要我們用一些方法構造“抽屜”或通過恰當?shù)姆诸愓页觥俺閷稀?，即將研究問題進行邏輯劃分，使得每一類問題具有相同的性質(zhì)，即“抽屜”的規(guī)格相同且數(shù)量比對象要少. 這樣任意將對象分配到各個“抽屜”后，就會出現(xiàn)兩個或兩個以上的對象屬于同一類（“抽屜”）.

4.“抽屜原理”的思維策略

思維總是指向解決問題的活動. 在具體實踐運用中，“抽屜”的構造是思維核心，反映出“抽屜原理”的主要思維策略.

（1）直接構造“抽屜”.

“生日問題”中的“抽屜”就是直接構造的，這里就直接將366天視為366個“抽屜”，體現(xiàn)思維方法的直接運用.

（2）“剩余類”構造“抽屜”.

“抽屜原理”在數(shù)論中運用較多. 此時，“抽屜”的構造會考慮剩余類. 例如，把所有整數(shù)按照除以某個正整數(shù)[m]的余數(shù)分為[m]類，叫做[m]的剩余類，記作[0]，[1]，[2]，…，[m-1]. 在研究與整數(shù)有關的問題時，常常會將剩余類作為“抽屜”，體現(xiàn)了思維的相似性.

（3）分組構造“抽屜”.

例如，從1，2，3，…，10這10個自然數(shù)中，任取6個數(shù)，必能找到兩個數(shù)，其中一個是另一個的倍數(shù). 看到這個問題不難想到：先將10個數(shù)分成5組，每一組中的兩個數(shù)都有倍數(shù)關系，它們是[1，7]，[2，6]，[3，9]，[4，8]，[5，10]. 于是這[5]組自然可以看成[5]個“抽屜”，很容易說明結論成立. 這個題目通過分組構造出“抽屜”，很巧妙地解決了問題，體現(xiàn)了思維的抽象性和深刻性.

（4）分割圖形構造“抽屜”.

例如，在邊長為1的等邊三角形內(nèi)，任取5個點，證明至少有兩個點，它們之間的距離小于[12]. 解決這個問題可以用“抽屜原理”. 題目中的對象是5個點，解決問題的關鍵是構造出4個“抽屜”來，即將三角形分成四部分，每部分作為一個“抽屜”. 將等邊三角形分成四部分的情形如圖2所示. 借助圖形分割，將四個部分作為四個“抽屜”，將問題進行巧妙轉化，體現(xiàn)了轉化與化歸的思維特點.

（5）“轉化”構造“抽屜”.

例如，在引例2的“友誼定理”的證明中，先將問題轉化，并將人抽象為點、兩人之間的關系抽象為不同的線（實線和虛線）. 按認識（朋友）和不認識（非朋友）分類抽象成兩個“抽屜”，從而將問題轉化為圖論問題.

總之，“抽屜”的構造方法有很多種，不管如何構造“抽屜”，其實質(zhì)就是將對象進行恰當分類. 這樣的數(shù)學思維策略蘊含數(shù)學思維的相似性品質(zhì)，表現(xiàn)在將思維形式進行推廣、引申與應用，實現(xiàn)知識的遷移并不斷完善學習主體的數(shù)學認知結構. 這正是思維方法的教育價值.

三、“抽屜原理”的教學實踐嘗試

對“抽屜原理”進行了思維方式的理論探析與再思考后，下面結合以上分析反思教學實踐，以期更好地指導教學.

1. 在不等式中的應用

例1 ?設[0<a<1]，[0<b<1]，[0<c<1]. 證明：[1-ab]，[1-bc]，[1-ca]不能都大于[14].

解析：由條件[0<a<1，0<b<1，0<c<1]知，可以通過分割區(qū)間，構造[0， 12]和[12，1]兩個“抽屜”.

于是[a，b，c]三個對象中至少有兩個屬于同一個“抽屜”.

不妨設[a∈0， 12，b∈0， 12，c∈12，1].

于是[1-ca≤14]，分析得出結論成立.

當然也可以利用反證法具體證明.

假設[1-ab]，[1-bc]，[1-ca]都大于[14].

由于[0<a<1，0<b<1，0<c<1]，

所以[1-ab>12， 1-bc>12， 1-ca>12]，

即[1-ab+1-bc+1-ca>32].

再由基本不等式，知

[1-ab≤1-a+b2]，

[1-bc≤1-b+c2]，

[1-ca≤1-c+a2].

求和，得[1-ab+1-bc+1-ca≤32].

與[1-ab+1-bc+1-ca>32]矛盾.

于是結論得證.

2. 在幾何中的應用

例2 ?在半徑為[r]的圓內(nèi)（包括邊界），任意放入[8]個點. 求證：這8個點中至少有兩個點，它們之間的距離小于半徑[r].

解析：如圖3，將圓[O]分成六個相等的扇形，于是通過分割圖形構造了六個“抽屜”，若8個點中的7個點分別為[O，A，][B，][C，D，E，F(xiàn)]，則第8個點不論

在什么位置都會與其中一個點的距離小于半徑[r.]

“抽屜原理”是證明至少存在問題的一種方法，其中構造“抽屜”是“抽屜原理”運用的關鍵和難點.

3. 在數(shù)論中的應用

例3 ?證明：在2，5，8，11，14，…，101中任意選出20個數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)，其和等于106.

解析：問題中的數(shù)共有34個，把這些數(shù)分成如下不相交的集合：[2]，[53]，[5，101]，[8，98]，…，[50，56]，共有18個. 于是通過分組構造了18個“抽屜”. 從已知的34個數(shù)中選20個數(shù)，即使把前兩個“抽屜”中的數(shù)2和53先取出，則剩余的18個數(shù)的個數(shù)比“抽屜”數(shù)大2，按“抽屜原理”結論得證.

4. 在概率與統(tǒng)計中的應用

例4 ?4名學生到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名學生只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名學生，則不同的安排方法共有 ? ? ?種.

解析：該題是“抽屜原理”的簡單運用，4個對象（學生）和[3]個“抽屜”（小區(qū)）. 根據(jù)題意，有且只有[2]名學生去同一個小區(qū). 于是再利用先選后排，結合排列組合和乘法原理便可得出解答.

綜合以上四個例子，教學中，教師需要引導學生先判斷是否適合“抽屜原理”，再思考如何構造“抽屜”，從問題分析到構造“抽屜”的過程，引導學生總結規(guī)律，建立“抽屜”問題的一般化模型，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、數(shù)學抽象等素養(yǎng)，規(guī)范學生思考問題的方法，提升學生分析問題和解決問題的能力. 當然，“抽屜原理”的實質(zhì)是揭示某種存在性，體現(xiàn)不確定中蘊含局部的確定性，在運用“抽屜原理”的過程中，可以提升學生理性分析問題的能力和批判性思維能力. 在實際教學中，教師需要運用恰當?shù)慕虒W方法，讓學生的數(shù)學思維能力在自主學習探究的過程中得到發(fā)展.

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