中考數(shù)學(xué)壓軸題的賞析與思考

鐘記銘　何琴

[摘要]文章對(duì)2016年廣西欽州市中考數(shù)學(xué)一道壓軸題進(jìn)行深度的分析、研究，給出了多種解答方法，并由此提出2017年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)建議。

[關(guān)鍵詞]中考數(shù)學(xué)；壓軸題；賞析；思考

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2017）05-0001-03

綜合①②可得到△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可求出最大面積。

四、試題研究

1.命題反思

縱觀廣西欽州市多年來的中考數(shù)學(xué)壓軸題，考查的重點(diǎn)都放在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的函數(shù)問題上，基本上是以函數(shù)為載體考查函數(shù)或幾何，此類題在中考中往往有起點(diǎn)不高、要求較全面的特點(diǎn)。其中以二次函數(shù)為背景的壓軸題常受命題者的青睞。但由于受學(xué)生所學(xué)知識(shí)限制，命題一般不會(huì)以純函數(shù)的形式出現(xiàn)，而是結(jié)合幾何圖形或點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)使幾何圖形發(fā)生變化，突出考查函數(shù)思想在動(dòng)態(tài)幾何中的運(yùn)用，從而讓代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合起來。通常情況下，試題經(jīng)常綜合數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程組求解、勾股定理與函數(shù)、三角形和特殊多邊形等知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)。

今年該壓軸題嘗試考查拋物線與圓及三角形的綜合運(yùn)用，這在本市的中考題中是首次涉及。其中第（1）小題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，第（2）小題把圓與三角形融入拋物線中，考查運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求線段DC的長，這兩小題主要考查了學(xué)生用“數(shù)”析“形”的技能與計(jì)算能力。從學(xué)生的答題情況來看，目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成；而對(duì)于第（3）小題則是以拋物線為載體，設(shè)置了由拋物線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化對(duì)三角形的面積變化產(chǎn)生的影響的綜合背景，解決與拋物線有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形面積的最值問題。本小題若單獨(dú)出現(xiàn)，考查的目的還是令人滿意的。若深入研究本小題與第（1）、（2）小題所考查的知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)融入“圓”這一知識(shí)點(diǎn)對(duì)于本小題并沒有起到相輔相成、多題歸一的作用。筆者認(rèn)為，如果本小題能把“問題”設(shè)計(jì)為平移后的拋物線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)（即相切），滲透切線的性質(zhì)來解答有關(guān)問題，知識(shí)點(diǎn)的銜接會(huì)更自然，考查的效果會(huì)更好。

2.命題方向及備考建議

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念被教師廣泛認(rèn)識(shí)，對(duì)“自主探究、合情推理”“數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”“數(shù)學(xué)思想方法”的考查比例也呈增強(qiáng)之勢，而研究的數(shù)學(xué)問題也逐漸趨向于生活化。為了實(shí)現(xiàn)這一理念，一些中考?jí)狠S題讓學(xué)生經(jīng)歷某種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并從活動(dòng)過程中去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)而解決問題。這些題目往往以一題多變、多題歸一的方式出現(xiàn)在學(xué)生的面前。這一類試題較好地考查了學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，并助某種方式證明猜想的合理性的能力，這對(duì)于促進(jìn)課程改革也具有積極的推動(dòng)作用。試題還應(yīng)繼續(xù)加強(qiáng)對(duì)問題形成過程及探索性問題的考查，這樣才有助于落實(shí)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的教學(xué)方式，有利于引導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐?；谶@樣的命題趨勢，結(jié)合我市的現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為在今后的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)做好以下三點(diǎn)。

（1）注重對(duì)教材的研究，抓實(shí)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的基本技能

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)做到“立足基礎(chǔ)，培養(yǎng)能力，提高素質(zhì)”，尤其要立足于教材。近年來的中考數(shù)學(xué)壓軸題的命題基本上是教材中題目的引申、變式或組合，特別是新課標(biāo)修訂后的人教版教材的函數(shù)內(nèi)容的編排有“螺旋上升”的優(yōu)點(diǎn)，所以我們必須指導(dǎo)學(xué)生深入鉆研教材，絕不能脫離課本，一味搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，讓學(xué)生整天埋頭做大量的課外習(xí)題。對(duì)于學(xué)優(yōu)生，我們應(yīng)指導(dǎo)他們加強(qiáng)各模塊內(nèi)部知識(shí)的整合，尋求各模塊知識(shí)間的交叉點(diǎn)、聯(lián)系點(diǎn)，因?yàn)橛袇^(qū)分度的試題往往就出自于這些地方。對(duì)于學(xué)困生，我們應(yīng)指導(dǎo)他們完成教材中的習(xí)題，要求他們注意解題方法的歸納和整理。

（2）重視對(duì)題型的研究，提高學(xué)生的解題能力

①關(guān)注“幾何變換”，強(qiáng)化對(duì)圖形變換的理解

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)加強(qiáng)對(duì)圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等多種變換的研究，注重引導(dǎo)學(xué)生采用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析圖形的變換聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題、閱圖、獲取信息，學(xué)會(huì)從多角度、多側(cè)面去分析圖形變換的規(guī)律，從而逐步提高學(xué)生分析圖形的能力和培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的解答技巧。

②重視“函數(shù)圖像變換型”問題教學(xué)的研究

通過開展“函數(shù)圖像變化”的專題教學(xué)，盡量減少學(xué)生對(duì)函數(shù)“數(shù)形”認(rèn)知的欠缺，樹立函數(shù)圖像間相互轉(zhuǎn)換的思維。如平時(shí)教學(xué)中應(yīng)多滲透拋物線的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)某個(gè)函數(shù)圖像經(jīng)過變換出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)圖像時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點(diǎn)，排除識(shí)圖的干擾，對(duì)圖像所蘊(yùn)含的信息進(jìn)行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進(jìn)行到底。

③注重題型的解題方向和策略方法的研究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)啟迪學(xué)生從題目的條件和求解（或求證）的過程中提取有用的信息，由此推動(dòng)題目中信息的延伸，并把它們歸結(jié)到某個(gè)確定的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而形成一個(gè)解題的行動(dòng)序列，由此獲取不同題型的解題方向。由于題目信息會(huì)與不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，這往往讓題目容易形成多個(gè)解題方向，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的主干部分與通性通法，在此基礎(chǔ)上尋求不同解題途徑與思維方式來解題，并由此向?qū)W生滲透“擇優(yōu)解題”的技巧，從而讓學(xué)生盡可能多地獲分的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和敏捷性。

（3）重視數(shù)學(xué)核心概念及核心知識(shí)點(diǎn)的組合、思想與方法的考查，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，教學(xué)中我們要有意識(shí)地將教材中的核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“組合”與“串接”或者精選一些比較成功的中考數(shù)學(xué)壓軸題，有目的地將它們進(jìn)行剪裁、組合與改編，以考查綜合實(shí)踐應(yīng)用能力的題為重要載體，以題論法。命題中只有注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“整合”來考查數(shù)學(xué)思想與方法，才能較好地促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）