談初中數(shù)學函數(shù)教學的三原則

周潔

[摘要]函數(shù)是初中數(shù)學教學的重點及難點。想要上好這部分內(nèi)容，教師必須從學生的認知角度出發(fā)，遵循“構(gòu)建在已有知識的基礎(chǔ)上”“構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)”“培養(yǎng)學生善于隨機應(yīng)變和自我調(diào)節(jié)的能力”三原則。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；初中數(shù)學；教學；原則

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）05-0020-01

函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，它不僅與數(shù)學中其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，如代數(shù)式、方程、不等式、平面幾何等，還廣泛應(yīng)用于其他學科，如初中物理力學及電學的計算、初中化學計算等都離不開函數(shù)知識。學生學習函數(shù)知識對提高他們的思維能力有重要意義。教師要重點研究函數(shù)內(nèi)容的教學。要搞好函數(shù)教學，筆者認為要遵循三個原則。

原則一：將函數(shù)教學構(gòu)建在學生已有知識的基礎(chǔ)上

在傳統(tǒng)函數(shù)教學中，教師將函數(shù)概念、解析式、函數(shù)圖像及性質(zhì)作為教學重點。以一次函數(shù)為例，傳統(tǒng)教學中首先講解函數(shù)解析式。形如y=kx+b（其中k≠0，b為常數(shù)）的函數(shù)叫作一次函數(shù)。然后介紹函數(shù)的圖像：k>0，b>0，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限等以及圖像的平移問題。如此教學，增大了數(shù)學知識的抽象性及枯燥性，教師不能有效激發(fā)學生的學習興趣，也不能將學習函數(shù)的新問題轉(zhuǎn)化為學生認識的問題來解決。

要將函數(shù)教學構(gòu)建在學生已有知識的基礎(chǔ)上，教師在函數(shù)的教學中需要從學生已有的知識入手，建立函數(shù)與已有知識之間的聯(lián)系。在這里，有效教學情境的創(chuàng)設(shè)尤為重要，我們把它稱為“橋梁性情境”。這一情境在數(shù)（函數(shù)）與空間（圖）的理解之間架起橋梁，把學生的日常經(jīng)驗與數(shù)學知識聯(lián)系起來。下面是我做的一個試驗。

“斜率”這個概念是學生學習函數(shù)，特別是線性函數(shù)的入門知識。通常將它定義為垂直距離和水平距離的比。如果一條直線用方程y=kx+b來表示，k就定義為直線的斜率，用公式k=（y₂-y₁）/（x₂-x₁）來計算。

學生要真正理解以這種定義的“斜率”概念，他們必須掌握大量的數(shù)學知識與技巧，包括比率、坐標圖、變量、下標的意義、解包含兩個變量的方程以及進行混合運算的技能。但是，對于求解一個函數(shù)的斜率來說，知道運算法則并不能確保學生理解了斜率的一般意義。

其實，學生對斜率都有一種直覺的、憑經(jīng)驗的理解。為此，我給學生上了一堂課：小明參加了步行馬拉松比賽，規(guī)則（函數(shù)）告訴我們，小明能掙到多少錢取決于他走了多少公里。我們不知道函數(shù)是什么，這是一個秘密。我們只知道小明走1公里能掙4元，走3公里能掙8元，走5公里能掙12元。

要求學生計算函數(shù)的斜率，它表示小明能掙到多少錢。我將學生分成兩部分，向一部分學生提供了斜率的正式定義，向另一部分學生提供一個他們更為熟悉的斜率定義。用學生的話來說函數(shù)的斜率是對于最初值的每一個單位的變化結(jié)果增加的數(shù)量。結(jié)果，通過計算，小明每多走1公里他掙錢增長多少。許多學生都能夠非正式地描述上述案例中函數(shù)的斜率。他們注意到當小明走了3公里時，比走1公里時多掙了4元。因此他每多走1公里就能多掙2元。采用這種方式，沒有接受正式定義或程序教學的這些學生就能確定神秘函數(shù)的斜率是2。相反，那些看到斜率的課本定義的學生并不能確定這個例子中的斜率。這說明將函數(shù)教學構(gòu)建在學生已有知識的基礎(chǔ)上，能讓學生更好、更快地理解函數(shù)的有關(guān)知識。當然，那些非正式的語言描述性概念并不是學習的最終目的，對學生來說，學習正式的數(shù)學術(shù)語和抽象的代數(shù)符號是非常重要的。

原則二：構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)

描述函數(shù)的常用方式有：表格、坐標圖、文字、代數(shù)符號和問題情境。其中每一種表達方式都能描述一個變量的值是如何決定另一個變量的值。從概念上講，學生需要理解這些是描述同一個關(guān)系的不同方式。

成功的教學不僅是要培養(yǎng)學生熟練執(zhí)行各種程序的能力。例如，給定一個函數(shù)解析式時能畫出坐標圖，或者給定x值能求出對應(yīng)的y值。教師還應(yīng)幫助學生理解函數(shù)，培養(yǎng)他們以各種方式表示函數(shù)的能力以及轉(zhuǎn)換各種表達方式的能力。例如，用語言描述兩個變量之間的關(guān)系，用方程來表達直線斜率以及用坐標圖進行視覺表征時，都應(yīng)該有“意義”。總之，函數(shù)教學應(yīng)構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)。

原則三：培養(yǎng)學生善于隨機應(yīng)變和自我調(diào)節(jié)的能力

正如上面所討論的，以牢固而熟練地掌握有關(guān)函數(shù)的知識為目標的教學，應(yīng)該建立在學生已有的知識基礎(chǔ)上，應(yīng)該整合程序性技巧和概念性理解。但是，教學不僅應(yīng)該幫助學生用數(shù)學程序和概念去思考，而且應(yīng)該幫助學生在思考程序和概念本身的基礎(chǔ)上，反思他們的學習。

由于代數(shù)高度概括了數(shù)學關(guān)系，因此學生必須在更加抽象的水平上運算，這與他們以前常遇到的典型數(shù)學計算是截然不同的。學生必須在數(shù)學學習的所有水平上監(jiān)控自己解決問題的過程，反思自己的解題方法和策略。隨著數(shù)學學習越來越抽象，元認知的參與就顯得尤為重要。設(shè)想，如果學生不能積極地進行知識的構(gòu)建和理解，那么，當解題方法出現(xiàn)錯誤時，他們幾乎得不到任何相關(guān)的線索。

當學生的概念性理解和元認識監(jiān)控都很薄弱時，即使相當簡單的代數(shù)題，他們往往都無法解決。教師幫助學生建立實際問題與數(shù)學符號間的聯(lián)系顯得尤為重要。

（責任編輯 黃桂堅）