二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用

劉代平

【摘要】在高考數(shù)學(xué)中，對(duì)于二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的考查越來(lái)越多，許多高考?jí)狠S題都是關(guān)于二次函數(shù)的問(wèn)題，在全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷中，對(duì)于二次函數(shù)的考查內(nèi)容也非常多，所以二次函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于高考有著非常重要的意義，因此本文就二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用進(jìn)行了一定的研究.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；高考；壓軸題

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，在近些年的高考中，函數(shù)綜合性問(wèn)題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，而且考查的方式也較為靈活，而二次函數(shù)作為函數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與不等式、解析幾何、數(shù)列及復(fù)數(shù)等都有著密切的聯(lián)系，所以對(duì)二次函數(shù)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用進(jìn)行研究有著非常重要的意義.

一、高考數(shù)學(xué)試題分析

本文主要針對(duì)近兩年高考新課標(biāo)Ⅱ卷的數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)于高考試卷的解析來(lái)探求二次函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用.以2015年文科試卷第15題為例，題目如下：

例1已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4，3），且漸近線方程為y=±12x，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

這道題目實(shí)質(zhì)上是考查的解析幾何的知識(shí)，但是我們知道雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)二次函數(shù)，所以該題目實(shí)質(zhì)上也考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).在解答這道題目的過(guò)程中，不妨先判斷雙曲線焦點(diǎn)的位置，因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)（4，3），而點(diǎn)（4，3）又在漸近線y=12x的下方，所以可以判斷雙曲線的焦點(diǎn)是位于x軸上的，這時(shí)可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1，其中a，b均大于零，那么該雙曲線所對(duì)應(yīng)的漸近線方程就應(yīng)該為y=±bax，由已知條件可知ba=12，然后再將點(diǎn)（4，3）的坐標(biāo)代入所設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程，不難得到16a2-3b2=1，再由ba=12可以解得a=2，b=1，最終求得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=1.這道題目對(duì)于解析幾何的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了考查，但是所考查的內(nèi)容較為基礎(chǔ)，所以在高考數(shù)學(xué)中，必須要注重對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和應(yīng)用.

例2設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.（1）證明f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

這道題目考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的應(yīng)用，其中第一道題目相對(duì)較為基礎(chǔ)，而第二道題目則有一定的難度.從題目的已知條件中不難發(fā)現(xiàn)所給函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），第一個(gè)問(wèn)題中是要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性加以證明，這時(shí)不難聯(lián)想到導(dǎo)函數(shù)，所以不妨求出其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=m（emx-1）+2x，接下來(lái)要判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，而在導(dǎo)函數(shù)中有參數(shù)m和變量x存在，所以需要對(duì)其進(jìn)行分類討論，首先如果m≥0，在x∈（0，+∞）時(shí)，有emx-1≥0，2x>0，這時(shí)f（x）′>0；而當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1≤0，2x<0，這時(shí)f（x）′<0；如果m<0，在x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1<0，2x>0，這時(shí)f（x）′>0，而當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1>0，2x<0，這時(shí)f（x）′<0.因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)遞減的，在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增的.通過(guò)對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題的解答，可以指導(dǎo)對(duì)于任意的m，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上都是單調(diào)遞減的，在區(qū)間[0，1]上都是單調(diào)遞增的，所以不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[-1，1]上，函數(shù)f（x）的最小值為f（0），那么不難得到f（1）-f（0）≤e-1且f（-1）-f（0）≤e-1，即em-m≤e-1，e-m+m≤e-1. 這時(shí)不妨構(gòu)造函數(shù)g（t）=et-t-e+1，不難求得函數(shù)g（t）的導(dǎo)函數(shù)g（t）′=et-1，所以在t<0時(shí)，g（t）′<0；在t>0時(shí)，g（t）′>0，所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.又因?yàn)間（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0，這時(shí)em-m≤e-1，e-m+m≤e-1 是成立的，而當(dāng)m>1時(shí)，g（m）>0，即em-m>e-1，而當(dāng)m<-1時(shí)，g（-m）>0，即em-m>e-1，所以m的取值范圍為[-1，1].這道題目對(duì)于導(dǎo)函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了考查，同時(shí)在解題的過(guò)程中還需要構(gòu)造輔助函數(shù)，這就要求學(xué)生要靈活地掌握和應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).

二、二次函數(shù)復(fù)習(xí)建議

（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，活用教材

在進(jìn)行二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)時(shí)，首先要抓住教材，對(duì)于教材中的基礎(chǔ)知識(shí)一定要掌握牢靠，對(duì)于教材中所涉及的二次函數(shù)知識(shí)及一些常規(guī)的解題思路要全面地了解和掌握.

（二）注重?cái)?shù)形結(jié)合

由于二次函數(shù)與解析幾何有著密不可分的關(guān)系，所以在對(duì)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像，將函數(shù)與圖像結(jié)合在一起.在解答有關(guān)常見(jiàn)二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成畫(huà)函數(shù)圖像的習(xí)慣，通過(guò)函數(shù)圖像可以先對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及特征有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，雖然這種認(rèn)識(shí)是感性上的，但是再通過(guò)理性的分析，就能夠有效地對(duì)問(wèn)題加以解決，所以數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的解答二元函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的思想方法.

三、結(jié)語(yǔ)

近些年來(lái)，隨著新課程改革的進(jìn)一步深入，許多高考?jí)狠S題目都是與二次函數(shù)相關(guān)的.通過(guò)對(duì)近些年來(lái)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題的研究，筆者發(fā)現(xiàn)試卷中二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)所占的比重也越來(lái)越大，所以必須在復(fù)習(xí)的過(guò)程中對(duì)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)引起足夠的重視，通過(guò)有效的方式來(lái)進(jìn)行二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，從而在高考中取得較好的成績(jī).