“自主探究——合作學(xué)習(xí)”教學(xué)模式下培養(yǎng)高中學(xué)生直觀想象能力的實(shí)踐研究

江蘇臣 匡穎 謝輝

摘 要：直觀想象能力是培養(yǎng)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的重要手段之一，可幫助學(xué)生通過構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)、進(jìn)行邏輯推理、形成論證思路來養(yǎng)成良好的解題思維。文章分析了直觀想象能力的概念及要求，探究合作學(xué)習(xí)模式的教學(xué)要點(diǎn)及直觀想象能力的培養(yǎng)要點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上從直觀想象能力的培養(yǎng)實(shí)踐展開討論。旨在進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)教學(xué)模式，提升學(xué)生直觀想象能力，為高質(zhì)量教學(xué)提供幫助。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);直觀想象能力;探究合作學(xué)習(xí)

一、 引言

在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指導(dǎo)下，直觀想象能力需要利用圖形對(duì)數(shù)學(xué)問題展開理解，借助空間想象和幾何直觀感知事物的變化與形態(tài)。直觀想象的應(yīng)用范圍較廣，在高中數(shù)學(xué)解題中可幫助建立圖形與函數(shù)的聯(lián)系、分析數(shù)學(xué)問題、利用圖形加以描述、了解運(yùn)動(dòng)規(guī)律、掌握形態(tài)變化、認(rèn)知事物位置關(guān)系。讓學(xué)生通過直觀想象能力的提升進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)，在數(shù)形結(jié)合下提升解題技巧。

二、 直觀想象能力的概念及要求

（一）直觀想象的概念

直觀想象是指在空間想象下對(duì)事物的變化與發(fā)展展開進(jìn)一步認(rèn)知，是具體化與抽象化之間的有效轉(zhuǎn)變。在高中數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)高中生直觀想象能力的培養(yǎng)指的是在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)利用圖形加以輔助，從而對(duì)未知問題加以解決。即需要利用圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系來構(gòu)建一個(gè)直觀模型，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步闡述，從而讓數(shù)學(xué)具體形象被更直觀感知，以便于學(xué)生能夠更進(jìn)一步地理解數(shù)學(xué)問題，讓理解思維更具邏輯性，從而找出解決問題的直觀思路。

（二）直觀想象的要求

新課程標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育，也就是數(shù)據(jù)分析能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力。直觀想象能力是教學(xué)目標(biāo)之一，需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)、函數(shù)知識(shí)等知識(shí)點(diǎn)之間的構(gòu)想、設(shè)想、推想、聯(lián)想等能力。在直觀想象能力下建立知識(shí)的直觀模型，開拓更新穎有效的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際解決數(shù)學(xué)問題的能力以及良好的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。

高中學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)可在圖形和數(shù)學(xué)知識(shí)之間合理轉(zhuǎn)換。如將圖形的形象性、生動(dòng)性通過直觀分析與描述，讓形象思維與抽象思維相結(jié)合，抓住問題的本質(zhì)所在，找出解題有效思路以及切入點(diǎn)，提升問題的解決速度及準(zhǔn)確性。在高中階段，學(xué)生直觀想象能力要求做到以下三點(diǎn)：

第一，能將直觀圖形和空間圖形有效轉(zhuǎn)化;

第二，在對(duì)空間圖形加以描述的語(yǔ)言及符號(hào)方面具備一定程度能力;

第三，對(duì)空間幾何體的組合和分解可通透理解幾何體的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等。

三、 自主探究、合作學(xué)習(xí)的教學(xué)要點(diǎn)

（一）自主探究

培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力，教師需考慮到對(duì)學(xué)生思維能力的養(yǎng)成，改變傳統(tǒng)一言堂的教學(xué)觀念，培養(yǎng)綜合素質(zhì)，轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，將學(xué)生作為課堂的主體，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。在課堂教學(xué)過程中，教師可采用問題導(dǎo)入法讓學(xué)生自主思考，激發(fā)探究欲望。同時(shí)注重動(dòng)手實(shí)踐，在作圖的過程中了解圖形變化規(guī)律，從中找到解題切入點(diǎn)。在自主探究過程中教師僅處于引導(dǎo)者位置，適當(dāng)對(duì)學(xué)生的思考思路進(jìn)行點(diǎn)撥。

（二）合作學(xué)習(xí)

合作探究學(xué)習(xí)模式是新課程改革的重要體現(xiàn)。小組合作學(xué)習(xí)時(shí)容易受到高考?jí)毫Φ挠绊憣?dǎo)致小組討論不充分，部分性格內(nèi)向或數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生僅處于輔助位置，思考程度較低甚至存在懈怠、偷懶情況，造成組內(nèi)學(xué)生的討論充分參與度不平衡。在實(shí)踐教學(xué)中，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，合作學(xué)習(xí)教學(xué)模式下教師需合理分組。教師可通過層次教學(xué)法，對(duì)不同組別安排不同層次的探究目標(biāo)及問題，讓每位學(xué)生均可參與其中，在評(píng)價(jià)層面則融合學(xué)生討論參與度。通過小組合作學(xué)習(xí)模式、小組互動(dòng)學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生在教師的指點(diǎn)、啟發(fā)與引導(dǎo)下，通過閱讀、觀察、交流、討論與歸納來尋求答案，在自主思考的基礎(chǔ)上與同學(xué)之間展開相互討論，在思維碰撞下獲取更多元化的解題思路，并在明確的責(zé)任分工下充分討論思考，在相互補(bǔ)充、相互啟發(fā)下發(fā)揮團(tuán)隊(duì)合作精神，共同解決問題。

四、 直觀想象能力的培養(yǎng)要點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)由于邏輯性和抽象性有了明顯提升，學(xué)生的直觀想象能力培養(yǎng)必須建立在自主思考以及相互討論基礎(chǔ)上，形成自主探究、合作學(xué)習(xí)的教學(xué)模式。直觀想象能力的培養(yǎng)首先需強(qiáng)調(diào)學(xué)生在自主思考下找出解題關(guān)鍵，合作學(xué)習(xí)則可起到頭腦風(fēng)暴、思維發(fā)散的效果，將題目深化、知識(shí)點(diǎn)內(nèi)化，提升綜合能力。在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，直觀想象能力培養(yǎng)需建立在自主探究、合作學(xué)習(xí)模式基礎(chǔ)之上，具體可表現(xiàn)為以下幾方面。

（一）鼓勵(lì)自主思考

依照新課程理念下以學(xué)生作為課堂主體的相關(guān)要求，教師需強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生通過閱讀題目及圖形觀察，將具體事物轉(zhuǎn)化為感性認(rèn)知。高中數(shù)學(xué)涉及的題目難度相較于初中有了質(zhì)的飛躍，在解題時(shí)若僅憑黑板上文字描述或教師口頭講解，面對(duì)與函數(shù)有關(guān)問題或抽象性問題，學(xué)生難以有效理解。此時(shí)教師可鼓勵(lì)學(xué)生自主動(dòng)手實(shí)踐，通過自己畫圖、觀察圖形變化的方式更直觀地了解題目意義。例如在動(dòng)點(diǎn)型問題解題時(shí)，通過動(dòng)手實(shí)踐觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，相較于單純思考而言可顯著提升解題效率。教師需讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖形也可作為視覺符號(hào)的一種，與接觸的表象事物關(guān)聯(lián)密切。自主動(dòng)手探究的過程也就是想象能力的培養(yǎng)過程，可將問題具象化，盡快找到解題切入點(diǎn)。

（二）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

情境的創(chuàng)設(shè)能夠幫助學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)文字題目下轉(zhuǎn)換心情，換一種思路來面對(duì)題目，可對(duì)學(xué)生的想象力有效激發(fā)。直觀能力的培養(yǎng)可通過創(chuàng)設(shè)更具直觀性的事物來加以引導(dǎo)，情境創(chuàng)設(shè)下不但學(xué)生的思考熱情得以激發(fā)，還可讓其思維得到觸動(dòng)，讓抽象的數(shù)學(xué)概念或函數(shù)題目與具象化事物相聯(lián)系。例如在學(xué)習(xí)曲線函數(shù)時(shí)，可列舉向上拋出一個(gè)小球所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡、射箭所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡、溜溜球的運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的曲線等，讓學(xué)生思考這些軌跡在特點(diǎn)上是否存在不同之處，以更容易想象的事物作為課堂導(dǎo)入來引出曲線函數(shù)知識(shí)點(diǎn)。

（三）利用簡(jiǎn)單圖形研究復(fù)雜圖形

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，立體幾何課程往往是學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)所在，對(duì)空間想象能力要求較高。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象、從整體到局部的思考能力，在理解與認(rèn)知點(diǎn)、線、面之間的空間位置關(guān)系時(shí)，可利用長(zhǎng)方體或正方體作為載體和模型，通過熟悉的圖形解決復(fù)雜圖形之間的位置關(guān)系。需要讓學(xué)生了解長(zhǎng)方體或正方體的空間基本元素的性質(zhì)和關(guān)系，從而引入復(fù)雜幾何體，將復(fù)雜解題過程借助割補(bǔ)法轉(zhuǎn)變?yōu)殚L(zhǎng)方體或正方體模型加以處理。讓復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，通過直觀想象來分解圖形、開拓思路，提升解題能力。

（四）利用向量解題

在高中數(shù)學(xué)解題中，三角函數(shù)、幾何和代數(shù)均可利用向量作為溝通工具。不同題型、不同內(nèi)容均可結(jié)合向量及其運(yùn)算工具來處理空間幾何方面的問題。在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力時(shí)，可從圖形特征角度作為切入點(diǎn)，結(jié)合向量培養(yǎng)學(xué)生的用圖思考習(xí)慣、作圖習(xí)慣和想圖能力。

（五）函數(shù)與圖象相結(jié)合

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但由于函數(shù)本身邏輯性強(qiáng)且抽象性強(qiáng)，在學(xué)習(xí)時(shí)難度較大。函數(shù)可將高中的微積分、數(shù)列、方程、不等式等知識(shí)串聯(lián)起來。由于存在抽象性特征，教師可采用數(shù)形結(jié)合方式，指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形溝通實(shí)現(xiàn)函數(shù)與圖形的完美結(jié)合，豐富函數(shù)知識(shí)表征，降低函數(shù)理解難度。還可利用圖象，以更直觀的思考方向理解函數(shù)、刻畫函數(shù)，并了解相關(guān)概念及特征。在復(fù)雜函數(shù)變化過程中，教師可利用數(shù)形結(jié)合思想讓學(xué)生掌握更多元化的思考方法，盡快找出解題關(guān)鍵。

五、 直觀想象能力的培養(yǎng)實(shí)踐

直觀想象能力的培養(yǎng)關(guān)鍵在于讓學(xué)生建立數(shù)與形之間的有效聯(lián)系。教師需找出典型問題展開分類教學(xué)，幫助學(xué)生有針對(duì)性地了解題型的解題切入點(diǎn)及思考關(guān)鍵點(diǎn)所在。通過自主思考找出切入點(diǎn)，并通過合作探究實(shí)現(xiàn)全面分析，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（一）圓錐曲線問題

針對(duì)圓錐曲線的問題，在直觀想象能力方面要求學(xué)生能夠聯(lián)想到向量、參數(shù)范圍、垂直、弦長(zhǎng)與圓錐曲線方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。其難點(diǎn)在于函數(shù)知識(shí)與圓錐曲線之間的聯(lián)系，對(duì)題目展開圓錐曲線圖象分析，從而構(gòu)建相應(yīng)直觀模型。在解決此類數(shù)學(xué)問題方面，關(guān)鍵在于通過坐標(biāo)法了解圓錐曲線與直線之間的位置關(guān)系，以及相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方程，并找出與曲線之間的聯(lián)系。借助幾何直觀將圓錐曲線的參數(shù)范圍、垂直范圍、弦長(zhǎng)范圍等問題形象簡(jiǎn)明的標(biāo)明。

在自主探究、合作學(xué)習(xí)模式下，學(xué)生首先需要了解圓錐曲線的大致模型，找出解題思路，嘗試建立數(shù)學(xué)模型。之后在合作探究下從本質(zhì)上探索圓錐曲線幾何性質(zhì)，了解題目的開放性特征。以“2012年湖北高考理科卷”為例，考察圓錐曲線問題的題目為設(shè)定某個(gè)圓的方程式，點(diǎn)A是該圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)置一條穿過點(diǎn)A并垂直于x軸的直線，標(biāo)明直線與x軸的交點(diǎn)。讓學(xué)生思考動(dòng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)過程中所形成的軌跡，并結(jié)合象限知識(shí)思考某一過原點(diǎn)且與曲線相交的直線在多項(xiàng)條件設(shè)定下的相關(guān)問題。該題目的考察重點(diǎn)在于不等式的證明、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。在獨(dú)立思考狀態(tài)下，學(xué)生需要分析函數(shù)圖象變化，在數(shù)學(xué)思維下思考解題思路，利用轉(zhuǎn)化法、化歸法解題。但在獨(dú)立思考下，由于題目中變量改變范圍較大，在建立數(shù)形關(guān)系時(shí)需要大量作圖才可確定軌跡。通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生可分工合作或利用超級(jí)畫板的跟蹤功能和動(dòng)畫功能，對(duì)軌跡變化情況直接觀察，并以此對(duì)圓錐曲線類型加以判定，讓抽象直接轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^狀態(tài)來確定軌跡方程。

（二）動(dòng)點(diǎn)型問題

動(dòng)點(diǎn)型問題指的是高中數(shù)學(xué)課程中圖形存在多個(gè)或一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)可在弧線、直線、射線、線段上運(yùn)動(dòng)，要求學(xué)生找出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律或描繪運(yùn)動(dòng)軌跡。動(dòng)點(diǎn)型問題的難點(diǎn)在于需學(xué)生在幾何思想下直觀了解數(shù)與形之間的聯(lián)系和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，屬綜合性較強(qiáng)的問題類型。在解題思想方面需要數(shù)形結(jié)合、以靜制動(dòng)。

在自主探究合作學(xué)習(xí)模式下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考觀察圖形特征，了解動(dòng)點(diǎn)的大致運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，將題目中的文字轉(zhuǎn)化為圖形，呈現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在合作模式下，分小組探討圖形變化中點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中不變的性質(zhì)，在動(dòng)中找靜。例如在“2011年江西高考理科卷”中，考察學(xué)生動(dòng)點(diǎn)型問題的題目為有一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁呈逆時(shí)針狀態(tài)不斷滾動(dòng)，讓學(xué)生思考小圓滾過大圓內(nèi)壁一周時(shí)某兩個(gè)點(diǎn)所繪制出來的圖形大致樣式。在解題時(shí)，學(xué)生首先可以自主思考的形式觀察兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與大圓圓心和小圓圓心之間的相對(duì)位置變化，這是找出解題的切入點(diǎn)關(guān)鍵所在。先自主了解動(dòng)點(diǎn)的大致運(yùn)動(dòng)軌跡，再采用小組合作共同探究如何將原本用參數(shù)方程解決的靜態(tài)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)問題。通過設(shè)置動(dòng)圓半徑大小而改變動(dòng)圓和定圓之間的半徑，將內(nèi)容延伸到內(nèi)擺線的知識(shí)上。

（三）動(dòng)態(tài)圖形重疊面積問題

動(dòng)態(tài)圖形重疊面積問題指的是讓圖形通過縮放、翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等方式進(jìn)行規(guī)律性運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)圖形重疊并求出重疊部分面積，同時(shí)了解運(yùn)動(dòng)變量之間函數(shù)關(guān)系。動(dòng)態(tài)圖形重疊面積問題的重難點(diǎn)在于對(duì)重疊部分的形狀準(zhǔn)確把握，找出形狀變化的臨界點(diǎn)，在變化中找出解題思路。

在自主探究合作學(xué)習(xí)模式下，學(xué)生可通過自主思考明確自變量的取值范圍，將重疊部分根據(jù)形狀加以分類，之后再找出臨界點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模式下的靜態(tài)分析，達(dá)到分段計(jì)算狀態(tài)。在合作探究過程中，可通過討論探究重疊部分不同形狀之間的臨界點(diǎn)以及重疊部分圖形變化，應(yīng)用到分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，逐漸養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)直覺。例如在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形的邊處于x軸的正半軸，直角梯形位于第一象限，設(shè)定一系列條件后思考某一正方形沿著x軸作平行移動(dòng)時(shí)與直角梯形的重疊面積變化。

教師讓學(xué)生找出重疊部分的面積的變化情況，亦或逐漸減少或逐漸增大。該題涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、平移等知識(shí)，判斷重疊部分圖形及分類找出圖形形狀變化的臨界點(diǎn)。通過合作討論，對(duì)某一定點(diǎn)的移動(dòng)距離來判斷臨界值具體值，對(duì)圖形面積分段計(jì)算找到變化曲線，以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力。

（四）具體教學(xué)設(shè)計(jì)

《基于不等式“ab≤a+b2”的教學(xué)設(shè)計(jì)》

六、 結(jié)語(yǔ)

在直觀想象能力下，幾何圖形與數(shù)學(xué)的結(jié)合可化抽象為具體、化繁為簡(jiǎn)，幫助學(xué)生更快速、準(zhǔn)確地找出題目的本質(zhì)及解題關(guān)鍵點(diǎn)所在，迅速找出切入點(diǎn)達(dá)到事半功倍的解題效果。教師在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的過程中，需注重學(xué)生的自主思考以及小組合作，以自主探究提升自身數(shù)學(xué)能力，并通過合作學(xué)習(xí)發(fā)散思維，達(dá)到學(xué)習(xí)的延伸效果。總之，教師需在日常教學(xué)中滲透幾何性質(zhì)，提升學(xué)生的用圖、作圖、想圖能力，形成直觀想象的思維能力及思維習(xí)慣，真正提升其數(shù)學(xué)能力。

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作者簡(jiǎn)介：江蘇臣，匡穎，謝輝，貴州省都勻市，貴州省都勻二中。