以學(xué)生為中心的“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革與實踐

李艷艷， 周 平

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

“離散數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程主要通過數(shù)理邏輯、集合論、二元關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)等知識點學(xué)習(xí)，了解和掌握各種離散量的結(jié)構(gòu)及其相互之間數(shù)與形的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理的能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力[1]。

由于離散數(shù)學(xué)的定義和定理多，內(nèi)容抽象難懂，所以課程團隊在多年的授課過程中，一直致力于從三方面探索和實踐以學(xué)生發(fā)展為中心的“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革。主要開展的工作有：（1）探索與實踐以學(xué)生為中心的教學(xué)新模式構(gòu)建，如情景引入、分組討論、任務(wù)驅(qū)動、測練融合、總結(jié)評價。（2）在課程思政的探索與實踐，挖掘主題思政元素落實“立德樹人”根本任務(wù)。通過深挖教材資源和學(xué)科文化，創(chuàng)新典型案例，“潤思政”而細無聲。（3）創(chuàng)新立體化教學(xué)評價。

1 以學(xué)生發(fā)展為中心的教學(xué)新模式構(gòu)建

1.1 問題驅(qū)動式的教學(xué)模式

在傳授知識的過程中，注重因材施教、有的放矢、一法為主、多元混合的講授方法；采用多形式的互動教學(xué)方法，包括以學(xué)生發(fā)展為中心的探究式教學(xué)和翻轉(zhuǎn)式教學(xué)；引入線上線下翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)新形式，如：情景引入、分組討論、任務(wù)驅(qū)動、測練融合、總結(jié)評價。通過教學(xué)方法的改進，提升教學(xué)質(zhì)量。

第一章命題邏輯的等值演算部分中，為了解決命題邏輯部分在教學(xué)中不能理論聯(lián)系實際的情況，課程組收集整理了一些教學(xué)案例，并將它們應(yīng)用于課堂教學(xué)，從而達到增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的目的。

例如：如果張三作案，那么李四一定是主犯；如果張三沒作案，那么王五參與作案。如果李四不是主犯，那么王五沒有參與作案。

由此可以推出以下哪項？（ ）

A. 張三沒作案

B. 李四一定是主犯

C. 李四不一定是主犯

D. 王五參與作案

E. 張三作案

命題符號化：設(shè)P：張三作案，q：李四為主犯，r：王五參與作案，從而推斷李四是主犯的結(jié)論。

以此類問題拋磚引玉，布置學(xué)習(xí)任務(wù)，將學(xué)生分組，自行查閱資料，尋找類似實際問題至少三個，并給出解決過程，形成學(xué)習(xí)小簡報在班級分享。

研究2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標準主題一預(yù)備知識的集合常用邏輯用語的銜接研究。一方面為以后從事的教師職業(yè)做好知識的儲備，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的學(xué)科核心素養(yǎng)。

第四章第五節(jié)等價關(guān)系和偏序關(guān)系時，通過舉例生活中的等價關(guān)系和偏序關(guān)系，例如在一群人的集合上年齡相等的關(guān)系是等價關(guān)系，朋友關(guān)系不是等價關(guān)系，三角形的相似關(guān)系是等價關(guān)系，直線間的平行關(guān)系不是等價關(guān)系，字典排序和網(wǎng)頁搜索引擎是偏序關(guān)系。

讓學(xué)生以小組為單位，每組說出一種等價關(guān)系和偏序關(guān)系。這樣讓學(xué)生深深感受到了，離散數(shù)學(xué)研究的問題，離我們的生活是如此之近和如此有用。通過這樣的方式培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的能力。

1.2 學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的新型學(xué)習(xí)共同體構(gòu)建

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、增強學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性在教學(xué)中至關(guān)重要。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生充分地參與教學(xué)，做自己課堂的主人，而不是聽眾。重點、核心內(nèi)容教師講解，例題、課后作業(yè)以小組為單位完成，小組成員抱團成長，給定基礎(chǔ)分70分，采取加分制。重要定理、公式，課堂默寫過關(guān)制，對于表現(xiàn)最優(yōu)秀的前三名學(xué)生，給予小零食作為獎勵。通過此種方式，鼓勵了先進、懲戒了落后，也拉近了同學(xué)們之間的感情。

2 課程思政的探索與實踐

2.1 言傳身教、立德于行，做行為模范的表率

教師作為學(xué)生的榜樣，點點滴滴言傳身教，教師必須以身作則，愛崗敬業(yè)，關(guān)心、關(guān)愛學(xué)生，不斷提升自身綜合素質(zhì)，為學(xué)生樹立良好榜樣，達到“親其師，信其道”的境界。從而實現(xiàn)立德樹人，潤物無聲的育人效果。

第一，提高自身的思想政治覺悟，加強自身的思想道德修養(yǎng)，堅持辯證唯物主義世界觀，關(guān)心時事政治，無私關(guān)愛學(xué)生。

第二，認真對待教學(xué)，嚴格要求自己和學(xué)生。教師每次課至少早到5分鐘，書寫一些必要內(nèi)容；在學(xué)生之間走幾圈，看看學(xué)生課前的狀況；但凡布置給學(xué)生的作業(yè)，都是自己批改，并盡可能的給學(xué)生指出錯誤的原因，給出一定的語言評價，多寫給學(xué)生幾句鼓勵和表揚的話。對學(xué)生嚴格要求，上課前早到10分鐘，手機調(diào)靜音并收起來，座位首先坐滿前排，否則后面的會調(diào)整到第一排，上課不遵守紀律的調(diào)整座位并扣分。對于無故不來的同學(xué)，課間讓舍友打電話，落實原因。

第三，不斷充實、提高自身的知識和能力。利用工作之余，多看一些教學(xué)相關(guān)的書籍和視頻，多外出參加一些教研科研相關(guān)會議和培訓(xùn)。

2.2 充分挖掘?qū)W科史、人物史等豐厚教育資源，實現(xiàn)課程文化育人

第一次課首先講的是學(xué)科的發(fā)展史，給學(xué)生理清楚離散數(shù)學(xué)的前世和今生，介紹發(fā)展過程中里程碑式的人物和貢獻。

第3章集合的基本概念和運算，要對數(shù)學(xué)的3次世界危機進行較為詳細的講解。

第一次數(shù)學(xué)危機是公元前5世紀古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”。但是該學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)的出現(xiàn)，與“萬物皆數(shù)”產(chǎn)生了悖論，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。第一次數(shù)學(xué)危機說明了人們探索數(shù)學(xué)奧秘的勇氣和艱辛，為科學(xué)獻身的偉大和崇高，世界上的好些事不是一帆風(fēng)順，培養(yǎng)學(xué)生崇尚科學(xué)，科學(xué)推演，不要主觀臆測，要有科學(xué)的思維和科學(xué)的精神[2]。

第二次數(shù)學(xué)危機源于微積分工具的使用。牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)了微積分。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊[2]。講到這里，穿插牛頓和萊布尼茨的人物簡介，讓同學(xué)們多角度地認識和了解他們，從而以史為鑒，揚長避短。

羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機。19世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆韀2]。關(guān)于這次數(shù)學(xué)危機，重點對于理發(fā)師悖論的產(chǎn)生、影響，以及對數(shù)學(xué)發(fā)展的跨域式的推動作用進行圖文并茂的講解。并對康托兒的故事通過視頻進行分享，進一步激發(fā)學(xué)生的科學(xué)精神。

講到第四章二元關(guān)系和函數(shù)時，首先從給兩句名言找作者開始，“知識就是力量”“我思故我在”，借此對近代科學(xué)的始祖笛卡爾的人物生平進行介紹，著重對他的成長史進行說明，讓學(xué)生領(lǐng)會到，人的成長往往不是直線式的，大多是曲線螺旋的，如何在低谷和曲折中，堅持自己的初心和追求，培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔的品格。笛卡爾與斯賓諾莎、牛頓、萊布尼茨一樣終生未婚，沒有享受家庭生活所帶來的快樂，讓學(xué)生在查閱資料的基礎(chǔ)上，分析這幾位數(shù)學(xué)家的人格缺陷。

2.3 從馬克思主義哲學(xué)思想出發(fā)，以定義、定理、公式為基礎(chǔ)案例，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維

對于命題邏輯和一階邏輯的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生把握雖然采用的符號化語言不同，但是解決問題的本質(zhì)初心沒變。例如關(guān)于命題：如果2大于3，則2大于4。命題邏輯符號化為：p蘊含q，一階邏輯符號化為L(x,y)：x大于y.a：2.b：3.c：4,L(a,b)蘊含L(a,c)。這體現(xiàn)了變與不變的哲學(xué)思想。

對于雙重否定律、同一律、排中律、矛盾律的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

集合主要算律的學(xué)習(xí)與24個等值式進行比較，讓學(xué)生通過現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)。

2.4 通過合作式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作精神

課程開始，就將學(xué)生分為4個學(xué)習(xí)小組，主要安排批改、講解章節(jié)測試題和期末模擬試卷，同時完成第三章集合的基本概念和運算的講解。組織形式采用組長負責制，并讓其他同學(xué)對承擔任務(wù)的小組和個人給出語言和分數(shù)的評價，且著重對有待改進的地方進行指導(dǎo)。期末復(fù)習(xí)階段，對小組掛科風(fēng)險高的同學(xué)，發(fā)出黃牌警告，并安排小組長對其進行督促和幫扶。

2.5 以職業(yè)規(guī)范引導(dǎo)開展思政教育

文山學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生80%以上從事的是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師工作，因此在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，要進行職業(yè)道德和職業(yè)規(guī)范的引導(dǎo)，從而培養(yǎng)學(xué)生的師德規(guī)范和教育情懷。

3 創(chuàng)新立體化教學(xué)評價

研究設(shè)計與實踐線上、線下混合式教學(xué)過程中學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評價辦法。將結(jié)果性評價與過程性評價相結(jié)合，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，參與的主動程度、深度與效果等都是評價的主要維度。過程性評價包括出勤、作業(yè)、課堂回答問題、章節(jié)測試題講解、線上資源學(xué)習(xí)簡報，按照比重賦予權(quán)重。

出勤（基礎(chǔ)分100），扣分制，遲到扣2分，曠課扣15分，請假扣2分，違反課堂紀律扣10分；

作業(yè)分兩部分：（1）書面作業(yè)（80分），交作業(yè)加1分，作業(yè)情況分三個等級A、B、C，分別加2分、1分、0分；不交作業(yè)扣5分；（2）章節(jié)內(nèi)容整理情況（分等級按分數(shù)計入）。以上兩項的平均分即是作業(yè)部分的成績；（3）課堂回答問題（基礎(chǔ)分70分），按照團隊打分（每學(xué)期初將班級分成4組），主動回答一次3分，回答正確加5分，重點培養(yǎng)團隊合作能力；（4）期中測驗+章節(jié)測驗（按小組講解），各占50%，以實際的平均分計入；（5）網(wǎng)絡(luò)資源學(xué)習(xí)小簡報以及體會交流（以實際打分計入）。

4 總結(jié)

根據(jù)教學(xué)要求，離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究與探索了以“學(xué)生為中心”的教學(xué)改革，設(shè)計教學(xué)案例，示范如何在課程教學(xué)中進行課程思政，通過將思政元素融入課堂教學(xué)，實現(xiàn)立德樹人與知識傳授的相互融通；研究、設(shè)計與實踐線上、線下混合式教學(xué)過程中學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評價辦法。該教學(xué)模式的改革，通過近兩屆學(xué)生的實踐，取得了較好的效果。