電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上方法探討

陳維燕，蔡林紅，曹 強(qiáng)

(浙江省工程物探勘察設(shè)計院有限公司，浙江 杭州 310005)

在目前的工程測量中，邊長是由電磁波在地球自然表面觀測的斜距，出于建立控制網(wǎng)等目的，長度值應(yīng)該歸化至標(biāo)石間的水平距離[1]，因而要進(jìn)行一系列的改正。這些改正大致可以分成三類：一是儀器系統(tǒng)誤差的改正；二是大氣折射率變化所引起的改正；三是歸算改正[2]。本文主要探討歸算方面的改正。

1 斜距歸算至大地線長度

電磁波測距測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距D，由于受大氣折光的影響，實際視線應(yīng)為S，r為波道的曲率半徑，β為波道曲率半徑夾角[3]，如圖1所示。大地點Q1和Q2的大地高分別為H1和H2，現(xiàn)要求大地點在橢球面上沿法線的投影Q1′和Q2′間的大地線長度s。

圖1 斜距歸算到參考橢球示意圖

1.1 S-D的歸算

由已知資料可知，

(1)

展開級數(shù)后，得：

(2)

式中,可令r=4R[4]。當(dāng)S=10 km時，式(2)中第二項約等于0.06 mm，第三項幾乎為0，考慮到實際工作中，邊長一般不會超過10 km，故可以認(rèn)為S=D。

1.2 D-d的歸算

在三角形Q1Q2O中，根據(jù)余弦定理可知：

D2=(H1+RA)2+(H2+RA)2-2(H1+RA)×(H2+RA)cosα

(3)

(4)

(5)

帶入式(4)可得：

(6)

將式(6)帶入式(3)可得：

(7)

1.3 d-s歸算

由已知公式可知：

(8)

展開泰勒級數(shù)后，得：

(9)

當(dāng)S=10 km時，式(9)中第二項約等于1 mm，第三項幾乎為零，故式(9)可簡化為：

(10)

式中,

(11)

至此，即完成了斜距至參考橢球大地線長度的歸算。

式(10)經(jīng)過進(jìn)一步簡化，又可寫成：

(12)

式中，

Δh=H2-H1

(13)

Hm=(H2+H1)/2

(14)

從式(12)可以看出,斜距歸算至大地線長度可分成三項，第一項是由于測線兩端的高差引起的傾斜改正，經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；第二項是由于平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)過此項改正，測線已變成弦線；第三項是由弦長歸化成弧長[5]。

2 大地線長度歸算至高斯投影面

大地線長度s歸算完成后，現(xiàn)要計算其在高斯投影面上的平距D1,如圖2所示。

圖2 大地線長度歸算至高斯投影面上示意圖

由控制測量可知：

D1=ms

(15)

式中，m為長度比?？砂聪率接嬎悖?/p>

m=(m1+4mm+m2)/6

(16)

(17)

(18)

平均值為：

(19)

將式(17)、(18)代入式(15)、(16)，可得：

(20)

式中，

ym=(y1+y2)/2

(21)

Δy=y2-y1

(22)

Rm=(RA1+RA2)/2

(23)

式(20)可用于一等測量計算，對于二等測量有式(24)：

(24)

對于三等測量有式(25)：

(25)

至此，就完成了電磁波測得的斜距值至高斯投影平面的歸算改正。

根據(jù)已有的研究成果，只要Hm的取值在0±6.4 m范圍內(nèi)即可[6]。考慮到我國克拉索夫斯基橢球的高程異常最大為65 m，全國范圍平均為29 m，1975年橢球的高程異常全國范圍平均為10 m，因此我國高程異常在0±6.4 m的區(qū)域，進(jìn)行高程歸化時，Hm可用正常高計算。當(dāng)精度要求不很高時，在我國任何地區(qū)，Hm都可用正常高計算。

RA具體取值為按緯度、方位及橢球元素在《一、二等基線測量細(xì)則》的附表“任意法截弧曲率半徑計算用表”中查取[7]。但在實際應(yīng)用中，RA所允許的偏差大小與測距邊平均高程面相對于投影面的高程Hm的絕對值的大小成反比。若以測區(qū)的平均高程面為投影面，取1 km已是不太可能出現(xiàn)的極端情況,卻仍允許RA有40 km的偏差。因此我國任何地點、任何方位的區(qū)域性橢球的曲率半徑均在6 370 km±40 km以內(nèi),完全沒有必要再按緯度、方位及橢球元素作形式上的嚴(yán)格計算。在實際計算中，RA值為6 370 km足以滿足精度的需要[8]。

3 在實際中的應(yīng)用

下面舉例說明上述公式在實際中的應(yīng)用。

在A、B點上進(jìn)行距離測量，儀器直接測得的距離S=1 753.02 m。A、B點的假定坐標(biāo)分別為(105 260.45,104 219.49,60.25)，(103 670.88,103 480.33,30.42)。

計算過程：

(1)斜距歸算至大地線長度

將S代入式(13)、(14)得：

Δh=H2-H1=29.83 m

Hm=(H2+H1)/2=45.34 m

代入式(12)，RA取6 370 km，可得

即斜距歸算至大地線長度為1 752.76 m。

(2)投影改正

根據(jù)式(21)、(22)，可得：

ym=(y1+y2)/2=103 849.91 m

Δy=y2-y1=739.16 m

將第(1)步計算出的大地線長度s代入式(20)，Rm取6 370 km，可得：

即觀測的距離歸算到高斯投影面上的距離為1 752.99 m。

4 結(jié) 論

本文主要探討了歸算改正的基本原理、計算公式及相關(guān)參數(shù)的取值。由前文的敘述可以看出：

(1)若測量精度要求不高，或者邊長較短且高差不大的情況，兩點間的平距可由儀器觀測的斜距直接計算得出，不必進(jìn)行改正[9]；若測量精度要求較高，應(yīng)按照式(12)，首先，將斜距歸算成測線平均高程面上的平距，然后，將平距進(jìn)行高程歸算至參考橢球面上，最后，按照式(20)歸算至高斯投影面上[10]。在實際計算時，Hm一般取正常高，RA取6 370 km已完全能夠滿足精度的需要。

(2)根據(jù)本文及之前的研究成果，我國高程異常在0±6.4 m的區(qū)域，進(jìn)行高程歸化時，Hm取正常高即可滿足高精度測量要求；當(dāng)精度要求不是很高時，在我國任何地區(qū)，Hm都可用正常高計算。但本文及之前的研究未探討高程異常在0±6.4 m外的區(qū)域進(jìn)行高精度測量計算時Hm的取值問題。

(3)電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上，之前已做了一定的研究，與先前發(fā)表的研究成果比較，本文側(cè)重基本原理的介紹、進(jìn)行計算公式的推導(dǎo)并結(jié)合實際應(yīng)用進(jìn)行了過程演示。

(4)本文從理論上推導(dǎo)出了電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上的嚴(yán)密計算公式，并探討了在實際計算中相關(guān)參數(shù)的取值，有一定的理論和實用意義。

(5)進(jìn)一步研究本課題，能夠更加明確其基本原理和相關(guān)參數(shù)的選取，提高測量精度。