跨座式單軌弓網(wǎng)耦合主動(dòng)控制研究

劉朝濤,狄科宏,杜子學(xué),楊 震

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

跨座式單軌交通作為城市軌道交通的一個(gè)重要分支，具有爬坡能力強(qiáng)，轉(zhuǎn)彎半徑小等優(yōu)點(diǎn)，已成為重慶市公共交通不可或缺的一部分[1]。跨座式單軌的接觸網(wǎng)為剛性接觸網(wǎng)，且橫向安裝在軌道梁的側(cè)壁，其弓網(wǎng)關(guān)系為剛體與剛體之間的耦合關(guān)系，而剛性接觸網(wǎng)的不平順會(huì)產(chǎn)生許多接觸硬點(diǎn)。列車通過(guò)這些硬點(diǎn)時(shí)，受電弓的相對(duì)位置與速度會(huì)發(fā)生瞬態(tài)變化，尤其在高速通過(guò)時(shí)，受電弓會(huì)頻繁地撞擊接觸網(wǎng)，一是會(huì)造成較大的運(yùn)行噪聲；二是會(huì)加大接觸力的波動(dòng)從而加劇弓頭與接觸網(wǎng)的機(jī)械磨損，且長(zhǎng)期運(yùn)行會(huì)造成受電弓的斷裂影響行車穩(wěn)定性與安全，不僅降低了其使用壽命，也提高了運(yùn)行維護(hù)成本；三是列車通過(guò)接觸網(wǎng)硬點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的短暫脫弓離線會(huì)出現(xiàn)拉弧現(xiàn)象，由此帶來(lái)的電氣磨損不僅會(huì)灼傷弓頭，同時(shí)也會(huì)破壞列車電氣穩(wěn)定性從而造成電氣元件的損壞。因此，對(duì)于受電弓主動(dòng)控制研究具有很大的意義，同時(shí)也是軌道交通電氣化發(fā)展不可或缺的一部分。

主動(dòng)控制是基于現(xiàn)代控制理論，在不影響受電弓內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)前提下，使用相關(guān)自動(dòng)化技術(shù)對(duì)其施加外力來(lái)降低弓網(wǎng)接觸力波動(dòng)[2]。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于受電弓主動(dòng)控制的研究均是針對(duì)鐵路系統(tǒng)的受電弓，而對(duì)單軌受電弓主動(dòng)控制的研究少之甚少?？缱絾诬壥茈姽啾扔谄渌剖降氖茈姽O(shè)計(jì)較為獨(dú)特。受電弓的底座與框架間安裝存在升弓彈簧。該彈簧主要作用是在單軌列車行進(jìn)過(guò)程中為弓網(wǎng)間的接觸提供自適應(yīng)力。而在列車高速行進(jìn)過(guò)程中，升弓彈簧的響應(yīng)速度非常有限，若受電弓在通過(guò)第一個(gè)接觸網(wǎng)硬點(diǎn)而發(fā)生了位移變化，在通過(guò)第二個(gè)硬點(diǎn)之前沒(méi)有完成調(diào)節(jié)，則受電弓與接觸網(wǎng)之間極有可能會(huì)發(fā)生碰撞。因此，需要加入執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)進(jìn)行主動(dòng)干預(yù)與快速調(diào)節(jié)。筆者所研究的主動(dòng)控制是以無(wú)刷直流電機(jī)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。為了不改變受電弓內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)，筆者將電機(jī)與框架連桿直連，考慮到電機(jī)的啟動(dòng)以及動(dòng)態(tài)性能，選擇雙閉環(huán)控制器。為了兼?zhèn)淇刂凭扰c控制速度，選擇分?jǐn)?shù)階PID作為系統(tǒng)的控制器。系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)如圖1。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1 弓網(wǎng)耦合模型

單軌受電弓在結(jié)構(gòu)上與其他受電弓有較大差異，但在工作模式以及動(dòng)態(tài)特性上具有很大的相似性。因此在進(jìn)行受電弓動(dòng)力學(xué)分析的時(shí)候，可參考現(xiàn)有的方法進(jìn)行分析?？紤]到弓網(wǎng)耦合工作在平衡位置時(shí)，弓網(wǎng)接觸點(diǎn)的動(dòng)態(tài)波動(dòng)范圍不大，因此，可以對(duì)受電弓的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化處理。

將受電弓框架部分以及弓頭部分看作單獨(dú)的質(zhì)量塊，它們之間以等效的剛度和阻尼相連，便得到了受電弓的二質(zhì)量歸算模型[3]。

跨座式軌道交通接觸網(wǎng)的布置形式不同于其他軌道交通的接觸網(wǎng)。通過(guò)錨段關(guān)節(jié)連接每一段伸縮單元并固定在軌道梁的側(cè)壁，受電弓則橫向安裝在軌道列車的底部裙板。單軌列車的弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)為橫向接觸受流，因此可以忽略重力以及空氣阻力的影響。

理論上跨座式單軌交通的剛性接觸網(wǎng)不存在彈性，但在弓網(wǎng)耦合過(guò)程中，接觸網(wǎng)在振動(dòng)的影響下會(huì)產(chǎn)生一定的彈性變形，因此筆者在建模時(shí)考慮了接觸網(wǎng)的彈性特性。同時(shí)，考慮到接觸網(wǎng)的特殊結(jié)構(gòu)形式，為了方便建模，將支持絕緣子視為剛體。而匯流排與接觸線在夾緊力的作用下具有近似相同的動(dòng)力學(xué)特性，可將其視為整體。因此得到的弓網(wǎng)耦合模型如圖2。

圖2 弓網(wǎng)耦合模型

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

k2(zr-z2)+F0

(2)

(3)

式中：

C=[ks0 0 0]

其中：q與w(t)分別為剛性接觸網(wǎng)不平順與車身振動(dòng)引起的激勵(lì)；F0為靜態(tài)抬升力。

2 三相無(wú)刷直流電機(jī)的雙閉環(huán)模型

永磁無(wú)刷直流電機(jī)相比于傳統(tǒng)的直流電機(jī)，具有維護(hù)成本低、機(jī)械效率高、功率密度高、易于控制等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)工程場(chǎng)合[4]。其常用的控制方法有電壓直接控制以及電流、轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)控制等。電壓直接控制會(huì)產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，降低電機(jī)運(yùn)行可靠性，無(wú)法應(yīng)用于高性能要求的場(chǎng)合。而雙閉環(huán)控制解決了電壓控制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)大的缺點(diǎn)，且具有啟動(dòng)速度快、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)[5]。因此選擇雙閉環(huán)的無(wú)刷直流電機(jī)控制策略。

2.1 無(wú)刷直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型

三相星形繞組的無(wú)刷支流電機(jī)滿足條件：

il1+il2+il3=0

(4)

且有：

Mil1+Mil2+Mil3=0

(5)

則定子的電壓平衡方程：

(6)

式中：M為相鄰兩相繞組互感；L為每相的自感。

電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩由永磁轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)與定子繞組電流相互作用產(chǎn)生，其數(shù)值為通過(guò)每相的電磁功率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速之比，表達(dá)式如式(7)：

(7)

則轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為：

(8)

式中：Ω為轉(zhuǎn)子角速度；B為阻尼系數(shù)。

2.2 逆變器模型

逆變器為MOSEFT管六臂全橋驅(qū)動(dòng)模型，導(dǎo)通方式為二二導(dǎo)通，不考慮電容保護(hù)電路的影響，且假設(shè)開關(guān)管與二極管具有理想的開關(guān)特性。逆變器拓?fù)淙鐖D3。

圖3 逆變器拓?fù)?/p>

在某一時(shí)刻，l1、l2相導(dǎo)通，此時(shí)il3=0。根據(jù)三相繞組的電壓平衡方程，可得：

(9)

聯(lián)立可得中點(diǎn)的電壓為：

(10)

在換相臨界位置，l3相導(dǎo)通，il3>0，并產(chǎn)生反向的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此時(shí)的電壓平衡方程為：

(11)

此時(shí)的中點(diǎn)電壓為：

(12)

式中：Udc為直流側(cè)電壓。通過(guò)判斷下一時(shí)刻換相相的電流可求解不同換相時(shí)刻的中點(diǎn)電壓，結(jié)合感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)進(jìn)而可求得逆變器輸出至三相繞組的端電壓。

2.3 電流滯環(huán)控制模型

電流滯環(huán)控制的作用主要是對(duì)三相繞組的電流進(jìn)行跟蹤并調(diào)節(jié)，對(duì)繞組起到一定的保護(hù)作用，其次是根據(jù)電機(jī)霍爾傳感器的信號(hào)以及電流的誤差信號(hào)輸出相應(yīng)的PWM信號(hào)。

當(dāng)電流的正向誤差大于滯環(huán)比較器的環(huán)寬時(shí)，輸出對(duì)應(yīng)相正向?qū)?，?fù)向關(guān)斷的PWM信號(hào)；當(dāng)電流的反向誤差低于環(huán)寬的邊界，輸出對(duì)應(yīng)相反向?qū)?、正向關(guān)斷的PWM信號(hào)。因此，電流的調(diào)節(jié)在滯環(huán)環(huán)寬內(nèi)呈鋸齒狀波動(dòng)。

圖4 電流滯環(huán)控制

2.4 轉(zhuǎn)速環(huán)控制模型

轉(zhuǎn)速環(huán)換采用PI控制，通過(guò)轉(zhuǎn)速誤差輸出不同的參考電流，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速的快速調(diào)節(jié)以及穩(wěn)態(tài)無(wú)靜差，同時(shí)對(duì)負(fù)載變化引起的干擾起到一定的抵抗作用。為防止電流過(guò)大，需要在參考電流輸出位置加入限幅模塊[6]。

圖5 轉(zhuǎn)速換PI控制

3 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

3.1 分?jǐn)?shù)階PID模型

分?jǐn)?shù)階PIλDμ是PID在整數(shù)階微積分的擴(kuò)展，引入了λ與μ的微積分階次參數(shù)，使得控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)范圍更廣，且具有靈活性。相比整數(shù)階PID，其對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的多變量以及非線性因素具有更強(qiáng)的調(diào)節(jié)特性。因此，分?jǐn)?shù)階PID控制器具有更好的動(dòng)態(tài)性能及魯棒性[7]。

分?jǐn)?shù)階微積分常用的基本函數(shù)有Gamma函數(shù)、Beta函數(shù)和Mittag-Leffler函數(shù)，其中Gamma函數(shù)定義如式(13)：

(13)

Gamma函數(shù)滿足式(14)：

Γ(x+1)=xΓ(x)

(14)

分?jǐn)?shù)階微積分的定義在整數(shù)階微積分定義基礎(chǔ)上推廣與歸納而來(lái)，是整數(shù)階的一般形式[8]。目前分?jǐn)?shù)階微積分的定義有3種，分別為Grunwald-Letnikov(GL)定義、Riemann-Liouvile(RL)以及Caputo定義。其中RL是建立在Gamma函數(shù)基礎(chǔ)上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)p，滿足m-1

(15)

積分形式為：

(16)

拉普拉斯變換同樣可以用來(lái)描述分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階PID的傳遞函數(shù)可以描述為：

(17)

積分環(huán)節(jié)能夠提高系統(tǒng)的型別，進(jìn)而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于整數(shù)階PID，一階積分環(huán)節(jié)會(huì)帶來(lái)系統(tǒng)的90°相位遲滯，從而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。通過(guò)調(diào)節(jié)積分階數(shù)λ，使得系統(tǒng)的相位滯角在0～180°變化，可以同時(shí)兼顧系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能以及穩(wěn)定性。微分環(huán)節(jié)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)超前的90°相角，從而做出誤差的提前修正，增加系統(tǒng)的阻尼特性，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。同理，通過(guò)調(diào)節(jié)微分階次μ，使得超前相角在0～180°變化，使得系統(tǒng)阻尼的調(diào)節(jié)范圍更大，從而達(dá)到系統(tǒng)的性能要求[9]。

3.2 分?jǐn)?shù)階次的近似

通常計(jì)算分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有一定的難度，需要將分?jǐn)?shù)階次近似為整數(shù)階，再利用整數(shù)階的計(jì)算方法進(jìn)行求解，提高計(jì)算效率。目前分?jǐn)?shù)階近似有兩種途徑，一種是間接近似，另一種是直接近似。直接近似法是將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)離散化，然后進(jìn)行求解；間接近似需要在頻域內(nèi)選定合適的頻域范圍，再通過(guò)算法對(duì)分?jǐn)?shù)階進(jìn)行整定。目前最常用的近似算法為Oustaloup法，該算法通過(guò)設(shè)計(jì)Oustaloup濾波器對(duì)輸入的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行近似化。假設(shè)近似對(duì)象[10]：

R(s)=sα

(18)

選定擬合頻段(ωb,ωh)以及近似階次N，則濾波器的輸出高階傳遞函數(shù)為：

(19)

其中增益以及零極點(diǎn)為：

(20)

頻段的選取標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)能盡量提高精度，但是精度的提高將伴隨著計(jì)算速度的下降。對(duì)于近似的階次，理論上階次越高，近似效果越好，但是當(dāng)擬合階次達(dá)到某一值時(shí)，逼近精度將不再有明顯的提高。因此，在選取擬合頻段以及階次時(shí)應(yīng)綜合考慮系統(tǒng)性能和精度的要求。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

4.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

對(duì)于弓網(wǎng)系統(tǒng)，靜態(tài)抬升力F0=100 N。升弓彈簧以及弓頭支座的橡膠彈簧剛度和阻尼系數(shù)參數(shù)通過(guò)儀器實(shí)驗(yàn)測(cè)得,分別為k2=12 900 N/m、c2=100 N·s/m、k1=17 000 N/m、c1=200 N·s/m。弓頭以及框架的等效質(zhì)量m1=2.49 kg、m2=10.54 kg。接觸剛度ks=8 700 N/m。剛性接觸網(wǎng)的支持絕緣子間距L=2 m[11]。激勵(lì)均看作白噪聲，功率設(shè)置為10-7。

電機(jī)采用雙閉環(huán)控制，其參數(shù)如下：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.001 56 kg·m2；定子繞組電阻R=4.526 Ω；電感L=0.002 H；阻尼系數(shù)B=0.0002 N·m·s/rad；極對(duì)數(shù)p=2；電源為直流220 V；電流限幅為±30 A；轉(zhuǎn)速環(huán)KP=20；KI=0.15；采樣周期T=0.000 1 s；積分階次為0.9；微分階次為0；控制器的KP=0.08；KI=0.01；近似階次N=4。

4.2 接觸力與弓頭位移響應(yīng)分析

評(píng)價(jià)弓網(wǎng)受流質(zhì)量的主要指標(biāo)有平均接觸力、最大接觸力、最小接觸力、接觸力標(biāo)準(zhǔn)差以及離線率[12]。對(duì)于跨座式單軌交通，規(guī)定弓網(wǎng)接觸力的最佳值應(yīng)在59±10 N之間，而接觸力在44～79 N之間便可保證弓網(wǎng)之間的正常受流。

單軌列車安裝有多個(gè)受電弓，且均勻分布在列車兩側(cè)，只取一側(cè)單個(gè)受電弓進(jìn)行分析。受制于跨座式單軌交通特殊的承載方式，列車直線段行駛的最高時(shí)速不能超過(guò)80 km/h[13]。因此，讓列車以60、80 km/h 兩種不同速度在直線段勻速行駛，通過(guò)對(duì)比不同時(shí)速下被動(dòng)與主動(dòng)控制的接觸力響應(yīng)來(lái)分析主動(dòng)控制對(duì)弓網(wǎng)接觸力的影響。

圖6為直線段不同時(shí)速下接觸力的時(shí)域響應(yīng)曲線。由圖6和表1可知，直線段60、80 km/h時(shí)速下弓網(wǎng)離線率均為0；在速度為60 km/h時(shí)，控制效果明顯，接觸力基本穩(wěn)定在54～68 N之間，接觸力的波動(dòng)明顯降低，弓網(wǎng)處于最佳受流狀態(tài)；而速度為80 km/h時(shí)，控制效果相比低速狀態(tài)要減弱一些，但接觸力大部分時(shí)間均能穩(wěn)定在47～72 N之間，能夠完成弓網(wǎng)間的正常受流。

圖6 直線段不同時(shí)速下接觸力響應(yīng)曲線

表1 不同時(shí)速下弓網(wǎng)受流質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)

圖7為直線段不同時(shí)速下弓頭位移曲線。同理，在速度為60 km/h時(shí)，主動(dòng)控制能明顯改善弓頭的振動(dòng)，而在速度為80 km/h時(shí)，控制效果隨著速度的增加而變?nèi)?，原因是隨著車速的增加，弓網(wǎng)對(duì)于高頻信號(hào)也愈發(fā)敏感，而電機(jī)的響應(yīng)速度為一定值。

圖7 直線段不同時(shí)速下弓頭位移曲線

表2 不同時(shí)速下弓頭位移評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)

圖8為階躍輸入下電機(jī)主動(dòng)控制的接觸力響應(yīng)曲線，接觸力在從0～60 N的上升時(shí)間為0.02 s左右。圖9為實(shí)測(cè)截取的重慶軌道交通3號(hào)線雙龍至碧津直線段70 km/h的弓頭位移頻響特性曲線。引起弓頭振動(dòng)的頻率主要集中在0～30 Hz以內(nèi)，主動(dòng)控制的反應(yīng)速度能夠應(yīng)對(duì)該頻段內(nèi)的激勵(lì)信號(hào)。因此，電機(jī)主動(dòng)控制的模型雖然對(duì)于高速弓網(wǎng)的調(diào)節(jié)有些欠缺，但對(duì)于跨座式單軌列車，其調(diào)節(jié)效果能夠滿足弓網(wǎng)的正常受流。

圖8 階躍輸入接觸力響應(yīng)

圖9 直線段70 km/h弓頭位移頻響特性

5 結(jié) 論

建立了線性二自由度弓網(wǎng)耦合質(zhì)量歸算模型，以及無(wú)刷直流電機(jī)的雙閉環(huán)控制模型，利用分?jǐn)?shù)階PID控制器模擬并分析了弓網(wǎng)接觸力的響應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1)在直線段60 km/h下，主動(dòng)控制的接觸力標(biāo)準(zhǔn)差相比被動(dòng)控制減少了43.3%，弓頭位移的標(biāo)準(zhǔn)差相比被動(dòng)控制減小了35.8%，且接觸力基本維持在49～69 N的最佳弓網(wǎng)受流區(qū)間；而在80 km/h下，主動(dòng)控制的接觸力標(biāo)準(zhǔn)差相比被動(dòng)控制減少了30.0%，弓頭位移的標(biāo)準(zhǔn)差相比被動(dòng)控制減小了30.7%，接觸力基本維持在44～79 N的正常受流區(qū)間，證明所設(shè)計(jì)的主動(dòng)控制系統(tǒng)能有效降低接觸力波動(dòng)，改善弓頭振動(dòng)，提高受流質(zhì)量。

2)在響應(yīng)速度方面，主動(dòng)控制的響應(yīng)時(shí)間在0.02 s左右，而根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，引起弓網(wǎng)振動(dòng)的頻段主要集中在0～30 Hz以內(nèi)，因此控制系統(tǒng)能夠進(jìn)行快速響應(yīng)與有效調(diào)節(jié)，進(jìn)一步驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)主動(dòng)控制系統(tǒng)的有效性。