基于分段式雙冪次趨近律的迭代滑模航向控制

趙月林，門茂峰，孫 壯

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法是由前蘇聯(lián)學(xué)者在20世紀(jì)提出，因滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)過程簡單，對系統(tǒng)干擾和參數(shù)攝動具有“完全自適應(yīng)”性引起了科研界的高度重視[1]。船舶運(yùn)動系統(tǒng)復(fù)雜，其數(shù)學(xué)模型的不準(zhǔn)確易產(chǎn)生攝動，因此滑模變結(jié)構(gòu)控制的“完全自適應(yīng)性”能很好地解決數(shù)學(xué)建模中存在的問題，十分適合用來設(shè)計(jì)航向控制器。然而，滑模變結(jié)構(gòu)控制算法的抖振問題十分嚴(yán)重[2]，該問題一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的難點(diǎn)。

筆者選用滑模變結(jié)構(gòu)控制算法對船舶航行控制器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，提出了一種分段式雙冪次趨近律來減弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的抖振問題。通過數(shù)學(xué)求解得出該分段式雙冪次趨近律的收斂時(shí)間小于快速趨近律和雙冪次趨近律。在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)趨近律的參數(shù)選擇很大程度上影響著系統(tǒng)抖振，固定參數(shù)很難使控制器達(dá)到最佳狀態(tài)。因此筆者選用簡單而又高效的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來在線估計(jì)參數(shù)，使得控制器參數(shù)時(shí)時(shí)刻刻保持在最佳狀態(tài)，提高航向控制器效率。

1 趨近律特性分析

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法在控制器設(shè)計(jì)上具有獨(dú)特的優(yōu)勢，但其抖振現(xiàn)象也給設(shè)計(jì)者帶來了無限困擾。高為炳[3]在運(yùn)用滑模方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，引入快速趨近律和雙冪次趨近律在抖振的削弱方面具有良好效果，但是兩者收斂時(shí)間不同。為此，筆者在用數(shù)學(xué)方法對兩種趨近律的收斂時(shí)間進(jìn)行求解并進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上，提出了一種有效降低抖振、提高收斂速度的分段式雙冪次趨近律。

1.1 雙冪次趨近律收斂時(shí)間分析

雙冪次趨近律[4]的表達(dá)如式(1)：

(1)

式中：k1>0，k2>0，0<γ<1。

假設(shè)s(0)>1，則系統(tǒng)分為兩個(gè)運(yùn)動階段趨近于平衡點(diǎn)；s(0)→s=1，此時(shí)為遠(yuǎn)離滑模面階段，因?yàn)?+γ>1，故趨近律中第1項(xiàng)起主導(dǎo)作用，忽略第2項(xiàng)。

由式(1)可得式(2)：

(2)

對式(2)進(jìn)行積分，可得式(3)：

(3)

由此可計(jì)算得s(0)→s=1，所用時(shí)間如式(4)：

(4)

s=1→s=0，接近滑模面階段。同理，式(1)趨近律的第2項(xiàng)起主導(dǎo)作用，忽略第1項(xiàng)，由式(1)可得式(5)：

(5)

對式(5)兩邊積分，可得式(6)：

sγ=-γk2t+1

(6)

由此可得s=1→s=0所用時(shí)間如式(7)：

(7)

由此可見，收斂速度為兩段收斂時(shí)間的總和，如式(8)：

(8)

假設(shè)s(0)<-1，同理系統(tǒng)亦分兩個(gè)階段趨近平衡點(diǎn)，此時(shí)收斂時(shí)間的證明可參見上述推理。根據(jù)上述證明得出收斂時(shí)間如式(9)：

(9)

1.2 快速趨近律收斂時(shí)間分析

快速趨近律表達(dá)如式(10)：

(10)

當(dāng)s(0)→s=1，快速趨近律中第1項(xiàng)為主導(dǎo)項(xiàng)，同理忽略第2項(xiàng)[5]，由文獻(xiàn)[6]可得式(11)：

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，在趨近時(shí)間上雙冪次趨近律小于快速趨近律。由上述分析可知：當(dāng)s=1→s=0時(shí)，快速趨近律的主導(dǎo)項(xiàng)為等式第2項(xiàng)，因此第1項(xiàng)忽略。但該項(xiàng)與雙冪次趨近律的第2項(xiàng)相同，故為比較收斂時(shí)間長短[7]，必須分析整體時(shí)間。文獻(xiàn)[8]對式(10)進(jìn)行求解，得式(12)、(13)：

(12)

(13)

參考文獻(xiàn)[9]，對式(13)積分，得式(14)：

(14)

文獻(xiàn)[9]通過引入高斯超幾何函數(shù)，通過作商方法計(jì)算出ts1/td1>1，得出s=1→s=0階段快速趨近律的收斂時(shí)間小于雙冪次趨近律收斂時(shí)間。

1.3 分段式雙冪次趨近律

基于上述數(shù)學(xué)分析，在s(0)>1時(shí)，在s(0)→s=1階段，趨近時(shí)間上雙冪次趨近律小于快速趨近律，因此選擇雙冪次趨近律為最佳；而在s=1→s=0階段，趨近時(shí)間上快速趨近律小于雙冪次趨近律，因此選擇快速趨近律為最佳。鑒于以上不同階段最佳選項(xiàng)匹配矛盾問題，筆者提出了一種分段式雙冪次趨近律來進(jìn)行分段匹配。分段式雙冪次趨近律表達(dá)如式(15)：

(15)

式中：b=1+γ；ξ=1；c=1-γ；fal為一種非線性冪次組合函數(shù)。

fal的計(jì)算如式(16)：

(16)

當(dāng)運(yùn)動點(diǎn)遠(yuǎn)離滑模面，即|s|>1時(shí)，式(15)等價(jià)于式(1)，該系統(tǒng)以雙冪次趨近律形式趨近于滑模面。

當(dāng)|s|≤1時(shí)，式(15)可等價(jià)于式(17)：

(17)

該形式較快速趨近律少了后邊的冪次項(xiàng)，式(17)其實(shí)可稱為指數(shù)項(xiàng)，其本身可提高收斂速率，極大程度地削弱系統(tǒng)抖振。

為評價(jià)該趨近律綜合性能，借鑒自動控制原理中的時(shí)域分析法進(jìn)行評價(jià)。該系統(tǒng)為一階系統(tǒng)無超調(diào)量，評價(jià)指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間大小表征系統(tǒng)過渡過程進(jìn)行快慢。而調(diào)節(jié)時(shí)間主要由時(shí)間常數(shù)T決定，T越小系統(tǒng)的快速性就越好，1/T即為系統(tǒng)運(yùn)動最大變化率。為求最大變化率，筆者引入導(dǎo)數(shù)求變化率思想，即在極小范圍內(nèi)兩點(diǎn)間變化量可等價(jià)于該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，也稱為斜率。因此在快速趨近律中變化趨勢最快處取A(0.008,-0.096 28)、B(0.01,-0.085)兩點(diǎn)，求得1/T1=5.5，故T1=0.18；同理，因雙冪次趨近律與分段式雙冪次趨近律變化趨勢相同，所以同取C(0.011,-0.099 87)、D(0.013,-0.084 1)兩點(diǎn)，求得1/T2=8，故T1=0.12。由T1>T2，所以分段式雙冪次趨近律與雙冪次趨近律快速性較好，如圖1、2。由圖 1、2可看出：分段式雙冪次趨近律在趨近于零點(diǎn)時(shí)基本無抖振，曲線平滑。

圖1 快速趨近律、雙冪次趨近律、分段式雙冪次趨近律的比較

圖2 趨近律取點(diǎn)

鑒于分段式雙冪次趨近律既能有效削弱抖振，又能提高收斂速度，故選擇該分段式雙冪次趨近律來設(shè)計(jì)航向控制器。

2 船舶航向控制數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[10]認(rèn)為：應(yīng)將船舶看作一個(gè)動態(tài)系統(tǒng)，建立一階響應(yīng)型模型，該模型以舵角為輸入，艏向角或艏揺角速度作為系統(tǒng)輸出。在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)船舶在航行實(shí)際運(yùn)動中常常呈現(xiàn)非線性，例如不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定性等情況，因此將一個(gè)非線性項(xiàng)添加到一階線性方程中，如式(18)：

(18)

式中：T為船舶操縱性指數(shù)；α為非線性項(xiàng)，由螺旋試驗(yàn)確定；K為船舶旋回性指數(shù)。

將式(18)改寫為狀態(tài)空間表達(dá)式，如式(19)：

(19)

式中：f(r)=-1/T(α1+α3r3)；g=K/T；d(t)為外部干擾。

實(shí)際進(jìn)行航向控制的舵機(jī)大多由電氣-液壓機(jī)構(gòu)驅(qū)動，很難實(shí)現(xiàn)階躍操舵，會有一定延時(shí)。因此該舵機(jī)伺服系統(tǒng)可由式(20)表示：

(20)

式中：TE為伺服系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，一般取TE=2.5 s。

3 航向控制器設(shè)計(jì)

3.1 航向控制器模型

構(gòu)建航向誤差如式(21)：

(21)

為使船舶向能按預(yù)期航向航行，因此引入非線性迭代滑動模態(tài)[11]，如式(22)：

(22)

迭代滑模法設(shè)計(jì)將系統(tǒng)控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為對s2的鎮(zhèn)定問題，該系統(tǒng)必須保證s2,s1,e→0，因此系數(shù)需要滿足k5≥k3。

考慮到船舶模型中d(t)為未知函數(shù)，對其估計(jì)逼近難度較大，故選擇增量反饋來控制舵角的變化率。此處增量反饋選擇文中收斂速度更快的分段式雙冪次趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)，如式(23)：

(23)

為證明該系統(tǒng)穩(wěn)定性，特此引入李雅普諾夫判據(jù)法則，構(gòu)建新型Lyapunov函數(shù)，如式(24)：

(24)

對式(23)進(jìn)行求導(dǎo)，得式(25)：

(25)

由式(21)可得式(26)：

(26)

(27)

由此可見，該控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因此e=ψ-ψd，則航向ψ→ψd，從而控制器可將實(shí)際航向跟蹤至期望航向。

3.2 分段式雙冪次趨近律的參數(shù)估計(jì)

由文獻(xiàn)[12]可知：調(diào)節(jié)趨近律自身參數(shù)也可有效避免抖振。因此選擇RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過仿生物學(xué)習(xí)來在線估計(jì)趨近律參數(shù)，進(jìn)一步削弱抖振。筆者選取轉(zhuǎn)艏角速度和舵角作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，構(gòu)成2-8-1結(jié)構(gòu)，其中包含8個(gè)隱含層，輸出為在線估計(jì)的最佳參數(shù)。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層輸出為非線性函數(shù)[13-14]，如式(28)：

(28)

式中：x(t)為輸入?yún)?shù)向量；cj(t)為中心向量；‖x(t)-cj(t)‖為兩者之間的歐氏距離；bj為高斯基函數(shù)的寬度。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出如式(29)：

(29)

式中：γ為在線估計(jì)的最佳參數(shù)；wij為初始權(quán)重值，文中wij=1。

定義輸出誤差指標(biāo)對輸出效果進(jìn)行評價(jià)，如式(30)：

(30)

式中：μ為參數(shù)γ的期望值，但其數(shù)值為未知量。

用轉(zhuǎn)艏角速度與舵角比值來替代輸出誤差。文獻(xiàn)[15]表明：航行過程中船舶轉(zhuǎn)艏角速度與舵角的比值接近0.035。故誤差指標(biāo)重新定義如式(31)：

(31)

由此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出便是最佳參數(shù)。具體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出參數(shù)如圖3。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出參數(shù)γ值

4 仿真結(jié)果

筆者選用大連海事大學(xué)教學(xué)實(shí)習(xí)船“育鵬”輪作為研究對象，建立船舶仿真模型，驗(yàn)證控制器效果[16]。該船的基本參數(shù)為：船長Loa=189.0 m，船寬B=27.8 m，方形系數(shù)Cb=0.72，舵葉面積為38.0 m2，排水量為30 000 t。無量綱化后的船舶模型參數(shù)為：K=0.08，T=39.09。

為驗(yàn)證控制器對外界干擾魯棒性，設(shè)定初始狀態(tài)船舶航向000°。設(shè)定所需期望航向?yàn)?60°。分別在無風(fēng)作用海況和6級風(fēng)(風(fēng)速12 m/s、風(fēng)向80°)干擾海況下進(jìn)行仿真比對實(shí)驗(yàn)；另一組實(shí)驗(yàn)是在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)節(jié)參數(shù)情況下進(jìn)行。

4.1 無風(fēng)作用下航向控制

該情況下的航向控制如圖4。圖4(a)中：這3種趨近律所設(shè)計(jì)的控制器均能穩(wěn)定的到達(dá)預(yù)期航向060°，無超調(diào)量，無靜態(tài)誤差，船舶航向變化光滑，符合實(shí)際情況。舵角變化情況如圖4(b)，快速趨近律控制器收斂速度最快，但其舵角調(diào)節(jié)高達(dá)24°。相比于快速趨近律，分段式雙冪次趨近律優(yōu)勢明顯，不僅舵角調(diào)節(jié)度數(shù)小，僅為18°；且趨近速度比雙冪次趨近律快5%。

圖4 航向控制(無風(fēng)作用)

4.2 風(fēng)力6級干擾下航向控制

該情況下的航向控制如圖5。圖5(a)中：在分段式雙冪次趨近律固定參數(shù)下，面對風(fēng)力6級(風(fēng)速12 m/s，風(fēng)向80°)，該控制器表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。舵角調(diào)節(jié)情況如圖5(b)，達(dá)到預(yù)期航向只需調(diào)節(jié)舵角最大為27°，調(diào)節(jié)度數(shù)明顯少于其他兩種控制器。最后為使船舶穩(wěn)定在060°方向，舵角變化范圍為+7°～+16°。

圖5 航向控制(有風(fēng)干擾)

4.3 無風(fēng)海況RBF在線調(diào)節(jié)參數(shù)航向控制

在線估計(jì)參數(shù)與固定參數(shù)航向(無風(fēng))比較如圖6(a)。在無風(fēng)海況下，固定參數(shù)設(shè)計(jì)的分段式雙冪次趨近律控制器比RBF在線調(diào)節(jié)參數(shù)控制器所需的上升時(shí)間要少，但最終到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間二者相差無幾，均在180 s左右；再結(jié)合圖6(b)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)參的控制器對舵角調(diào)節(jié)僅為0°～10°，而固定參數(shù)為0°～19°，說明明顯好于固定參數(shù)。

圖6 在線估計(jì)參數(shù)與固定參數(shù)比較(無風(fēng))

4.4 風(fēng)力干擾下RBF在線調(diào)節(jié)參數(shù)航向控制

在6級風(fēng)力(風(fēng)速12 m/s，風(fēng)向80°)干擾下，航向調(diào)節(jié)時(shí)間由無干擾下的180 s增加到220 s，如圖7(a)。圖7(b)為在線估計(jì)參數(shù)與固定參數(shù)舵角(有風(fēng)作用)比較。圖7(b)中：最佳參數(shù)選擇對趨近律控制器的影響十分明顯，對舵角調(diào)節(jié)僅為0°～24°。在航向到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，RBF在線調(diào)節(jié)參數(shù)控制器對舵角調(diào)節(jié)比固定參數(shù)少10%。

圖7 在線估計(jì)參數(shù)與固定參數(shù)比較(有風(fēng)干擾)

5 結(jié) 語

筆者提出的分段式雙冪次趨近律，經(jīng)仿真結(jié)果驗(yàn)證能有效減弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的抖振，且趨近速度快于快速趨近律。

運(yùn)用一階響應(yīng)型數(shù)學(xué)模型建立“育鵬”仿真模型，并以此模型為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)航向控制器，分別在無風(fēng)干擾和6級風(fēng)干擾下進(jìn)行轉(zhuǎn)舵60°仿真。結(jié)果表明：引入分段式雙冪次趨近律的控制器比其他兩種控制器抗干擾效果更強(qiáng)，最大操舵角度明顯減小。考慮到趨近律參數(shù)選擇亦影響模型抖振和控制效果，引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)并進(jìn)行上述兩種情況的模擬仿真比較。結(jié)果顯示：引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，雖趨近速率減慢，但最大操舵角度在無風(fēng)干擾海況下的+17°減小到+10°，6級風(fēng)干擾海況下的+27°減小到+24°，控制效果明顯增強(qiáng)，穩(wěn)態(tài)品質(zhì)顯著提高。