微振蕩并聯雙量子點AB干涉儀的量子輸運特性

李林，李志堅

（山西大學 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

量子點的電子輸運是人們長期以來研究的課題，然而相關的研究工作很少考慮量子點與電極耦合界面的變化。實際上，量子點和電極界面很容易受到化學反應、局部熱效應等的影響而產生結構性的變化。電子輸運特性可能會對這種界面變化非常敏感，有時會提升輸運能力，有時卻會降低輸運能力。界面變化的細節(jié)不可控制，界面的動力學行為對系統(tǒng)輸運性質會產生何種影響值得進一步探究［1—4］。

近年來，隨著實驗上用微波或光輻射控制系統(tǒng)電子特性的操作越來越精密，人們對含時量子系統(tǒng)的輸運性質的研究給予了更多關注［5］，包括發(fā)展新的輸運理論來處理含時輸運問題，使得量子輸運理論更加完善［6—8］。量子點與電極耦合時，會有分子鍵的伸縮振動，形成依賴于時間的動力學系統(tǒng)。該理論考慮了系統(tǒng)的動力學效應，基于非平衡格林函數方法并遵循近似求解Dyson方程的原理，借鑒布蘭德斯的想法把Wigner空間中表示的Kadanoff-Baym方程按質心時間的導數梯度展開［9—10］，最后給出系統(tǒng)電流的近似表達式。一些研究工作［11—13］使用了這種梯度展開的方法，探究了量子點與電極間耦合化學鍵的相應彈簧常數值以及化學鍵間的相互作用等對系統(tǒng)輸運性質產生的影響。然而，在量子輸運過程中，量子相干性起著非常重要的作用，會導致量子共振現象，使得電子輸運特性發(fā)生很大的改變。量子系統(tǒng)與電極接觸的界面變化產生的影響會如何改變相干量子輸運特性，對于設計量子器件和改善其效能非常重要。并聯雙量子點體系是研究量子相干的典型模型，通過改變施加的磁通，系統(tǒng)的電導會展現出Fano共振、Kondo效應等量子相干特征。本文中，我們基于格林函數輸運理論，考慮量子點和電極耦合界面在其平衡位置附近的振蕩，以并聯雙量子點AB環(huán)為模型研究磁通的大小和量子點間耦合強度的變化對體系輸運性質的影響。

1 理論模型

我們考慮由兩個量子點組成的并聯雙量子點耦合到正常金屬電極上，兩量子點間存在隧穿耦合，并施加兩個不同的磁通?L和?R，形成雙AB環(huán)結構，如圖1所示。系統(tǒng)的總哈密頓量由雙量子點哈密頓量HM、左右電極哈密頓量HL和HR、左右電極和量子點的耦合哈密頓量HLM和HRM組成，可表示為

圖1 與電極耦合的并聯雙量子點體系的結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the double quantum dot coupled with the electrodes

左右正常金屬電極可看作是無相互作用的費米海，其哈密頓量為

其中di?(di)表示第i(i＝1，2)個量子點中能量為εi的電子的產生（湮滅）算符，ν表示兩個量子點間的耦合強度，θ＝2π(?L—?R)/?0（?0＝hc/e是磁通量子單位）表示電子從一個量子點隧穿到另一個量子點時相位的改變量。并聯雙量子點AB環(huán)與左右電極間的耦合哈密頓量HαM為

其中r(qαi，φαi)是量子點i與金屬電極α的耦合強度，看作量子點i與電極α界面在平衡位置附近振蕩位移qαi和電子通過該界面時相位變化φαi的函數。本文中我們選取，其中φ＝2π(?L+?R)/?0是由兩個 AB環(huán)的磁通之和導致的相位變化。假設耦合強度r(qαi，φαi)與振蕩位移qαi和相位φαi有如下關系：

2 Wigner空間中電流的近似計算

2.1 Wigner空間中的電流表達式

2.2 Wigner空間中Kadanoff—Baym方程的近似解及電流的動態(tài)修正

3 結果與討論

3.1 耦合參數λ對系統(tǒng)電導的影響

為了探究界面振蕩對電流的影響，我們考慮系統(tǒng)處于平衡構型，即q→0時的情況，這里需要注意的是，雖然q＝0，但≠0。假設γL＝γR，則ΓL＝ΓR，從方程（22）式可知，這里零階電導表達式與不考慮界面振蕩時的電導形式一致，本文主要的工作是研究二階電導的修正效應。

在不考慮磁通?α的情況下，取費米能級ω＝0，且ε1＝ε2＝ε時，系統(tǒng)的線性電導為

其中γ＝γL+γR。式中的第一項為零階電導，正好是不考慮界面振蕩時的電導表達式，第二項是與成正比的二階修正電導。選取，把γ作為能量單位。圖2是點間耦合分別在ν＝0和ν＝1的兩種情況下，且耦合參數λ均為0、0.1、0.2、0.7、1、2時，電導隨量子點能級的變化曲線。從圖2（a）中可以看出，當λ＝0時，也就是沒有考慮界面振蕩時，電導的極大值為2，此時兩個量子點的能級和費米面一致，兩個量子點分別作為一條輸運通道，系統(tǒng)同時能夠輸運兩個電子。隨著λ的增加，ε＝0處的電導值會由電導曲線的極大值變?yōu)闃O小值，轉變點約為λ＝0.7。當ε＝0處出現電導極小值時，我們稱為強耦合，否則稱為弱耦合。不同λ值下的電導曲線總是相交于處，也就是此時電導的二階修正項為零。當時，界面振蕩總是會減小電導值，且耦合參數λ越大，降低的幅度越大。當時，界面振蕩導致的二階修正項則會增大電導值。隨著量子點能級繼續(xù)遠離費米能級，又會導致電導減小，但減小的幅度較小。圖2（b）給出當ν＝1時，電導隨量子點能級的變化。與圖2（a）相比，可以看出兩個量子點間的耦合只會使得電導曲線向左平移ν，并不影響量子點的輸運特性。類似前面的運算過程，可以得到單量子點系統(tǒng)的線性電導。圖3給出單量子點系統(tǒng)和并聯非耦合雙量子點系統(tǒng)的電導比較，從圖中可以看出，并聯非耦合雙量子點系統(tǒng)的零階電導的峰值是單量子點系統(tǒng)的2倍，但二階修正電導的峰值卻是1/2倍。相對而言，并聯雙量子點系統(tǒng)會比單量子點系統(tǒng)受到界面的影響更小。通過改變耦合參數λ的取值大小，發(fā)現結果與上面討論的情況一致，即與耦合參數λ的大小無關。

圖2 不同耦合參數λ下電導隨量子點能級ε的變化曲線，其余參數選取為，θ＝0，φ＝0Fig.2 Conductance as energy levelεof quantum dots under different coupling parametersλ.Parameters used in calculations are，θ＝0，φ＝0

圖3 （a）零階電導、（b）二階修正電導、（c）電導在單量子和并聯雙量子點兩種系統(tǒng)中，隨量子點能級ε變化的曲線對比圖。參數選取實線 λ＝ 0.5，虛線 λ＝ 1，，v＝0，θ＝0，φ＝0Fig.3 Comparison of the curves of zero-order conductance（a），second-order modified conductance（b），and conductance（c）in single quantum and parallel double quantum dot systems with changes in quantum dot energy levelsε.Parameters used in calculations are λ＝ 1，，ν＝0，θ＝0，φ＝0

3.2 磁通?α對系統(tǒng)電導的影響

接下來我們研究并聯雙量子點AB環(huán)中磁通對電導的影響。前文中我們限定了通過兩個AB環(huán)的磁通大小相等方向相反，所以φ＝0，只看兩個相反方向的磁通差產生相位θ的影響。選取、λ＝0.2和ν＝1，在不同θ下電導隨量子點能級的變化如圖4所示。當θ＝0時，兩個子AB環(huán)中的磁通都為零，結果和圖2相同，只是由于選取ν＝1導致了電導向左平移（黑線所示）。當θ＝π時，ν前的相位因子eiθ等于—1，相當于ν反號，使得電導曲線（紫線所示）向右平移。在兩種情況下，二階電導修正很小。當θ＝π/2時，圖4（a）中的零階電導在ε＝±ν處出現完全對稱的兩個峰（藍線所示），二階修正電導同樣關于ε＝0對稱。當θ＝π/3時，零階電導在ε＝±ν處雖然出現兩個峰，但是兩峰不對稱，右側峰形成了一個Fano峰（紅線所示）。二階電導表現出明顯的不對稱性，進一步增強了右側峰的Fano共振行為。當θ＝2π/3時，觀測到的左右峰的現象與θ＝π/3的情況恰恰相反，即Fano峰會出現在左側（綠線所示）。由此可以看出，在弱耦合情況下，當θ≠nπ/2時，電導會出現Fano效應，二階修正電導會因兩個AB環(huán)中的磁通差的不同而改變，增強Fano共振行為。

圖4 磁通不同時，（a）零階電導、（b）二階修正電導、（c）電導隨量子點能級ε的變化圖Fig.4 Zero-order conductance（a），second-order modified conductance（b）conductance（c）with the energy levelεof quantum dots under different magnetic flux conditions

4 結論

我們采用非平衡格林函數方法，考慮量子點和電極之間的含時耦合效應，研究了并聯雙量子點AB環(huán)的輸運特征。研究發(fā)現并聯雙量子點系統(tǒng)中量子點與電極耦合界面的振蕩運動會導致系統(tǒng)的輸運性能改變。在弱耦合情況下，發(fā)現通過改變AB兩個子環(huán)之間的磁通量的大小，零階電導會有Fano效應出現，二階修正電導對該效應可以進一步增強，進而改變系統(tǒng)的輸運性能。