用空間向量解決立體幾何問題的建系策略

黃芹

立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要知識(shí)模塊，也是高考重點(diǎn)考查的核心內(nèi)容之一?？臻g向量是求解立體幾何問題的一個(gè)重要工具，利用空間向量解答立體幾何問題，主要突破“四關(guān)”：第一關(guān)，建系;第二關(guān)，求點(diǎn)的坐標(biāo);第三關(guān)，求法向量;第四關(guān)，應(yīng)用公式。然而如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求出點(diǎn)的坐標(biāo)是用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在。下面以典型的幾何體：棱柱、棱錐、多面體為載體，以典型的問題情境設(shè)計(jì)：求線面角、求二面角、探索性問題、翻折問題為背景，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的常用途徑。

途徑一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

分析：（1）幾何體中有三條直線兩兩垂直，直接建系。（2）空間向量非常適合于解決立體幾何中的探索性問題，只需要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算把“是否存在”的問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”的問題。

總結(jié)：建系的關(guān)鍵是找到垂直關(guān)系。判斷線線垂直的常用結(jié)論：正方形、矩形、直角梯形;等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直;菱形的對(duì)角線相互垂直;勾股定理逆定理;線面垂直性質(zhì)定理等。

途徑三、利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

總結(jié)：先由面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系。建系時(shí)讓一些點(diǎn)、線段盡量與坐標(biāo)軸重合。在利用法向量解決線面角及二面角大小時(shí)，一定要注意正確運(yùn)用公式，并判斷所求二面角是鈍角還是銳角。

立體幾何解答題通常分步設(shè)問，既考查同學(xué)們的空間想象能力與邏輯推理能力，也考查運(yùn)算求解能力。問題情境千變?nèi)f化，但萬變不離其宗的是：立體幾何解答題的考查歸結(jié)為點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及角度、距離的求解?？臻g向量工具是解決立體幾何問題的“尚方寶劍”，空間直角坐標(biāo)系是“定海神針”，三種建系途徑若能熟練掌握，定能提高分析問題的能力和解題速度。

（責(zé)任編輯 王福華）