常見空間距離的求解策略

韓陽

空間距離是立體幾何研究的一類重要問題，也是高考的重點內(nèi)容，主要包括點點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離、面面距離。其中以點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離為基礎(chǔ)，線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點到面的距離。

一、定義法

根據(jù)已知條件，利用幾何體的特征，結(jié)合空間距離的定義和立體幾何的知識先證明某線段為所求的距離，然后再通過解三角形求出空間距離。

點評：利用棱錐的定義，由三視圖作出四棱錐的直觀圖，結(jié)合直觀圖利用勾股定理求相關(guān)幾何量的數(shù)量，進(jìn)而求出結(jié)果，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖還原出原來的幾何體。

二、公式法

利用幾何體的體積公式或表面積公式，直接計算出所求距離或線段的長度。

三，等體積法

當(dāng)點到平面的距離不易求時，可先構(gòu)造一個三棱錐，若此三棱錐的底面積比較好求，且通過轉(zhuǎn)化頂點，求出三棱錐的體積，再利用三棱錐體積的不變性，求出點到平面的距離。

例3 邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折疊，使得△ACD垂直于底面ABC，如圖3所示，則點C到平面ABD的距離為（?）。

點評：本題利用等體積法求出點到平面的距離，避免了從點C作平面ABD的垂線，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，起到了化繁為簡的效果。

四、向量法

如果由題意可以比較容易地建立空間直角坐標(biāo)系，則可以使用向量法處理空間距離問題，關(guān)鍵是坐標(biāo)要正確，運算的過程要準(zhǔn)確。如果是不易直接建系，當(dāng)知道長度與角度時，可以考慮使用非坐標(biāo)形式下的向量運算進(jìn)行求解。