立體幾何有圖題想圖的幾個(gè)著眼點(diǎn)

鄧鈞方

立體幾何作為綜合考查同學(xué)們的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要載體，是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容。近年來(lái)，隨著新課改的推進(jìn)，命題原則逐漸從“以能力立意”轉(zhuǎn)向“以素養(yǎng)立意”，試題正在嘗試增加難度，提高能力要求。盡管如此，立體幾何試題的相對(duì)難度仍屬中等，是考生必爭(zhēng)之分。

我們知道，空間想象是從研究對(duì)象或問(wèn)題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式，對(duì)圖形的想象主要包括有圖想象和無(wú)圖想象兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志。圖形作為數(shù)學(xué)表達(dá)的語(yǔ)言，與文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言配合表達(dá)數(shù)學(xué)，圖形語(yǔ)言在直觀呈現(xiàn)問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題、輔助空間想象問(wèn)題等方面都發(fā)揮了不可替代的作用。

一、陌圖化熟換視位

我們?cè)谡n本中見(jiàn)到的柱、錐、臺(tái)、球，其圖形基本上都遵循斜二測(cè)規(guī)則，但在選拔性考試中，根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的需要，給出全新視角下幾何體的直觀圖。當(dāng)我們感到圖形很陌生時(shí)，可以改變角度重新畫一個(gè)自己熟悉的圖形，這樣可以快速人題。題方法。常見(jiàn)的圖形位置變換方法有：①移基本圖（當(dāng)直觀圖較陌生，隱含在圖形內(nèi)部的線、面關(guān)系就不容易看清楚，這時(shí)可將包含有線線、線面關(guān)系的基本圖形移出來(lái)觀察）;②改變視角（改變看圖的方向，畫一個(gè)熟悉的圖）;③“特寫鏡頭”（把涉及問(wèn)題的圖形的關(guān)鍵部分畫出來(lái)專門研究）。如此操作常可以得到簡(jiǎn)捷、優(yōu)美的解題路徑。

二、折疊成圖盯不變

折疊問(wèn)題多次成為高考題，所以研究其解題思路，掌握其解題方法是非常重要的。將一個(gè)平面圖形翻折得到一個(gè)折疊新圖，解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是緊扣折疊前后不變的“數(shù)量關(guān)系”和“線線關(guān)系”。保持不變的平行、垂直關(guān)系是證明空間線面平行、垂直關(guān)系的依據(jù)，保持不變的數(shù)量關(guān)系是求幾何體有關(guān)角度、距離、面積和體積的依據(jù)。

領(lǐng)悟：折疊問(wèn)題看似變化多端，實(shí)則有規(guī)律可循。在折疊前后，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中不變的量，如垂直、平行關(guān)系，角的大小、線段長(zhǎng)度等，抓準(zhǔn)了，問(wèn)題就迎刃而解。

三、動(dòng)態(tài)探索坐標(biāo)來(lái)

我們這里講解的立體幾何動(dòng)態(tài)探索問(wèn)題，涉及“點(diǎn)”、“線”、“面”中的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，有人把立體幾何中的動(dòng)態(tài)探索性問(wèn)題分為“位置探索”、“線定面動(dòng)”、“線動(dòng)面定”、“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”、“線面角”和“二面角”等，但是，仔細(xì)研究運(yùn)動(dòng)的情形都是某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因此，只要想通“點(diǎn)動(dòng)則線動(dòng)”、“點(diǎn)動(dòng)則面動(dòng)”，那么問(wèn)題就不難解決了。

領(lǐng)悟：①注意本題“線上動(dòng)點(diǎn)”的向量表達(dá)：b=Aa （a≠0）。②有關(guān)的存在性探索問(wèn)題常利用空間向量法解決，這樣可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的尋找角的過(guò)程。只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問(wèn)題。事實(shí)證明，空間向量法是解決立體幾何中存在性探索問(wèn)題的好方法。

（責(zé)任編輯 王福華）