空間幾何精選試題

胡彬

1.（2020年龍巖模擬）如圖1，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，CD=√5，AD=2√5，PA =4。

（1）證明：CD⊥平面

PAD;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值。

2.（2020年江西模擬）如圖2，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=90°，∠ACP=30°，且AC=12，AB=AP=6。

（1）若D為BP上的一個(gè)動點(diǎn)，求證：PC⊥AD;

（2）若CE=2EP，求二面角A-EB-C的平面角的余弦值。

3.（2020年鄭州模擬）如圖3，四邊形ABCD是矩形，沿對角線AC將△ACD折起，使得點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊AB上。

（1）求證：平面ABD⊥平面BCD;

（2）當(dāng)AB/AD=2時(shí)，求二面角D-AC-B的余弦值。

4.（2020年龍巖模擬）如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD= 90°，BC=1，PD =AD=2DC=2，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD。

（1）求證：BD⊥PC。

（2）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角MBC-D的大小為30°？若存在，求出PM/PA的值;若不存在，請說明理由。

5.（2020年宿遷模擬）如圖5，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AD=1，DD1=3，點(diǎn)P在CC1上，且C1P=2PC。

（1）求直線A1P與平面PDB所成角的正弦值;

（2）求二面角A-BD- P的余弦值。

6.（2020年泉州模擬）如圖6，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=120°，AB=2。平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)。

（1）求證：EF∥平面PAB;

（2）若直線PB與平面ABCD所成的角為45°，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值。

7.（2020年蚌埠模擬）如圖7，在四棱柱ABCD -A1B1C1D，中，AD∥BC，AB⊥AD，AD =AB =2BC，M為A1D的中點(diǎn)。

（1）證明：CM∥平面AA1B1B;

（2）若四邊形AA1B1B是菱形，且面AA1B1B⊥面ABCD，∠B1BA=60°，求二面角A1-CM-A的余弦值。

8.（2020年安徽模擬）如圖8，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAB為等腰直角三角形，BC⊥平面PAB，PA =PB，AB=BC=2.AD=BD=√5。

（1）求證：PA⊥平面PBC;

（2）求直線PC與平面PAD所成角的正弦值。

9.（2020年青島模擬）如圖9，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE是邊長為2的等邊三角形，AB =AE，F(xiàn)，O分別為AB，BE的中點(diǎn)，OF是異面直線AB和OC的公垂線。

（1）證明：平面ABE⊥平面BCE;

（2）記△CDE的重心為G，求直線AG與平面ABCD所成角的正弦值。

10. （2020年大連模擬）如圖10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BBlClC為菱形，A在側(cè)0面BB1C1C上的投影恰為B1C的中點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)。