創(chuàng)新視角下的立體幾何最值問題

包東妹

立體幾何是高中數(shù)學的重要知識模塊之一，歷年來的全國高考卷在解答題中必考查一道立幾題，常規(guī)的考查方式是第一問考查平行或垂直的證明，多為用綜合法直接證明，第二問求線線角、線面角或面面角，可以通過建系用空間向量求解，也可以用綜合法求解，屬中檔題。2020年的全國新高考卷（供山東、海南等地使用）考查了立體幾何中的最值問題，體現(xiàn)了立體幾何命題的一個趨向，值得重視。本文對立體幾何中這類求最值問題的創(chuàng)新題進行解析，為2021屆高三數(shù)學立體幾何備考提供一個參考。

創(chuàng)新1：知識交匯處的立幾最值問題，注重綜合

在函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何等章節(jié)中，經(jīng)常會遇到求最大、最小值的計算問題，我們最常用的方法就是建立目標函數(shù)，利用圖像、單調(diào)性、導數(shù)、不等式等工具進行求解。而立體幾何中“點”的運動常常使得角的大小、距離的長短等出現(xiàn)“不確定性”，從而產(chǎn)生了最值問題，考點出現(xiàn)在幾何和代數(shù)的交匯處，提示我們要注重知識間的綜合和相互轉(zhuǎn)化，化空間為平面，搭建溝通幾何與代數(shù)的橋梁。

點評：本題涉及的知識點有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，也可以對根號下的部分構(gòu)造函數(shù)求導求最值，這是將幾何與代數(shù)進行融合的一類題型，求解策略是建立目標函數(shù)，利用函數(shù)思想或不等式的方法求解。

創(chuàng)新2：數(shù)學文化背景下的立幾最值問題，注重情境

數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及數(shù)學的概念和思想方法在形成和發(fā)展中所體現(xiàn)的文化特征與文化價值。教育部考試中心下發(fā)《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，增加了數(shù)學文化的要求，明確提出在高考數(shù)學考題中要體現(xiàn)數(shù)學文化。近幾年的全國高考命題及各地模擬卷，在這方面做了一些積極的探索，出現(xiàn)了一些經(jīng)典試題。歸納發(fā)現(xiàn)，數(shù)學文化主要考查我國古代優(yōu)秀數(shù)學成果和數(shù)學史的內(nèi)容，通過命題滲透數(shù)學史、數(shù)學美和數(shù)學理性精神，提高人文素養(yǎng)，傳承民族精神，樹立同學們的民族自信心和自豪感。

例2（2020年山東青島模擬）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵;底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬;四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑。如圖3，在塹堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC。

點評：本題以中國古代發(fā)明和創(chuàng)造為素材，結(jié)合數(shù)學知識和原理編擬試題，體現(xiàn)古代勞動人民的智慧和成果。突破此類試題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解文化背景中的塹堵、陽馬、鱉臑其實是長方體的一部分或可以由它變形得到，從而進一步抽象出空間位置關(guān)系。涉及體積的最值位置的尋找倒是不困難，利用不等式可以迅速找到，從而第（2）問是在“靜態(tài)”下求解角的大小，屬于常規(guī)問題。

創(chuàng)新3：動態(tài)生成下的立幾最值問題，注重聯(lián)系

除了“點”的運動會產(chǎn)生“不確定性”，圖形的翻折、拼接、旋轉(zhuǎn)等也會改變空間點、線、面的位置關(guān)系，從而形成動態(tài)生成下的立體幾何最值問題，解決此類問題，需要關(guān)注運動前和運動后的變量和不變量，注重前后聯(lián)系。

例3（2020年山東德州模擬）如圖5，在邊長為2的正方形ABEF中，D，C分別為EF，AF上的點，且ED=CF，現(xiàn)沿DC把△CDF剪切，拼接成如圖6所示的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F(xiàn)，A三點重合于點A'，如圖7。

點評：此題是一個由平面到空間的翻折、拼接問題，求解此題的關(guān)鍵有三個：①注意折疊前后的變量和不變量。這里折疊前后的三個直角是不變的，得到空間中的三個線線垂直關(guān)系，為第二問建立空間直角坐標系埋下伏筆;變化的是翻折前ED的長度，導致了拼接后A'C，A'D的不確定，而A'C和A'D的和又是不變的。②注意拼接的順序。這里將△CDF中C和D的順序進行了交換。③利用不等式求最值是一個難點。用好a+b=2這個條件，將4代換成（a+b）2是構(gòu)造出一次倒數(shù)型的關(guān)鍵?？偠灾?，要順利求解此類問題，必須要關(guān)注翻折前后的聯(lián)系，關(guān)注交叉知識之間的聯(lián)系。

立體幾何是高考高頻考點，通過問題的解決，可以提升同學們的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理等素養(yǎng)。而立體幾何的最值問題，又將幾何和代數(shù)糅合在一起，考查同學們將幾何問題代數(shù)化的能力，遇到復雜的數(shù)學文化情境或翻折、拼接等動態(tài)生成的最值問題，要耐心審題，大膽轉(zhuǎn)化，細心求解。

（責任編輯 王福華）