創(chuàng)新引領(lǐng)，聚集二面角的求法

戴靜君

近幾年高考的一個變化趨勢，從知識立意到能力立意，再到如今的素養(yǎng)立意，對同學們的素質(zhì)要求日益提升。比如，以前立體幾何部分求二面角的大小是一個常見考點，考查的側(cè)重點是通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系來求解，稱為向量法。向量法思維要求較低，但對運算素養(yǎng)要求較高。新高考則更關(guān)注考查同學們的邏輯思維能力和邏輯推理能力，對二面角的求法提出了新的要求，即會用幾何法求二面角的大小，突出了對同學們思維的靈活性和策略選擇的要求。在此新的背景下，本文通過對幾個例題的解析，提供多維度探究二面角的幾種求法，為2021屆高三數(shù)學立體幾何復習備考提供一個參考。

一，幾何法

幾何法一般要求添加一些輔助線，對同學們的邏輯推理能力和空間想象能力要求較高，它的優(yōu)點是運算相對簡單，一旦找到二面角的平面角，往往能迅速且準確地得到結(jié)果，從而贏得時間。

1.定義法

點評：上述解答過程直接利用垂直關(guān)系和等腰三角形A1EF找到二面角的棱的垂線，通過平移和二面角平面角的定義直接找到二面角的平面角，然后解三角形即可。在此過程中一般要添加輔助線，注意圖形中能產(chǎn)生垂直關(guān)系的條件，當線段長度關(guān)系較多時，試著用勾股定理的逆定理等進行解答。

2.垂線法

例2（2020年山東濰坊模擬）如圖3，在四棱錐P-ABCD中，AD=2√3，AB =3，

點評：上述解答過程推廣到一般，就是在二面角的一個面內(nèi)找一點P，過點P找或作另一個面的垂線PH，再過點P作棱的垂線PM，連接MH，則可證∠PMH就是二面角的平面角。這種解法的關(guān)鍵是找或作平面的垂線。若條件中出現(xiàn)面面垂直，常利用此條件轉(zhuǎn)化為線面垂直。有時線面垂直時垂足位置不好找，可以不管其具體位置，先作出二面角的平面角，然后利用體積轉(zhuǎn)化法求出高即可求出二面角的平面角。

3.射影面積法

例3 （2020年武漢模擬）如圖5所示，多面體是由以四邊形ABCD為底面的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中AB =2，CF=5，BE=1，∠BAD =60°。

（1）求BG的長;

（2）求平面AEFG與底面ABCD所成銳二面角的余弦值。

解析：（1）BG的長為2√5。過程略。

（2）因為多面體是由以四邊形ABCD為底面的直四棱柱被截面AEFG所截而得到，所以GD⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，則四邊形AEFG在平面ABCD上的射影就是四邊形ABCD，由直四棱柱被截面AEFG所截，平面AEB∥平面CDGF，又平面AEB∩平面AEFG=AE，平面CDGF∩平面AEFG=GF，所以AE//GF。

點評：當一個封閉圖形在另一個面上的射影易找時，可以直接利用射影面積公式求二面角的平面角的大小。特別地，當題中要求的二面角是無棱二面角時，有時棱很難找出，這時用此法顯得尤為簡單。

二、向量法

利用向量方法研究問題的途徑主要是坐標思想和基底思想，當給出圖形易于建系時，我們常?？梢钥紤]用坐標法來求，但有時給出圖形不便建系時還可以用基底思想求解。這種方法更側(cè)重于代數(shù)運算，考查了運算基本素養(yǎng)。

點評：上述解題過程首先要找到兩兩垂直的三條直線建立適當?shù)淖鴺讼?，一般讓圖形中盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于寫出點的坐標，減少無謂的失誤。一般情況下，當條件給出的圖形有明顯的線面垂直關(guān)系，或給出面面垂直的條件可以轉(zhuǎn)化為線面垂直時，往往可以直接建立坐標系，利用坐標法求解。

二面角的平面角解法的多樣性能充分考查同學們的綜合解題能力。近年來的高考試題，寓基礎性、綜合性、應用性、探索性、靈活性于一體，需要我們在知識與方法的整合中全方位地提升基本數(shù)學素養(yǎng)，理性地思考，智慧地做題。

（責任編輯 王福華）