創(chuàng)新視角下的立體幾何開放題

葉亞美

數(shù)學(xué)開放題，是指無明確條件或結(jié)論，必須經(jīng)過認(rèn)真分析、探究，方能獲解的試題。因能有效考查同學(xué)們的思維品質(zhì)，創(chuàng)造性地分析問題和解決問題，開放題正逐漸成為新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新命題的新趨勢(shì)。近年來各地立體幾何解答題中開放題的考查形式主要為結(jié)構(gòu)不良試題及探索存在問題。本文擬通過對(duì)這兩類開放題的解析，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)備考提供一個(gè)參考。

創(chuàng)新題型1——結(jié)構(gòu)不良試題：難在策略選擇，重在推理嚴(yán)謹(jǐn)

立體幾何開放題中結(jié)構(gòu)不良試題多指條件殘缺問題。解此類結(jié)構(gòu)不良試題時(shí)，需根據(jù)題目要求在給定條件中選擇部分條件，并利用選定的條件解決相關(guān)問題。結(jié)構(gòu)不良試題突出了思維的靈活性及策略選擇，能夠?qū)?shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)推理能力的考查起到積極的作用。

點(diǎn)評(píng)：由上述解答可以看到，無論選擇哪兩個(gè)條件，都可解答題目。而且，在選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)選擇讓解答過程比較繁雜，只要熟練掌握空間點(diǎn)、線、面的關(guān)系，嚴(yán)謹(jǐn)推理，都可順利得到PB⊥平面AEFD及四邊形AEFD為直角梯形，為求體積比奠定基礎(chǔ)。第（2）問通過建立空間直角坐標(biāo)系，將“求直線PC與平面ADFE所成角的正弦值”的問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，減少了邏輯推理的過程，這種向量運(yùn)算的方法也是今后求空間角、距離的常用方法。

點(diǎn)評(píng)：由上述解答可以看到，當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，本題所給的條件②是不符合要求的，故能否作出正確判斷，并合理選擇①③十分關(guān)鍵。當(dāng)選定條件后，證明PO⊥面ABCD，只需用線面關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理即可。后面的求二面角APB-C的余弦值有兩種方法：其一是向量法，即以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量運(yùn)算求解;其二是直接法，即過點(diǎn)C作CM⊥PB于M，連接AM，可以證明∠CMA為二面角APB-C的平面角，再通過計(jì)算求解即可。

創(chuàng)新題型2——探索存在問題：貴有解題思路，成在思想方法

立體幾何中的探索存在問題，因“是否存在”的不確定性，增強(qiáng)了試題的開放性。解答探索存在問題時(shí)，一般先假定結(jié)論存在，并以此進(jìn)行推理，若能推出矛盾，即可否定假設(shè);或先利用一定的數(shù)學(xué)思想方法探索存在的可能性，再加以論證。探索存在問題能較好地考查同學(xué)們的觀察能力、猜想能力、分析判斷能力、運(yùn)算能力等。

點(diǎn)評(píng)：題（1）（2）只需用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理即可獲證。題（3）由于點(diǎn)E具有不確定性，通過“假設(shè)在棱AM上存在一點(diǎn)E”，將不確定的問題轉(zhuǎn)化成嚴(yán)格論證探討的過程，而通過建立平面直角坐標(biāo)系，又將探索“點(diǎn)E是否存在”的問題轉(zhuǎn)化為“求符合條件的參數(shù)λ的值”的問題，其解決常常用到方程思想。這種“假設(shè)——論證（或求解）”的方法是解決探索存在問題的常用方法。而利用空間向量及待定系數(shù)法求解存在性問題顯然思路簡(jiǎn)單、解法固定、操作方便，應(yīng)引起重視。

結(jié)構(gòu)不良試題及探索存在問題是近年高考立體幾何開放題中的高頻考題，充分體現(xiàn)了高考能力立意的指導(dǎo)思想，解決兩種開放題，特別要關(guān)注求解策略，充分利用向量的工具作用，以及轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，請(qǐng)同學(xué)們多去探索，去體會(huì)，切實(shí)提高解題能力。

（責(zé)任編輯 王福華）