立體幾何解答題科學(xué)備考新方向

余強(qiáng)

從近幾年的高考命題情況分析，利用空間向量處理立體幾何問題仍是高考命題的熱點(diǎn)。通常在第（1）問考查直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定;第（2）問考查線面角與二面角的求解，向量法是較好的解題方法，特別是在處理探索性問題時(shí)，向量法更具優(yōu)勢(shì)。在2021年的復(fù)習(xí)備考中，特別要注意判定定理與性質(zhì)定理中條件的完整性，這是解答題解題規(guī)范的基本要求。同時(shí)要掌握并會(huì)運(yùn)用向量法求解空間角和距離問題，一是要特別重視坐標(biāo)系的建立，建系的原則是簡(jiǎn)潔清晰，便于表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);二是要加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，熟練、準(zhǔn)確的運(yùn)算是完成解答題的基本要求。歷年來立體幾何的考查內(nèi)容比較穩(wěn)定，但由于在題型、試題材料背景、重要知識(shí)點(diǎn)的考法上具有較大的靈活性，近幾年立體幾何試題在命題設(shè)計(jì)與立意上不斷創(chuàng)新。下面結(jié)合部分最新模擬題介紹立體幾何試題變化的新趨勢(shì)，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。

方向1：特殊幾何體中的位置關(guān)系與空間角的求解

我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中碰到很多的立體幾何解答題，主要是以棱柱或者棱錐為載體進(jìn)行考查，而近幾年高考是以圓錐為載體考查了線面垂直的位置關(guān)系和二面角的計(jì)算。解決這類問題，需要我們對(duì)于一些特殊幾何體（如圓柱、圓錐、正四面體等）的相關(guān)性質(zhì)有深刻的認(rèn)識(shí)，在平時(shí)復(fù)習(xí)中需要我們關(guān)注。

例1 （河南省中原名校聯(lián)盟2020 2021學(xué)年高三第一次質(zhì)檢）如圖1，S為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓心，點(diǎn)A，B在底面圓周上，且∠AOB=60°，C，D分別為SB，OB的中點(diǎn)。

（1）求證：AC⊥OB;

（2）若圓錐的底面半徑為2，高為4，求直線AC與平面SOA所成的角的正弦值。

評(píng)注：解答本題需要同學(xué)們熟悉圓錐的定義和性質(zhì)：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐，旋轉(zhuǎn)軸叫作圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的底面。

方向2：空間角的探索性和最值問題

立體幾何中的存在性問題主要包括兩類：一類是與空間平行、垂直等位置關(guān)系有關(guān)的存在性問題;另一類是與空間角有關(guān)的存在性問題。向量法是解決此類問題的常用方法，它可以將幾何存在問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解等問題。

評(píng)注：探索性問題的求解策略：①條件追溯型。一般是先假設(shè)結(jié)論成立，然后把該結(jié)論作為一個(gè)已知條件，再結(jié)合題目中的其他已知條件逆推，一步一步推出所要求的條件，此時(shí)要注意推理的可逆性，不要默認(rèn)所有的條件都是充要條件。例如，涉及線段上點(diǎn)的位置的探索性問題，一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，所求點(diǎn)大多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)，也可以根據(jù)相似的知識(shí)找點(diǎn)，求解時(shí)注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用。②存在探索型。首先假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè);否則，給出肯定結(jié)論。例如，借助空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)（變量）表示出來，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組，若方程或方程組有滿足題設(shè)要求的解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對(duì)象的位置;若方程或方程組沒有滿足題設(shè)要求的解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在。

方向3：折疊問題

折疊問題是高考立體幾何問題中的?？停凑漳撤N要求把一個(gè)平面圖形折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這就是折疊問題。解決折疊問題時(shí)，要注意折疊前后的變量與不變量，折疊前后同一半平面內(nèi)的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系均不發(fā)生變化。

評(píng)注：解決翻折問題的核心在于抓住兩個(gè)圖形的特征關(guān)系，并弄清翻折前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化。準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變關(guān)系”：與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變;與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變。一般情況下，折痕同一側(cè)的量保持著原有的數(shù)量關(guān)系和線線關(guān)系，抓住這些不變量和不變關(guān)系是解決翻折問題的關(guān)鍵。不變的線線關(guān)系（尤其是圖形中線線平行、線線垂直關(guān)系）是研究空間位置關(guān)系的重要依據(jù);不變的數(shù)量關(guān)系是求解幾何體的數(shù)字特征的基礎(chǔ)。例如，空間幾何體的表面積、體積、空間角、距離、長(zhǎng)度等。根據(jù)不變量和不變關(guān)系，利用有關(guān)定理、公式進(jìn)行雅理和計(jì)算，從而解決問題，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化與化歸思想在此類問題中的應(yīng)用。

從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題可以看出，立體幾何的考題依然堅(jiān)守“重視通性通法，淡化技巧”，這為我們的備考指明了一個(gè)明確的方向：高考數(shù)學(xué)備考不宜過難過偏，要多從歸納解題通法的角度去進(jìn)行備考。每年高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何解答題都主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算，重在考查邏輯推理能力及計(jì)算能力。同學(xué)們想要掌握立體幾何的解題思路，就要立足“奠基、形象、圖解、取巧”四個(gè)方面進(jìn)行訓(xùn)練，只有在實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練中養(yǎng)成邏輯清晰的思路，才能在高考中“扣核心，抓重點(diǎn)，費(fèi)時(shí)少”，達(dá)到高效解題的目的。

（責(zé)任編輯 王福華）