空間向量應(yīng)用的誤區(qū)提醒

王慶敏

空間向量是解答立體幾何問(wèn)題的有力工具，問(wèn)題求解的過(guò)程是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，引入點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出相關(guān)向量，將距離、平行、垂直、夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的向量關(guān)系問(wèn)題。但同學(xué)們?cè)趹?yīng)用空間向量解題時(shí)，常會(huì)由于建系不合理、混淆有關(guān)概念、過(guò)程不規(guī)范等原因，造成錯(cuò)誤。本文總結(jié)了幾類(lèi)典型的易錯(cuò)點(diǎn)，給予提醒。

一、建系不合理或盲目建系

建立空間直角坐標(biāo)系是應(yīng)用空間向量解題的“起點(diǎn)”，通過(guò)恰當(dāng)建系、準(zhǔn)確求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出相應(yīng)向量，進(jìn)而利用向量的關(guān)系求解空間幾何問(wèn)題。但要注意的是解題時(shí)要避免盲目建系，小題大做（證明平行、垂直一般不需要建系;求解距離時(shí)很少建系;在易作平行線(xiàn)求異面直線(xiàn)所成的角、易作平面的垂線(xiàn)求線(xiàn)面角、易作交線(xiàn)的垂線(xiàn)求二面角時(shí)可不用建系）。

誤區(qū)提示：恰當(dāng)建立坐標(biāo)系是使計(jì)算簡(jiǎn)捷的有力保障，如果建系不合理，會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)法求出或不易求得，向量無(wú)法表示，進(jìn)而使計(jì)算過(guò)程較為煩瑣，甚至可能出現(xiàn)無(wú)法計(jì)算出結(jié)果的情況。解答本題時(shí)，同學(xué)們的建系方式五花八門(mén)，有一部分同學(xué)把點(diǎn)B或D視為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)致某些點(diǎn)的坐標(biāo)不易求解，陷入解題誤區(qū)。

二、過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)

建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要選擇兩兩垂直的三條直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，但這種垂直關(guān)系往往不會(huì)直接給出，而是需要先證明后再應(yīng)用。誤區(qū)提示：空間直角坐標(biāo)系的建立要充分利用題目中直接或間接給出的線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系，本題中給出了矩形、等腰三角形，因此可利用相關(guān)圖形的性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系。類(lèi)似地，若題目條件中含有菱形，則可利用其對(duì)角線(xiàn)互相垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系。但要注意，在問(wèn)題的求解中利用這些關(guān)系建立坐標(biāo)系時(shí)，要給出必要的說(shuō)明。

三、忽視線(xiàn)面角與向量角的關(guān)系

線(xiàn)面角是直線(xiàn)與其在平面內(nèi)的投影的夾角，而利用空間向量求線(xiàn)面角時(shí)，通常求出的是直線(xiàn)的方向向量與平面法向量的夾角，要注意二者的關(guān)系。

例3 （2020年貴州遵義高三期中（理））如圖5，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為邊AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H。

（1）求證：AB∥FG;

（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線(xiàn)BC與平面ABF所成角的大小。

解析：（1）在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE。

解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：①要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？④怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？從立體幾何解答題的答題情況看，同學(xué)們出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象嚴(yán)重（解題中論述不嚴(yán)格，條理不清，缺條件，因果關(guān)系不成立等）。在平時(shí)的訓(xùn)練中，要注重思維的條理性和表達(dá)的規(guī)范性，做到分析問(wèn)題有理有據(jù)，表達(dá)論證合規(guī)合矩。在立體幾何解答題的作答中，防止出現(xiàn)“跳”（步），“離”（圖形與書(shū)寫(xiě)相脫離），“省”（省略關(guān)鍵步驟）等現(xiàn)象。乍一看，結(jié)果（論）正確，似乎沒(méi)有問(wèn)題，但經(jīng)不起仔細(xì)推敲。在平時(shí)訓(xùn)練中，要做到：符號(hào)語(yǔ)言要規(guī)范，表達(dá)要嚴(yán)謹(jǐn)（建系的說(shuō)明）。分分必爭(zhēng)！對(duì)照歷年高考閱卷的評(píng)分細(xì)則和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格做到解題步驟書(shū)寫(xiě)規(guī)范，踩點(diǎn)得分，分步得分。要實(shí)現(xiàn)：想得清楚，說(shuō)得明白，寫(xiě)得干凈。

（責(zé)任編輯 王福華）